Группа (математика)

Манипуляции с кубиком Рубика образуют группу кубика Рубика .

В математике , A группа представляет собой набор оснащен бинарной операцией , которая сочетает в любых двух элементов , чтобы сформировать третий элемент таким образом , что три условия называемые групповые аксиомы выполняются, а именно ассоциативности , идентичность и обратимость . Одним из наиболее известных примеров группы является набор целых чисел вместе с операцией сложения , но группы встречаются во многих областях как в математике, так и за ее пределами, и помогают сосредоточиться на важных структурных аспектах, отделяя их от конкретной природы предмета. исследования.^{[1] [2]}

Группы имеют фундаментальное родство с понятием симметрии . Например, группа симметрии кодирует признаки симметрии геометрического объекта: группа состоит из набора преобразований, которые оставляют объект неизменным, и операции объединения двух таких преобразований, выполняемых одно за другим. Группы Ли возникают как группы симметрии в геометрии , но появляются и в стандартной модели в физике элементарных частиц . Группа Пуанкаре - это группа Ли, состоящая из симметрий пространства-времени в специальной теории относительности . Группы точек описываютсимметрия в молекулярной химии .

Концепция группы возникла в результате изучения полиномиальных уравнений , начиная с Эвариста Галуа в 1830-х годах, который ввел термин группа ( groupe , по-французски) для группы симметрии корней уравнения, теперь называемой группой Галуа . После вкладов других областей, таких как теория чисел и геометрия, понятие группы было обобщено и прочно утвердилось примерно в 1870 году. Современная теория групп - активная математическая дисциплина - изучает группы как таковые . ^[a] Чтобы исследовать группы, математики разработали различные понятия, позволяющие разбивать группы на более мелкие, более понятные части, такие какподгруппы , фактор-группы и простые группы . В дополнение к своим абстрактным свойствам теоретики групп также изучают различные способы, которыми группа может быть выражена конкретно, как с точки зрения теории представлений (то есть через представления группы ), так и с точки зрения вычислительной теории групп . Для конечных групп была разработана теория , кульминацией которой стала классификация конечных простых групп , завершенная в 2004 году. ^[Aa] С середины 1980-х годов геометрическая теория групп , изучающая конечно порожденные группы как геометрические объекты, стала активной областью теории групп.

Определение и иллюстрация [ править ]

Первый пример: целые числа [ править ]

Одна из наиболее известных групп - набор целых чисел

${\ Displaystyle \ mathbb {Z} = \ {\ ldots, -4, -3, -2, -1,0,1,2,3,4, \ ldots \}}$

вместе с дополнением . ^[3] Для любых двух целых чисел и Ь , то сумма + Ь также является целым числом; это закрытие свойство говорит , что + это бинарная операция на . Следующие свойства сложения целых чисел служат моделью для аксиом группы в приведенном ниже определении. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

• Для всех целых чисел a , b и c имеем ( a + b ) + c = a + ( b + c ). Выражаясь словами, сначала добавление a к b , а затем прибавление результата к c дает тот же конечный результат, что и добавление a к сумме b и c . Это свойство известно как ассоциативность .
• Если a - любое целое число, то 0 + a = a и a + 0 = a . Ноль называется тождественным элементом сложения, потому что добавление его к любому целому числу возвращает такое же целое число.
• Для каждого целого числа a существует такое целое число b , что a + b = 0 и b + a = 0 . Целое число b называется обратным элементом целого числа a и обозначается - a .

Целые числа вместе с операцией + образуют математический объект, принадлежащий к широкому классу, имеющему сходные структурные аспекты. Чтобы правильно понять эти структуры как коллектив, разработано следующее определение .

Определение [ править ]

Группа - это множество G вместе с бинарной операцией на G , здесь обозначаемой ⋅ , которая объединяет любые два элемента a и b, чтобы сформировать элемент G , обозначаемый a ⋅ b , таким образом, что следующие три требования, известные как групповые аксиомы , выполняются: ^{[5] [6] [7]}

Ассоциативность

Для всех a , b , c в G выполняется ( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c ).

Элемент идентичности

Там существует элемент е в G такая , что для любого а в G , один имеет е ⋅ = и ⋅ е = . Такой элемент уникален ( см. Ниже ). Он называется тождественным элементом группы.

Обратный элемент

Для каждого a в G существует элемент b в G такой, что a ⋅ b = e и b ⋅ a = e , где e - единичный элемент. Для каждого a элемент b уникален ( см. Ниже ); он называется обратным к a и обычно обозначается a ⁻¹ .

Обозначения и терминология [ править ]

Формально группа - это упорядоченная пара множества и бинарной операции над этим множеством, удовлетворяющая аксиомам группы . Набор называется базовым набором группы, а операция называется групповой операцией или групповым законом .

Таким образом, группа и ее базовое множество - два разных математических объекта . Но чтобы избежать громоздких обозначений, принято злоупотреблять обозначениями , используя один и тот же символ для обозначения обоих. Это также отражает неформальный образ мышления, согласно которому группа такая же, как и множество, за исключением того, что она была обогащена дополнительной структурой, обеспечиваемой операцией.

Например, рассмотрим набор действительных чисел , в котором есть операции сложения и умножения . Формально - это набор, это группа, это поле . Но обычно пишут для обозначения любого из этих трех объектов.${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle a + b}$${\ displaystyle ab}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle (\ mathbb {R}, +)}$${\ Displaystyle (\ mathbb {R}, +, \ cdot)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Аддитивная группа поля является группой, лежащим в основе набора и функционирование которого является дополнением. Мультипликативная группа поля представляет собой группу , базовым множеством является множество ненулевых действительных чисел и операция, есть умножение.${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ times}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ setminus \ {0 \}}$

В более общем смысле об аддитивной группе говорят всякий раз, когда групповая операция обозначена как сложение; в этом случае тождество обычно обозначается 0 , ^[8], а значение, обратное элементу x , обозначается - x . Точно так же о мультипликативной группе говорят всякий раз, когда групповая операция обозначается как умножение; в этом случае тождество обычно обозначается 1 , а обратный элемент x обозначается x ^–1 . В мультипликативной группе символ операции обычно полностью опускается, так что операция обозначается сопоставлением, ab вместоа ⋅ б .

Определение группы не требует , чтобы ⋅ б = б ⋅ для всех элементов через и Ь в G . Если это дополнительное условие выполнено, то операция называется коммутативной , а группа - абелевой . Общепринято, что для абелевой группы можно использовать либо аддитивную, либо мультипликативную нотацию, а для неабелевой группы используется только мультипликативная нотация.

Несколько других обозначений обычно используются для групп, элементы которых не являются числами. Для группы, элементы которой являются функциями , операция часто представляет собой композицию функций ; тогда личность может быть обозначена как id . В более конкретных случаях геометрической трансформации групп, симметрии групп, групп подстановок и группы автоморфизмов , символ часто опускается, так как для мультипликативных групп. Можно встретить множество других вариантов обозначений.${\ displaystyle f \ circ g}$${\ displaystyle \ circ}$

Альтернативное определение [ править ]

Эквивалентное определение группы состоит в замене части аксиом группы «существует» на операции, результатом которых является элемент, который должен существовать. Итак, группа - это набор, оснащенный тремя операциями: бинарной операцией , которая является групповой операцией, унарной операцией , которая обеспечивает инверсию ее единственного операнда, и нулевой операцией , которая не имеет операнда и приводит к элементу идентичности . В остальном аксиомы групп точно такие же.

Этот вариант определения избегает экзистенциальных кванторов . Обычно это предпочтительнее для вычислений с группами и для компьютерных доказательств . В этой формулировке группы представлены как разновидность универсальной алгебры . Это также полезно для обсуждения свойств обратной операции, необходимых для определения топологических групп и групповых объектов .

Второй пример: группа симметрии [ править ]

Две фигуры на плоскости являются конгруэнтными, если одну можно превратить в другую, используя комбинацию вращений , отражений и перемещений . Любая фигура конгруэнтна самой себе. Однако некоторые фигуры конгруэнтны сами себе более чем одним способом, и эти дополнительные конгруэнции называются симметриями . У квадрата восемь симметрий. Это:

• операция идентичности оставить все без изменений, обозначаемый идентификатор;
• повороты квадрата вокруг его центра на 90 °, 180 ° и 270 ° по часовой стрелке, обозначенные r ₁ , r ₂ и r ₃ соответственно;
• отражения относительно горизонтальной и вертикальной средней линии ( f _v и f _h ) или через две диагонали ( f _d и f _c ).

Эти симметрии являются функциями . Каждый посылает точку в квадрате соответствующей точке симметрии. Например, r ₁ отправляет точку на свой поворот на 90 ° по часовой стрелке вокруг центра квадрата, а f _h отправляет точку на свое отражение через вертикальную среднюю линию квадрата. Соединение двух из этих симметрий дает другую симметрию. Эти симметрии определяют группу, которая называется группой диэдра степени 4 и обозначается D ₄ . Базовым набором группы является указанный выше набор симметрий, а групповая операция - это композиция функций . ^[9]Две симметрии объединяются, составляя их как функции, то есть применяя первую к квадрату, а вторую - к результату первого применения. Результат выполнения сначала a, а затем b записывается символически справа налево как («применить симметрию b после выполнения симметрии a »). (Это обычное обозначение композиции функций.)${\ displaystyle b \ circ a}$

В групповой таблице справа перечислены результаты всех возможных таких композиций. Например, вращение на 270 ° по часовой стрелке ( r ₃ ) с последующим отражением по горизонтали ( f _h ) аналогично отражению по диагонали ( f _d ). Используя указанные выше символы, выделенные синим цветом в таблице групп:

${\ displaystyle f _ {\ mathrm {h}} \ circ r_ {3} = f _ {\ mathrm {d}}.}$

Учитывая этот набор симметрий и описанную операцию, групповые аксиомы можно понять следующим образом.

Композиция - это бинарная операция. То есть является симметрией для любых двух симметрий a и b . Например,${\ displaystyle a \ circ b}$

${\ displaystyle r_ {3} \ circ f _ {\ mathrm {h}} = f _ {\ mathrm {c}},}$

то есть поворот на 270 ° по часовой стрелке после отражения по горизонтали равняется отражению по противоположной диагонали ( f _c ). Действительно, любая другая комбинация двух симметрий по-прежнему дает симметрию, что можно проверить с помощью таблицы групп.

В ассоциативность аксиома имеет дело с составления более двух симметрий: Начало с тремя элементами , б и гр из D ₄ , есть два возможных способа использования этих трех симметрий в таком порядке , чтобы определить симметрию квадрата. Один из этих способов - сначала объединить a и b в одну симметрию, а затем составить эту симметрию с c . Другой способ - сначала скомпоновать b и c , а затем составить полученную симметрию с a . Эти два способа всегда должны давать один и тот же результат, то есть

${\ Displaystyle (а \ CIRC B) \ CIRC C = A \ CIRC (B \ CIRC C),}$

Например, это можно проверить с помощью таблицы групп справа:${\ displaystyle (f _ {\ mathrm {d}} \ circ f _ {\ mathrm {v}}) \ circ r_ {2} = f _ {\ mathrm {d}} \ circ (f _ {\ mathrm {v}} \ круг r_ {2})}$

${\ displaystyle {\ begin {align} (f _ {\ mathrm {d}} \ circ f _ {\ mathrm {v}}) \ circ r_ {2} & = r_ {3} \ circ r_ {2} = r_ { 1} \\ f _ {\ mathrm {d}} \ circ (f _ {\ mathrm {v}} \ circ r_ {2}) & = f _ {\ mathrm {d}} \ circ f _ {\ mathrm {h}} = r_ {1}. \ end {выровнено}}}$

Единичный элемент является идентификатор , так как он не изменяет любой симметрии а , когда в составе с ней либо на левой или с правой стороны .

Все симметрии имеют обратное : id , отражения f _h , f _v , f _d , f _c и поворот на 180 ° r ₂ являются их собственными обратными, потому что их выполнение дважды возвращает квадрат к его исходной ориентации. Вращения r ₃ и r ₁ являются обратными друг другу, потому что поворот на 90 °, а затем поворот на 270 ° (или наоборот) дает поворот на 360 °, который оставляет квадрат без изменений. В этом легко убедиться по таблице.

В отличие от группы целых чисел выше, где порядок операции не имеет значения, он имеет значение в D ₄ , как, например, но другими словами, D ₄ не абелев.${\ displaystyle f _ {\ mathrm {h}} \ circ r_ {1} = f _ {\ mathrm {c}}}$${\ displaystyle r_ {1} \ circ f _ {\ mathrm {h}} = f _ {\ mathrm {d}}}$

История [ править ]

Современная концепция абстрактной группы возникла из нескольких областей математики. ^{[10] [11] [12]} Первоначальной мотивацией для теории групп был поиск решений полиномиальных уравнений степени выше 4. Французский математик XIX века Эварист Галуа , расширивший предыдущие работы Паоло Руффини и Жозефа-Луи Лагранжа , дал критерий разрешимости конкретного полиномиального уравнения в терминах группы симметрии его корней (решений). Элементы такой группы Галуа соответствуют определенным перестановкамкорней. Сначала идеи Галуа были отвергнуты его современниками и опубликованы только посмертно. ^{[13] [14]} Более общие группы подстановок исследовал, в частности, Огюстен Луи Коши . Книга Артура Кэли « О теории групп» в зависимости от символического уравнения θ ⁿ = 1 (1854 г.) дает первое абстрактное определение конечной группы . ^[15]

Геометрия была второй областью, в которой группы использовались систематически, особенно группы симметрии как часть программы Феликса Клейна 1872 года в Эрлангене . ^[16] После появления новых геометрий, таких как гиперболическая и проективная геометрия , Клейн использовал теорию групп, чтобы организовать их более последовательным образом. Развивая эти идеи, Софус Ли в 1884 году основал исследование групп Ли ^[17].

Третьей областью, внесшей вклад в теорию групп, была теория чисел . Определенные абелевы групповые структуры неявно использовались в теоретико-числовой работе Карла Фридриха Гаусса Disquisitiones Arithmeticae (1798), а более явно - Леопольдом Кронекером . ^[18] В 1847 году Эрнст Куммер сделал первые попытки доказать Великую теорему Ферма , разработав группы, описывающие факторизацию в простые числа . ^[19]

Конвергенция этих различных источников в единую теорию групп началась с работы Камиллы Жордана « Traité des замен и des équations algébriques» (1870). ^[20] Вальтер фон Дейк (1882) представил идею определения группы с помощью генераторов и отношений, а также первым дал аксиоматическое определение «абстрактной группы» в терминологии того времени. ^[21] По состоянию на 20 - го века, группы получили широкое признание пионерской работы Фробениус и Уильям Бернсайд , который работал над теорией представлений конечных групп, Ричард Брауэр «ытеория модульных представлений и работы Иссая Шура . ^[22] Теория групп Ли и, в более общем смысле, локально компактных групп изучалась Германом Вейлем , Эли Картаном и многими другими. ^[23] Ее алгебраический аналог, теория алгебраических групп , впервые была сформирована Клодом Шевалле (с конца 1930-х годов), а затем работами Армана Бореля и Жака Титса . ^[24]

Год теории групп 1960–61 гг. В Чикагском университете объединил теоретиков групп, таких как Дэниел Горенштейн , Джон Г. Томпсон и Уолтер Фейт , заложив основу сотрудничества, которое при участии многих других математиков привело к классификации конечных простые группы , последний шаг был сделан Ашбахером и Смитом в 2004 году. Этот проект превзошел предыдущие математические попытки своим огромным размером как по длине доказательства, так и по количеству исследователей. Продолжаются исследования, чтобы упростить доказательство этой классификации. ^{[25] В} наши дни теория групп по-прежнему является очень активной математической отраслью, влияющей на многие другие области. ^[а]

Элементарные следствия групповых аксиом [ править ]

Основные факты обо всех группах, которые могут быть получены непосредственно из групповых аксиом, обычно относятся к элементарной теории групп . ^[26] Например, многократное применение аксиомы ассоциативности показывает, что однозначность

a ⋅ b ⋅ c = ( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c )

обобщается более чем на три фактора. Поскольку это подразумевает, что круглые скобки могут быть вставлены в любом месте такой серии терминов, круглые скобки обычно опускаются. ^[27]

Аксиомы можно ослабить, чтобы утверждать только существование левой идентичности и левых инверсий . Оба могут быть фактически двусторонними, поэтому итоговое определение эквивалентно приведенному выше. ^[28]

Уникальность идентификационного элемента [ править ]

Групповые аксиомы подразумевают, что единичный элемент уникален: если e и f являются единичными элементами группы, то e = e ⋅ f = f . Поэтому принято говорить о о личности. ^[29]

Уникальность инверсий [ править ]

Групповые аксиомы также подразумевают, что инверсия каждого элемента уникальна: если у группового элемента a оба элемента b и c являются обратными, то

б	знак равно	б ⋅ е		так как e является тождественным элементом
	знак равно	б ⋅ ( а ⋅ в )		так как c является обратным к a , поэтому e = a ⋅ c
	знак равно	( b ⋅ a ) ⋅ c		по ассоциативности, что позволяет переставлять круглые скобки
	знак равно	e ⋅ c		так как b является обратным к a , поэтому b ⋅ a = e
	знак равно	c		так как e является тождественным элементом.

Поэтому принято говорить о с обратным элементом. ^[29]

Подразделение [ править ]

Для элементов a и b группы G существует единственное решение x в G уравнения a ⋅ x = b , а именно a ⁻¹ ⋅ b . (Обычно избегают использования таких обозначений, как или b / a , если G не абелева, из-за неоднозначности того, означают ли они a ⁻¹ ⋅ b или b ⋅ a ⁻¹ .) ^[30] Отсюда следует, что для каждого a in${\ displaystyle {\ tfrac {b} {a}}}$G , функция G → G, заданная формулой x ↦ a ⋅ x, является биекцией ; это называется левым умножением на a или левым переводом на a .

Аналогично, для заданных a и b единственным решением x ⋅ a = b будет b ⋅ a ⁻¹ . Для каждого a функция G → G, заданная формулой x ↦ x ⋅ a, является биекцией, называемой правым умножением на a или правым сдвигом на a .

Основные понятия [ править ]

В следующих разделах используют математические символы , такие как X = { х , у , г } , чтобы обозначить множество X , содержащее элементы х , у , и г , или в качестве альтернативы х ∈ Х , чтобы вновь заявить , что х является элементом X . Обозначение f  : X → Y означает, что f является функцией, присваивающей каждому элементу X элемент Y.

При изучении множеств используются такие понятия, как подмножество , функция и фактор по отношению эквивалентности . При изучении групп используются их аналоги: подгруппа , гомоморфизм и факторгруппа соответственно. Это объясняется ниже.

Групповые гомоморфизмы [ править ]

Гомоморфизмы групп ^[g] - это функции, которые уважают структуру группы; их можно использовать для связи двух групп. Гомоморфизм из группы ( G , ⋅) к группе ( Н , *) является функцией φ : G → H такой , что

φ ( ⋅ б ) = φ ( ) * φ ( б ) для всех элементов, Ь в G .

Было бы естественно потребовать также, чтобы φ (1 _G ) = 1 _H и φ ( a ^–1 ) = φ ( a ) ^–1 для всех a в G , но это не обязательно, поскольку эти условия уже подразумеваются определение выше. ^[31]

Тождественный гомоморфизм группы G гомоморфизм ID _G : G → G определено г ↦ г . Обратного гомоморфизм гомоморфизма ф : G → H гомоморфизм Ф: Н → G такое , что Ф ∘ ф = Идентификатор _G и ф ∘ Ф = идентификатор _Н , т.е., таким образом, что Ф ( ф ( г )) = г для всех г вG и φ (Φ ( ч )) = ч для всех ч в H . Изоморфизм является гомоморфизмом , который имеет обратный гомоморфизм; эквивалентно, это биективный гомоморфизм. Группы G и H называются изоморфными, если существует изоморфизм φ : G → H ; в этом случае H можно получить из G, просто переименовав его элементы в соответствии с функцией φ ; то любое утверждение, истинное для G , верно и для Hпри условии, что любые конкретные элементы, упомянутые в заявлении, также будут переименованы.

Подгруппы [ править ]

Неформально, подгруппа представляет собой группу Н , содержащаяся в большем одного, G . ^[32] В частности, единичный элемент G содержится в H , и всякий раз , когда ч ₁ и ч ₂ в Н , то и ч ₁ ⋅ ч ₂ и ч ₁ ^-1 , так что элементы H , снабженная группой операция на G, ограниченная на H , действительно образует группу.

В приведенном выше примере идентичность и вращения составляют подгруппу R = {id, r ₁ , r ₂ , r ₃ }, выделенную красным в приведенной выше таблице групп: любые два составленных вращения все еще являются вращением, и вращение может быть отменено (т. е. является обратным) дополнительными поворотами на 270 ° для 90 °, 180 ° для 180 ° и 90 ° для 270 ° (обратите внимание, что вращение в противоположном направлении не определено). Тест подгруппы является необходимым и достаточным условием для непустого подмножества H группы G , чтобы быть подгруппа: достаточно проверить , что г ^-1 ч ∈ Hдля всех элементов г , ч ∈ H . Знание подгрупп важно для понимания группы в целом. ^[d]

Для любого подмножества S группы G подгруппа, порожденная S, состоит из произведений элементов группы S и их обратных. Это самый маленький подгруппа G , содержащей S . ^[33] Во вводном примере выше подгруппа, порожденная r ₂ и f _v, состоит из этих двух элементов, тождественного элемента id и f _h = f _v r ₂ . Опять же, это подгруппа, потому что объединение любых двух из этих четырех элементов или их обратных (которые в данном конкретном случае являются теми же элементами) дает элемент этой подгруппы.

Cosets [ править ]

Во многих ситуациях желательно считать два элемента группы одинаковыми, если они отличаются элементом данной подгруппы. Например, в D ₄ выше, после того, как отражение выполнено, квадрат никогда не вернется к конфигурации r ₂ , просто применяя операции вращения (и никаких дальнейших отражений), то есть операции вращения не имеют отношения к вопросу, является ли отражение было выполнено. Классы смежности используются для формализации этого понимания: подгруппа H определяет левый и правый классы смежности, которые можно рассматривать как перевод H произвольными элементами группы g . В символических терминах левый и правый смежные классы группы H, содержащиег являются

Gh = { г ⋅ ч  : ч ∈ H } и Hg = { ч ⋅ г  : ч ∈ H }, соответственно. ^[34]

Левые смежные классы любой подгруппы H образуют перегородку из G ; то есть объединение всех левых смежных классов равно G, а два левых смежных класса либо равны, либо имеют пустое пересечение . ^[35] Первый случай г ₁ Н = г ₂ Н происходит именно тогда , когда г ₁ ^-1 ⋅ г ₂ ∈ H , то есть, если два элемента отличаются на элемент Н . Аналогичные соображения применимы к правым смежным классам группы H. Левый и правый смежные классы H могут быть или не быть равными. Если они есть, то есть, для всех г в G , Gh = Hg , то H называется быть нормальной подгруппой .

В D ₄ , вводной группе симметрии, левые классы смежности gR подгруппы R, состоящие из поворотов, либо равны R , если g является элементом самой R , либо в противном случае равны U = f _c R = {f _c , f _v , f _d , f _h } (выделены зеленым). Подгруппа R также нормальна, потому что f _c R = U = R f _c и аналогично для любого элемента, кроме f _c. (Фактически, в случае D ₄ , обратите внимание, что все такие смежные классы равны, так что f _h R = f _v R = f _d R = f _c R. )

Факторные группы [ править ]

В некоторых ситуациях набор смежных классов подгруппы может быть наделен групповым законом, дающим фактор-группу или фактор-группу . Для этого подгруппа должна быть нормальной . Для любой нормальной подгруппы N фактор-группа определяется формулой

G / N = { gN , g ∈ G }, « G по модулю N ». ^[36]

Этот набор наследует групповую операцию (иногда называемый смежным класс умножения или сложения смежных классов) из исходной группы G : ( гНо ) ⋅ ( Hn ) = ( GH ) N для всех г и ч в G . Это определение мотивировано идеей (которая сама по себе является примером общих структурных соображений, изложенных выше), что отображение G → G / N, которое сопоставляет любому элементу g его смежный класс gN , является гомоморфизмом группы, или общими абстрактными соображениями, называемыми универсальными свойствами . Класс eN= N служит в качестве единицы в этой группе, и обратный Gn в группе частного ( гНо ) ^-1 = ( г ^-1 ) N . ^[e]

Элементы фактор группы D ₄ / R являются R сам по себе, который представляет собой идентификатор, и U = F _v R . Групповая операция над частным показана справа. Например, U ⋅ U = F _об R ⋅ ф _об R = (F _v ⋅ F _v ) R = R . Как подгруппа R = {id, r ₁ , r ₂ , r ₃ }, так и соответствующий фактор абелевы, тогда как D ₄не абелева. Построение больших групп из более мелких, таких как D ₄ из его подгруппы R и фактор D ₄ / R , абстрагируется понятием, называемым полупрямым произведением .

Факторгруппы и подгруппы вместе образуют способ описания каждой группы по ее представлению : любая группа является фактор- группой свободной группы по образующим группы, факторной по подгруппе отношений . Группа диэдра D ₄ , например, может быть порождена двумя элементами r и f (например, r  = r ₁ , правое вращение и f  = f _v вертикальное (или любое другое) отражение), что означает, что каждая симметрия квадрата есть конечная композиция этих двух симметрий или их обратных. Вместе с отношениями

r ⁴  =  f ²  = ( r ⋅ f ) ²  = 1, ^[37]

группа полностью описана. Представление группы также можно использовать для построения графа Кэли , устройства, используемого для графического отображения дискретных групп .

Суб- и факторгруппы связаны следующим образом: подмножество H группы G можно рассматривать как инъективное отображение H → G , т. Е. Любой элемент цели имеет не более одного элемента, который отображается на него . Аналогом инъективными являются сюръективные карты (каждый элемент мишени отображается на), такие как каноническое отображение G → G / N . ^[y] Интерпретация подгруппы и частных в свете этих гомоморфизмов подчеркивает структурную концепцию, присущую этим определениям, упомянутым во введении. В общем случае гомоморфизмы не инъективны и не сюръективны.Ядро и образ гомоморфизмов групп, а также первая теорема об изоморфизме обращаются к этому явлению.

Примеры и приложения [ править ]

Примеров и приложений групп предостаточно. Отправной точкой является группа Z целых чисел со сложением как групповая операция, представленная выше. Если вместо сложения рассматривать умножение , получаются мультипликативные группы . Эти группы являются предшественниками важных построений в абстрактной алгебре .

Группы также применяются во многих других математических областях. Математические объекты часто исследуются путем присоединения к ним групп и изучения свойств соответствующих групп. Например, Анри Пуанкаре основал то, что сейчас называется алгебраической топологией , введя фундаментальную группу . ^[38] Посредством этой связи топологические свойства, такие как близость и непрерывность, переводятся в свойства групп. ^[i] Например, элементы фундаментальной группы представлены петлями. На втором изображении справа показаны петли на плоскости без точки. Синяя петля считаетсянуль-гомотопичен (и, следовательно, не имеет отношения к делу), потому что его можно непрерывно сжимать до точки. Наличие отверстия предотвращает сжатие оранжевой петли до острия. Фундаментальная группа плоскости с удаленной точкой оказывается бесконечной циклической, порожденной оранжевой петлей (или любой другой петлей, наматывающейся один раз на отверстие). Таким образом, основная группа обнаруживает дыру.

В более поздних приложениях влияние также было обращено, чтобы мотивировать геометрические построения теоретико-групповым фоном. ^[j] Аналогичным образом геометрическая теория групп использует геометрические концепции, например, при изучении гиперболических групп . ^[39] Другие отрасли, в которых решающим образом применяются группы, включают алгебраическую геометрию и теорию чисел . ^[40]

В дополнение к вышеуказанным теоретическим приложениям существует множество практических приложений групп. Криптография основывается на сочетании подхода абстрактной теории групп с алгоритмическими знаниями, полученными в вычислительной теории групп , в частности, при реализации для конечных групп. ^[41] Приложения теории групп не ограничиваются математикой; такие науки, как физика , химия и информатика, выигрывают от этой концепции.

Числа [ править ]

Многие системы счисления, такие как целые числа и рациональные числа, имеют естественно заданную групповую структуру. В некоторых случаях, например, с рациональными числами, операции сложения и умножения приводят к образованию групповых структур. Такие системы счисления являются предшественниками более общих алгебраических структур, известных как кольца и поля . Другие абстрактные алгебраические понятия, такие как модули , векторные пространства и алгебры, также образуют группы.

Целые числа [ править ]

Группа целых чисел при добавлении, обозначенная , была описана выше. Целые, с операцией умножения вместо того, делать не образуют группу. Аксиомы ассоциативности и тождества выполнены, но обратных не существует: например, a = 2 - целое число, но единственное решение уравнения a · b = 1 в этом случае - b = 1/2 , что является рациональным число, но не целое. Следовательно, не каждый элемент имеет обратный (мультипликативный). ^[k]${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\displaystyle \left(\mathbb {Z} ,+\right)}$${\displaystyle \left(\mathbb {Z} ,\cdot \right)}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Рационал [ править ]

Стремление к существованию обратных мультипликативов предполагает рассмотрение дробей

${\displaystyle {\frac {a}{b}}.}$

Дроби целых чисел (с отличным от нуля b ) известны как рациональные числа . ^[l] Множество всех таких неприводимых дробей обычно обозначается . По-прежнему существует небольшое препятствие для рациональных чисел с умножением, являющихся группой: поскольку рациональное число 0 не имеет мультипликативного обратного (т. Е. Не существует x такого, что x · 0 = 1 ), оно все еще не является группой.${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,\cdot \right)}$${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,\cdot \right)}$

Однако набор всех ненулевых рациональных чисел действительно образует абелеву группу при умножении, обычно обозначаемом . ^[m] Аксиомы ассоциативности и идентичности вытекают из свойств целых чисел. Требование закрытия все еще остается в силе после удаления нуля, потому что произведение двух ненулевых рациональных чисел никогда не равно нулю. Наконец, обратным к a / b является b / a , поэтому аксиома обратного элемента выполняется.${\displaystyle \mathbb {Q} \setminus \left\{0\right\}=\left\{q\in \mathbb {Q} \mid q\neq 0\right\}}$${\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}}$

Рациональные числа (включая 0) также образуют группу при сложении. Сплетающие дают операции сложения и умножения более сложные структуры , называемые кольцами и , если-разделение возможно, например, в - полей , которые занимают центральное место в абстрактной алгебре . Следовательно, теоретические аргументы групп лежат в основе некоторых частей теории этих сущностей. ^[n]${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Модульная арифметика [ править ]

В модульной арифметике два целых числа складываются, а затем сумма делится на положительное целое число, называемое модулем. Результатом модульного добавления является остаток от этого подразделения. Для любого модуля n набор целых чисел от 0 до n - 1 образует группу при модульном сложении: обратный элемент для любого элемента a равен n - a , а 0 - это единичный элемент. Это знакомо по добавлению часов на циферблате : если часовая стрелка находится на 9, а передвинута на 4 часа, она заканчивается на 1, как показано справа. Это выражается в том, что 9 + 4 равно 1 "по модулю 12" или, в символах,

9 + 4 ≡ 1 по модулю 12.

Группа целых чисел по модулю n записывается или .${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

Для любого простого числа p существует также мультипликативная группа целых чисел по модулю p . ^[42] Его элементами являются целые числа от 1 до p - 1 . Групповая операция - это умножение по модулю p . То есть обычное произведение делится на p, а остаток от этого деления является результатом модульного умножения. Например, если p = 5 , есть четыре элемента группы 1, 2, 3, 4. В этой группе 4 · 4 = 1 , потому что обычное произведение 16 эквивалентно 1, которое при делении на 5 дает остаток 1. .для 5 делит 16 - 1 = 15 , обозначается

16 ≡ 1 (мод 5).

Простота p гарантирует, что произведение двух целых чисел, ни одно из которых не делится на p , также не делится на p , поэтому указанный набор классов замкнут относительно умножения. ^[o] Единичный элемент равен 1, как обычно для мультипликативной группы, а ассоциативность следует из соответствующего свойства целых чисел. Наконец, аксиома обратного элемента требует, чтобы для целого числа a, не делящегося на p , существовало целое число b такое, что

a  ·  b  ≡ 1 (mod p ), т.е. p делит разность a · b - 1 .

Обратный b можно найти, используя тождество Безу и тот факт, что наибольший общий делитель gcd ( a , p ) равен 1. ^[43] В случае p = 5, указанном выше, обратное значение 4 равно 4, а обратное значение 3 равно 2, так как 3 · 2 = 6 ≡ 1 (mod 5) . Следовательно, все аксиомы группы выполнены. Собственно, этот пример похож на предыдущий: он состоит именно из тех элементов, в которых есть мультипликативная инверсия. ^[44] Эти группы обозначаются F _p ^× . Они имеют решающее значение для криптографии с открытым ключом . ^[п]${\displaystyle \left(\mathbb {Q} \setminus \left\{0\right\},\cdot \right)}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$

Циклические группы [ править ]

Циклическая группа представляет собой группа , у которой все элементы являются силами конкретного элемента а . ^[45] В мультипликативной записи элементами группы являются:

..., a ⁻³ , a ⁻² , a ⁻¹ , a ⁰ = e , a , a ² , a ³ , ...,

где а ² означает ⋅ а , и ^-3 обозначает ^-1 ⋅ ^-1 ⋅ ^-1 = ( ⋅ ⋅ ) ^-1 и т.д. ^[ч] Такой элемент называется генератор или примитивный элемент группы. В аддитивной нотации требование к элементу быть примитивным состоит в том, что каждый элемент группы может быть записан как

..., - а - а , - а , 0, а , а + а , ...

В введенных выше группах Z / n Z элемент 1 примитивен, поэтому эти группы циклические. В самом деле, каждый элемент можно выразить в виде суммы, все члены которой равны 1. Любая циклическая группа с n элементами изоморфна этой группе. Второй пример циклических групп - это группа комплексных корней n -й степени из единицы , заданная комплексными числами z, удовлетворяющими z ⁿ = 1 . Эти числа можно визуализировать как вершины правильного n -угольника, как показано синим справа для n = 6 . Групповая операция - это умножение комплексных чисел. На картинке умножение наz соответствует повороту на 60 ° против часовой стрелки . ^[46] Используя некоторую теорию поля , можно показать , что группа F _p ^× циклическая: например, если p = 5 , 3 является образующей, поскольку 3 ¹ = 3 , 3 ² = 9 4 , 3 ³ ≡ 2 , и 3 ⁴ ≡ 1 .

Некоторые циклические группы имеют бесконечное количество элементов. В этих группах для любого ненулевого элемента a все степени a различны; несмотря на название «циклическая группа», силы элементов не меняются. Бесконечная циклическая группа изоморфна ( Z , +) , группе целых чисел относительно введенного выше сложения. ^[47] Как эти два прототипа абелевы, так и любая циклическая группа.

Изучение конечно порожденных абелевых групп является достаточно зрелым, включая фундаментальную теорему о конечно порожденных абелевых группах ; и отражая это положение дел, многие связанные с группами понятия, такие как центр и коммутатор , описывают степень, в которой данная группа не абелева. ^[48]

Группы симметрии [ править ]

Группы симметрий - это группы, состоящие из симметрий заданных математических объектов - будь они геометрической природы, такой как вводная группа симметрии квадрата, или алгебраической природы, такой как полиномиальные уравнения и их решения. ^[49] Концептуально теорию групп можно рассматривать как исследование симметрии. ^[t] Симметрии в математике значительно упрощают изучение геометрических или аналитических объектов . Говорят, что группа действует на другой математический объект X, если каждый элемент группы может быть связан с некоторой операцией на Xи композиция этих операций подчиняется групповому закону. В крайнем правом примере ниже элемент порядка 7 из группы треугольников (2,3,7) действует на мозаику, переставляя выделенные искривленные треугольники (и другие тоже). Групповым действием шаблон группы связан со структурой объекта, над которым действует.

В химических областях, таких как кристаллография , пространственные группы и точечные группы описывают симметрии молекул и симметрии кристаллов. Эти симметрии лежат в основе химического и физического поведения этих систем, а теория групп позволяет упростить квантово-механический анализ этих свойств. ^[50] Например, теория групп используется, чтобы показать, что оптические переходы между определенными квантовыми уровнями не могут происходить просто из-за симметрии вовлеченных состояний.

Группы не только полезны для оценки последствий симметрии в молекулах, но, что удивительно, они также предсказывают, что молекулы иногда могут изменять симметрию. Эффект Яна-Теллера - это искажение молекулы высокой симметрии, когда она принимает конкретное основное состояние более низкой симметрии из набора возможных основных состояний, которые связаны друг с другом операциями симметрии молекулы. ^{[51] [52]}

Точно так же теория групп помогает предсказать изменения физических свойств, которые происходят, когда материал претерпевает фазовый переход , например, из кубической в ​​тетраэдрическую кристаллическую форму. Примером могут служить сегнетоэлектрические материалы, в которых переход из параэлектрического состояния в сегнетоэлектрическое происходит при температуре Кюри и связан с переходом из высокосимметричного параэлектрического состояния в сегнетоэлектрическое состояние с более низкой симметрией, сопровождающееся так называемой мягкой фононной модой. , колебательная мода решетки, которая на переходе переходит в нулевую частоту. ^[53]

Такое спонтанное нарушение симметрии нашло дальнейшее применение в физике элементарных частиц, где его возникновение связано с появлением голдстоуновских бозонов .

Группы конечной симметрии, такие как группы Матье , используются в теории кодирования , которая, в свою очередь, применяется при исправлении ошибок передаваемых данных, а также в проигрывателях компакт-дисков . ^[54] Другое приложение - дифференциальная теория Галуа , которая характеризует функции, имеющие первообразные заданного вида, давая теоретико-групповые критерии, когда решения некоторых дифференциальных уравнений являются хорошими. ^[u] Геометрические свойства, которые остаются устойчивыми при групповых действиях, исследуются в (геометрической) теории инвариантов . ^[55]

Общая линейная теория групп и представлений [ править ]

Группы матриц состоят из матриц вместе с матричным умножением . Линейная группа GL ( п , Р ) состоит из всех обратимых п матрицы с размерностью п матриц с реальными записями. ^[56] Его подгруппы называются матричными группами или линейными группами . Упомянутый выше пример диэдральной группы можно рассматривать как (очень маленькую) матричную группу. Другой важной группой матриц является специальная ортогональная группа SO ( n ). Он описывает все возможные вращения в nразмеры. Через углы Эйлера , матрицы поворота используется в компьютерной графике . ^[57]

Теория представлений является одновременно приложением концепции группы и важна для более глубокого понимания групп. ^{[58] [59]} Он изучает группу по ее групповым действиям на других пространствах. Широкий класс представлений групп - это линейные представления, т. Е. Группа действует в векторном пространстве , таком как трехмерное евклидово пространство R ³ . Представление G на п - мерное вещественное векторное пространство просто гомоморфизм групп

ρ : G → GL ( n , R )

от группы к полной линейной группе. Таким образом, групповая операция, которую можно дать абстрактно, трансформируется в умножение матриц, что делает ее доступной для явных вычислений. ^[w]

При групповом действии это дает дополнительные возможности для изучения объекта, на который воздействуют. ^[x] С другой стороны, он также дает информацию о группе. Представления групп являются организующим принципом в теории конечных групп, групп Ли, алгебраических групп и топологических групп , особенно (локально) компактных групп . ^{[58] [60]}

Группы Галуа [ править ]

Группы Галуа были разработаны, чтобы помочь решать полиномиальные уравнения , фиксируя их особенности симметрии. ^{[61] [62]} Например, решения квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 имеют вид

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

Замена «+» и «-» в выражении, т. Е. Перестановка двух решений уравнения, может рассматриваться как (очень простая) групповая операция. Подобные формулы известны для уравнений кубической и четвертой степени , но, как правило, не существуют для степени 5 и выше. ^[63] Абстрактные свойства групп Галуа, связанные с многочленами (в частности, их разрешимость ), дают критерий для многочленов, все решения которых выражаются радикалами, т. Е. Решения, выражаемые только с помощью сложения, умножения и корней, аналогично формуле выше. ^[64]

Проблему можно решить, перейдя к теории поля и рассмотрев поле расщепления полинома. Современная теория Галуа обобщает вышеуказанный тип групп Галуа на расширения полей и устанавливает - с помощью фундаментальной теоремы теории Галуа - точную связь между полями и группами, еще раз подчеркивая повсеместность групп в математике.

Конечные группы [ править ]

Группа называется конечной, если в ней есть конечное число элементов . Количество элементов называется порядком группы. ^[65] Важный класс является симметрические группы S _N , группы перестановок из N объектов. Например, симметричная группа из 3 букв S 3 - это группа всех возможных переупорядочений объектов. Например, три буквы ABC можно переупорядочить в ABC , ACB , BAC , BCA , CAB , CBA., формируя всего 6 ( факториал из 3) элементов. Операция - это составление повторных заказов. Нейтральный элемент сохраняет порядок в том же порядке. Этот класс является фундаментальным, поскольку любая конечная группа может быть выражена как подгруппа симметрической группы S _N для подходящего целого числа N согласно теореме Кэли . Параллельно группе симметрий квадрата выше, S ₃ также можно интерпретировать как группу симметрий равностороннего треугольника .

Порядок элемента a в группе G - это наименьшее положительное целое число n такое, что a ⁿ  =  e , где a ⁿ представляет

${\displaystyle \underbrace {a\cdots a} _{n{\text{ factors}}},}$

то есть применение операции «⋅» к n копиям файла . (Если «⋅» обозначает умножение, затем ^п соответствует п - й степень ) . В бесконечных группах, такой п может не существовать, в этом случае порядок называется бесконечность. Порядок элемента равен порядку циклической подгруппы, порожденной этим элементом.

Более сложные методы подсчета, например, подсчет смежных классов, дают более точные утверждения о конечных группах: теорема Лагранжа утверждает , что для конечной группы G порядок любой конечной подгруппы H делит порядка G . Силова теоремы дают частичное обратное.

Группа диэдра (обсуждаемая выше) является конечной группой порядка 8. Порядок r ₁ равен 4, как и порядок подгруппы R, которую она порождает (см. Выше). Порядок отражающих элементов f _v и _т. Д. Равен 2. Оба порядка делят 8, как предсказывает теорема Лагранжа. Группы F _p ^×, указанные выше, имеют порядок p - 1 .

Классификация конечных простых групп [ править ]

Математики часто стремятся к полной классификации (или списку) математических понятий. В контексте конечных групп эта цель приводит к сложной математике. Согласно теореме Лагранжа конечные группы порядка p , простого числа, обязательно являются циклическими (абелевыми) группами Z _p . Группы порядка p ² могут также быть абелевыми, утверждение, которое не обобщается на порядок p ³ , как показывает вышеупомянутая неабелева группа D ₄ порядка 8 = 2 ³ . ^[66] Системы компьютерной алгебры можно использовать для составления списка малых групп , но не существует классификации всех конечных групп.^[q] Промежуточным шагом является классификация конечных простых групп. ^[r] Нетривиальная группа называется простой, если ее единственные нормальные подгруппы - это тривиальная группа и сама группа. ^[s] Теорема Жордана – Гёльдера показывает, что конечные простые группы являются строительными блоками для всех конечных групп. ^[67] Перечисление всех конечных простых групп было крупным достижением в современной теории групп. Ричард Борчердс, обладатель медали Филдса 1998 года,сумел доказать чудовищные догадки о самогоне, удивительную и глубокую связь между самой большой конечной простой спорадической группой.(« группа монстров ») и определенные модульные функции , часть классического комплексного анализа и теории струн, теории , которая должна объединить описание многих физических явлений. ^[68]

Категория групп [ править ]

Если рассматривать сразу все группы и все гомоморфизмы между ними, получается категория . ^[69] Фактически, категория групп является одним из мотивирующих примеров для определения категории; аксиомы в определении категории отражают свойства гомоморфизмов групп, таких , как тот факт , что гомоморфизмы → B и B → C может состоять , чтобы произвести гомоморфизм → C .

Не существует кардинального числа , ограничивающего мощность каждой группы, поэтому не может быть множества, членами которого являются все группы; вместо этого набор всех групп является правильным классом . Это означает, что категория групп - не маленькая категория . С другой стороны, для данных групп G и H набор Hom ( G , H ) всех гомоморфизмов G → H является множеством (его можно рассматривать как подмножество множества степеней группы G × H ), поэтому категория группы - это небольшая категория на местном уровне .

Группы с дополнительной структурой [ править ]

Многие группы одновременно являются группами и примерами других математических структур. На языке теории категорий они представляют собой групповые объекты в категории , что означает, что они являются объектами (то есть примерами другой математической структуры), которые имеют преобразования (называемые морфизмами ), имитирующие групповые аксиомы. Например, каждая группа (как определено выше) также является набором, поэтому группа - это групповой объект в категории наборов .

Топологические группы [ править ]

Некоторые топологические пространства могут быть наделены групповым законом. Чтобы групповой закон и топология хорошо переплетались, групповые операции должны быть непрерывными функциями ; неформально, g ⋅ h и g ⁻¹ не должны сильно меняться, если g и h меняются незначительно. Такие группы называются топологическими группами, и они являются групповыми объектами в категории топологических пространств . ^[70] Самыми простыми примерами являются группа действительных чисел при сложении и группа ненулевых действительных чисел при умножении. Подобные примеры можно составить из любых другихтопологическое поле , такое как поле комплексных чисел или поле p -адических чисел . Эти примеры локально компактны , поэтому имеют меры Хаара и могут быть изучены с помощью гармонического анализа . Другие локально компактные топологические группы включают группу точек алгебраической группы над локальным полем или кольцом аделей ; это основа теории чисел. ^[71] Группы Галуа бесконечных алгебраических расширений поля снабжены топологией Крулля , которая играет роль в бесконечной теории Галуа . ^[72] Обобщение, используемое валгебраическая геометрия - этальная фундаментальная группа . ^[73]

Группы лжи [ править ]

Группа Ли - это группа, которая также имеет структуру дифференцируемого многообразия ; неформально, это означает , что она выглядит локально , как в евклидовом пространстве некоторой фиксированной размерности . ^[74] Опять же, определение требует, чтобы дополнительная структура, здесь структура многообразия, была совместимой: умножение и обратные отображения должны быть гладкими .

Стандартный примером является общей линейной группой введенной выше: это открытое подмножество пространства всех N матрицы с размерностью п матриц, так как она задается неравенство

det ( A ) ≠ 0,

где обозначает в н матрицу с размерностью п матрицу. ^[75]

Группы Ли имеют фундаментальное значение в современной физике: теорема Нётер связывает непрерывные симметрии с сохраняющимися величинами . ^[76] Вращение , а также перемещения в пространстве и времени являются основными симметриями законов механики . Их можно, например, использовать для построения простых моделей - например, наложение осевой симметрии на ситуацию обычно приводит к значительному упрощению уравнений, которые необходимо решить для обеспечения физического описания. ^[v] Другой пример - группа преобразований Лоренца., которые связывают измерения времени и скорости двух наблюдателей, движущихся относительно друг друга. Их можно вывести чисто теоретико-групповым способом, выражая преобразования как вращательную симметрию пространства Минковского . Последняя служит - в отсутствие значительной гравитации - моделью пространства-времени в специальной теории относительности . ^[77] Полная группа симметрии пространства Минковского, т. Е. Включая трансляции, известна как группа Пуанкаре . Согласно вышесказанному, он играет ключевую роль в специальной теории относительности и, как следствие, в квантовых теориях поля . ^[78] Симметрии, которые зависят от местоположениязанимают центральное место в современном описании физических взаимодействий с помощью калибровочной теории . ^[79]

Обобщения [ править ]

В абстрактной алгебре более общие структуры определяются путем ослабления некоторых аксиом, определяющих группу. ^{[69] [80] [81]} Например, если исключить требование, чтобы каждый элемент имел обратный, полученная алгебраическая структура называется моноидом . В натуральных числах N (включая 0) при добавлении образуют моноид, как и ненулевые целые числа при умножении ( Z ∖ {0}, ·) , смотрите выше. Существует общий метод формального добавления инверсий к элементам к любому (абелеву) моноиду, почти так же, как ( Q ∖ {0}, ·) получается из ( Z ∖ {0}, ·), известная как группа Гротендика . Группоиды похожи на группы, за исключением того, что композицию a ⋅ b не нужно определять для всех a и b . Они возникают при изучении более сложных форм симметрии, часто в топологических и аналитических структурах, таких как фундаментальный группоид или стеки . Наконец, можно обобщить любую из этих концепций, заменив бинарную операцию произвольной n -арной операцией (т. Е. Операцией, принимающей nаргументы). При правильном обобщении групповых аксиом это приводит к n -арной группе . ^[82] В таблице приведен список нескольких структур, обобщающих группы.

См. Также [ править ]

• Список тем теории групп

Примечания [ править ]

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

Общие ссылки [ править ]

• Артин, Майкл (2018), Алгебра , Прентис Холл , ISBN 978-0-13-468960-9Глава 2 содержит изложение понятий, рассматриваемых в этой статье, на уровне бакалавриата.
• Девлин, Кейт (2000), Язык математики: создание невидимого видимым , Owl Books, ISBN 978-0-8050-7254-9В главе 5 дается доступное для неспециалистов объяснение групп.
• Холл, Г.Г. (1967), Прикладная теория групп , American Elsevier Publishing Co., Inc., Нью-Йорк, MR  0219593, элементарное введение.
• Херштейн, Израиль Натан (1996), Абстрактная алгебра (3-е изд.), Верхняя Седл-Ривер, Нью-Джерси: Prentice Hall Inc., ISBN 978-0-13-374562-7, MR  1375019.
• Herstein, Israel Nathan (1975), Topics in algebra (2-е изд.), Lexington, Mass: Xerox College Publishing, MR  0356988.
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556
• Ланг, Серж (2005), бакалавр алгебры (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-22025-3.
• Ледерманн, Вальтер (1953), Введение в теорию конечных групп , Оливер и Бойд, Эдинбург и Лондон, MR  0054593.
• Ледерманн, Уолтер (1973), Введение в теорию групп , Нью-Йорк: Barnes and Noble, OCLC  795613.
• Робинсон, Дерек Джон Скотт (1996), курс теории групп , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94461-6.

Специальные ссылки [ править ]

• Артин, Эмиль (1998), Теория Галуа , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-62342-9.
• Ашбахер, Майкл (2004), «Статус классификации конечных простых групп» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 51 (7): 736–740.
• Бекки, К. (1997), Введение в калибровочные теории , стр. 5211, arXiv : hep-ph / 9705211 , Bibcode : 1997hep.ph .... 5211B.
• Беше, Ганс Ульрих; Эйк, Беттина; О'Брайно, EA (2001), "Группы порядка не 2000" , электронные исследования Объявление о Американском математическом обществе , 7 : 1-4, DOI : 10,1090 / S1079-6762-01-00087-7 , MR  1826989.
• Бишоп, Дэвид HL (1993), теория групп и химия , Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 978-0-486-67355-4.
• Борель, Арманд (1991), Линейные алгебраические группы , Тексты для выпускников по математике, 126 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97370-8, MR  1102012.
• Картер, Роджер В. (1989), Простые группы типа Лжи , Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50683-6.
• Конвей, Джон Хортон ; Дельгадо Фридрихс, Олаф; Huson, Daniel H .; Терстон, Уильям П. (2001), «О трехмерных пространственных группах», Beiträge zur Algebra und Geometrie , 42 (2): 475–507, arXiv : math.MG/9911185 , MR  1865535.
• Coornaert, M .; Delzant, T .; Пападопулос А. (1990), Géométrie et théorie des groupes [Геометрия и теория групп] , Конспект лекций по математике (на французском языке), 1441 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-52977-4, MR  1075994.
• Денеке, Клаус; Висмат, Шелли Л. (2002), Универсальная алгебра и приложения в теоретической информатике , Лондон: CRC Press , ISBN 978-1-58488-254-1.
• Дудек, WA (2001), "О некоторых старых проблемах в n-мерных группах", Квазигруппы и родственные системы , 8 : 15–36.
• Фрухт, Р. (1939), «Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe [Построение графов с заданной группой]» , Compositio Mathematica (на немецком языке), 6 : 239–50, заархивировано с оригинала на 2008-12-01.
• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991), Теория представлений. Первый курс , Тексты для выпускников по математике , Чтения по математике, 129 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97495-8, Руководство по ремонту  1153249
• Гольдштейн, Герберт (1980), Classical Mechanics (2 ed.), Reading, MA: Addison-Wesley Publishing, стр. 588–596, ISBN 0-201-02918-9.
• Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-79540-1.
• Хусейн, Такдир (1966), Введение в топологические группы , Филадельфия: WB Saunders Company, ISBN 978-0-89874-193-3
• Jahn, H .; Теллер, Э. (1937), "Стабильность многоатомных молекул в вырожденных электронных состояниях. I. Орбитальное вырождение", Труды Королевского общества A , 161 (905): 220–235, Bibcode : 1937RSPSA.161..220J , doi : 10.1098 / rspa.1937.0142.
• Койперс, Джек Б. (1999), Кватернионы и последовательности вращения - учебник для начинающих по орбитам, аэрокосмической и виртуальной реальности , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-05872-6, Руководство по ремонту  1670862.
• Куга, Мичио (1993), мечта Галуа: теория групп и дифференциальные уравнения , Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-3688-3, MR  1199112.
• Курцвейл, Ганс; Штельмахер, Бернд (2004), Теория конечных групп , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-40510-0, MR  2014408.
• Лэй, Дэвид (2003), линейная алгебра и ее приложения , Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-70970-4.
• Mac Lane, Saunders (1998), Категории для рабочего математика (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98403-2.
• Михлер, Герхард (2006), Теория конечных простых групп , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-86625-5.
• Милн, Джеймс С. (1980), Étale cohomology , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08238-7
• Мамфорд, Дэвид ; Fogarty, J .; Кирван, Ф. (1994), Геометрическая теория инвариантов , 34 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56963-3, Руководство по ремонту  1304906.
• Набер, Грегори Л. (2003), Геометрия пространства-времени Минковского , Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 978-0-486-43235-9, MR  2044239.
• Нойкирх, Юрген (1999), алгебраическая теория чисел , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , 322 , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65399-8, Руководство по ремонту  1697859 , Zbl  0956.11021
• Романовская, А.Б .; Смит, JDH (2002), Modes , World Scientific , ISBN 978-981-02-4942-7.
• Ронан, Марк (2007), Симметрия и монстр: История одного из величайших заданий математики , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-280723-6.
• Розен, Кеннет Х. (2000), Элементарная теория чисел и ее приложения (4-е изд.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-87073-2, Руководство по ремонту  1739433.
• Рудин, Вальтер (1990), Анализ Фурье на группах , Wiley Classics, Wiley-Blackwell, ISBN 0-471-52364-X.
• Сересс, Акос (1997), "Введение в вычислительную теорию групп" (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 44 (6): 671–679, MR  1452069.
• Серр, Жан-Пьер (1977), Линейные представления конечных групп , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90190-9, Руководство по ремонту  0450380.
• Шац, Стивен С. (1972), Проконечные группы, арифметика и геометрия , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08017-8, MR  0347778
• Suzuki, Мичио (1951), "О решетке подгрупп конечных групп", Труды Американского математического общества , 70 (2): 345-371, дой : 10,2307 / 1990375 , JSTOR  1990375.
• Уорнер, Франк (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90894-6.
• Вайнберг, Стивен (1972), Гравитация и космология , Нью-Йорк: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-92567-5.
• Валлийский, Доминик (1989), Коды и криптография , Оксфорд: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853287-3.
• Вейль, Герман (1952), Симметрия , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-02374-8.

Исторические ссылки [ править ]

• Борел, Арманд (2001), Очерки истории групп Ли и алгебраических групп , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0288-5
• Кэли, Артур (1889), Сборник математических статей Артура Кэли , II (1851–1860), Cambridge University Press.
• О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Развитие теории групп" , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.
• Кертис, Чарльз У. (2003), Пионеры теории представлений: Фробениус, Бернсайд, Шур и Брауэр , История математики, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-2677-5.
• фон Дайк, Вальтер (1882 г.), «Gruppentheoretische Studien (теоретико-групповые исследования)» , Mathematische Annalen (на немецком языке), 20 (1): 1–44, doi : 10.1007 / BF01443322 , S2CID  179178038 , заархивировано с оригинала в 2014 г. -02-22.
• Галуа, Эварист (1908), Кожевник, Жюль (редактор), Манускрипты Эвариста Галуа [Рукописи Эвариста Галуа] (на французском языке), Париж: Готье-Виллар(Работа Галуа была впервые опубликована Жозефом Лиувиллем в 1843 году).
• Джордан, Камилла (1870 г.), Traité des replaces et des équations algébriques [Исследование замен и алгебраических уравнений] (на французском языке), Париж: Gauthier-Villars.
• Клейнер, Израиль (1986), "Эволюция теории групп: Краткий обзор", Математика Журнал , 59 (4): 195-215, DOI : 10,2307 / 2690312 , JSTOR  2690312 , МР  0863090.
• Ли, Софус (1973), Gesammelte Abhandlungen. Группа 1 [Сборник статей. Том 1] (на немецком языке), Нью-Йорк: Johnson Reprint Corp., MR  0392459.
• Макки, Джордж Уайтлоу (1976), Теория представлений унитарных групп , University of Chicago Press , MR  0396826
• Смит, Дэвид Юджин (1906), История современной математики , Математические монографии, № 1.
• Вуссинг, Ханс (2007), Происхождение концепции абстрактной группы: вклад в историю происхождения абстрактной теории групп , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-45868-7.

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Группа» . MathWorld .
• Группа (математика) в Британской энциклопедии