Группа Галуа

В математике , в области абстрактной алгебры , известной как теория Галуа , то группа Галуа определенного типа расширения поля является специфической группой , связанной с расширением поля. Изучение расширений полей и их связи с полиномами, которые их порождают, с помощью групп Галуа, называется теорией Галуа , названной так в честь Эвариста Галуа, который их первым открыл.

Для более элементарного обсуждения групп Галуа в терминах групп перестановок см. Статью по теории Галуа .

Определение [ править ]

Предположим, что это расширение поля (написано и читается как « E над F  »). Автоморфизм из определяется как автоморфизм , который фиксирует точечно. Другими словами, автоморфизм - это изоморфизм такой, что для каждого . Множество всех автоморфизмов образует группу с операцией композиции функций . Эту группу иногда обозначают как${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle E / F}$${\ displaystyle E / F}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle E / F}$ ${\ displaystyle \ alpha: E \ to E}$${\ Displaystyle \ альфа (х) = х}$${\ displaystyle x \ in F}$${\ displaystyle E / F}$${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (E / F).}$

Если это расширение Галуа , то называется группа Галуа из , и обычно обозначается . ^[1]${\ displaystyle E / F}$${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (E / F)}$${\ displaystyle E / F}$${\ displaystyle \ operatorname {Gal} (E / F)}$

Если это не расширение Галуа, то группа Галуа иногда определяется как , где это замыкание Галуа из .${\ displaystyle E / F}$${\ displaystyle E / F}$${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (K / F)}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle E}$

Группа Галуа многочлена [ править ]

Другое определение группы Галуа происходит от группы Галуа многочлена . Если есть поле такое, что множители как произведение линейных многочленов${\ displaystyle f \ in F [x]}$${\ displaystyle K / F}$${\ displaystyle f}$

${\ Displaystyle е (х) = (х- \ альфа _ {1}) \ cdots (х- \ альфа _ {к}) \ в К [х]}$

над полем , то группа Галуа многочлена определяется как группа Галуа, где минимальна среди всех таких полей.${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle K / F}$${\ displaystyle K}$

Структура групп Галуа [ править ]

Основная теорема теории Галуа [ править ]

Одна из важных структурных теорем теории Галуа исходит из основной теоремы теории Галуа . Это означает, что для данного конечного расширения Галуа существует биекция между множеством подполей и подгруппами Тогда, задается набором инвариантов при действии , поэтому${\ displaystyle K / k}$${\ Displaystyle к \ подмножество Е \ подмножество К}$${\ Displaystyle H \ подмножество G.}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle H}$

${\ displaystyle E = K ^ {H} = \ {a \ in K: ga = a {\ text {where}} g \ in H \}}$

Более того, если - нормальная подгруппа, то . И наоборот, если это нормальное расширение поля, то соответствующая подгруппа в является нормальной группой.${\ displaystyle H}$${\displaystyle G/H\cong \operatorname {Gal} (E/k)}$${\displaystyle E/k}$${\displaystyle \operatorname {Gal} (K/k)}$

Структура решетки [ править ]

Предположим, есть расширения Галуа с группами Галуа . Поле с группой Галуа имеет инъекцию, которая всегда является изоморфизмом . ^[2]${\displaystyle K_{1},K_{2}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle G_{1},G_{2}.}$${\displaystyle K_{1}K_{2}}$${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (K_{1}K_{2}/k)}$${\displaystyle G\to G_{1}\times G_{2}}$${\displaystyle K_{1}\cap K_{2}=k}$

Введение [ править ]

Как следствие, это можно ввести конечное число раз. Для расширений Галуа, в которых имеется изоморфизм соответствующих групп Галуа:${\displaystyle K_{1},\ldots ,K_{n}/k}$${\displaystyle K_{i+1}\cap (K_{1}\cdots K_{i})=k,}$

${\displaystyle \operatorname {Gal} (K_{1}\cdots K_{n}/k)\cong G_{1}\times \cdots \times G_{n}.}$

Примеры [ править ]

В следующих примерах - это поле и поля комплексных , действительных и рациональных чисел соответственно. Обозначение Р ( ) указывает на расширение поля , полученное присоединением элемент A к полю F .${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbb {C} ,\mathbb {R} ,\mathbb {Q} }$

Вычислительные инструменты [ править ]

Мощность группы Галуа и степень расширения поля [ править ]

Одним из основных предложений, необходимых для полного определения групп Галуа ^[3] конечного расширения поля, является следующее: Пусть дан многочлен , пусть будет его расширением поля расщепления. Тогда порядок группы Галуа равен степени расширения поля; то есть,${\displaystyle f(x)\in F[x]}$${\displaystyle E/F}$

${\displaystyle |\operatorname {Gal} (E/F)|=[E:F]}$

Критерий Эйзенштейна [ править ]

Полезный инструмент для определения группы Галуа полинома исходит из критерия Эйзенштейна . Если многочлен делится на неприводимые многочлены, группа Галуа может быть определена с использованием групп Галуа каждого, поскольку группа Галуа содержит каждую из групп Галуа${\displaystyle f\in F[x]}$${\displaystyle f=f_{1}\cdots f_{k}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{i}.}$

Тривиальная группа [ править ]

${\displaystyle \operatorname {Gal} (F/F)}$ - это тривиальная группа, имеющая единственный элемент, а именно тождественный автоморфизм.

Другой пример тривиальной группы Галуа: Действительно, можно показать, что любой автоморфизм группы должен сохранять порядок действительных чисел и, следовательно, должен быть тождественным.${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathbb {R} /\mathbb {Q} ).}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Рассмотрим поле . Группа содержит только тождественный автоморфизм. Это потому, что это не нормальное расширение , так как два других кубических корня ,${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (K/\mathbb {Q} )}$${\displaystyle K}$${\displaystyle 2}$

${\displaystyle \exp \left({\tfrac {2\pi i}{3}}\right){\sqrt[{3}]{2}}}$ и ${\displaystyle \exp \left({\tfrac {4\pi i}{3}}\right){\sqrt[{3}]{2}},}$

отсутствуют в расширении - другими словами, K не является полем разбиения .

Конечные абелевы группы [ править ]

Группа Галуа состоит из двух элементов: тождественного автоморфизма и автоморфизма комплексного сопряжения . ^[4]${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {R} )}$

Квадратичные расширения [ править ]

Расширение поля степени два имеет группу Галуа с двумя элементами, тождественным автоморфизмом и автоморфизмом, который меняет местами √ 2 и - √ 2 . Этот пример обобщает простое число${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} }$${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} ).}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle p\in \mathbb {N} .}$

Произведение квадратичных расширений [ править ]

Используя решеточную структуру групп Галуа, для не равных простых чисел группа Галуа группы Галуа имеет вид${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k}}$${\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {p_{1}}},\ldots ,{\sqrt {p_{k}}}\right)/\mathbb {Q} }$

${\displaystyle \operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}},\ldots ,{\sqrt {p_{k}}})/\mathbb {Q} \right)\cong \operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}})/\mathbb {Q} \right)\times \cdots \times \operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{k}}})/\mathbb {Q} \right)\cong \mathbb {Z} /2\times \cdots \times \mathbb {Z} /2}$

Циклотомические расширения [ править ]

Другой полезный класс примеров связан с полями расщепления круговых многочленов . Это полиномы, определяемые как${\displaystyle \Phi _{n}}$

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\prod _{\begin{matrix}1\leq k\leq n\\\gcd(k,n)=1\end{matrix}}\left(x-e^{\frac {2ik\pi }{n}}\right)}$

степень которого , Функция Эйлера в . Затем, поле разложения над является и имеет автоморфизмы отправки для взаимно простых с . Поскольку степень поля равна степени многочлена, эти автоморфизмы порождают группу Галуа. ^[5] Если тогда${\displaystyle \phi (n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$${\displaystyle \sigma _{a}}$${\displaystyle \zeta _{n}\mapsto \zeta _{n}^{a}}$${\displaystyle 1\leq a<n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}},}$

${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} )\cong \prod _{a_{i}}\operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} (\zeta _{p_{i}^{a_{i}}})/\mathbb {Q} \right)}$

Если - простое число , то следствием этого является ${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{p})/\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /(p-1)}$

Фактически, любая конечная абелева группа может быть найдена как группа Галуа некоторого подполя расширения кругового поля по теореме Кронекера – Вебера .

Конечные поля [ править ]

Другой полезный класс примеров групп Галуа с конечными абелевыми группами исходит из конечных полей. Если q - степень простого числа, и если и обозначают поля Галуа порядка и соответственно, то циклично порядка n и порождено гомоморфизмом Фробениуса .${\displaystyle F=\mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle E=\mathbb {F} _{q^{n}}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q^{n}}$${\displaystyle \operatorname {Gal} (E/F)}$

Примеры степени 4 [ править ]

Расширение поля является примером расширения поля степени . ^[6] Это имеет два автоморфизма, где и Поскольку эти два генератора определяют группу порядка , четырехгруппу Клейна , они определяют всю группу Галуа. ^[3]${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})/\mathbb {Q} }$${\displaystyle 4}$${\displaystyle \sigma ,\tau }$${\displaystyle \sigma ({\sqrt {2}})=-{\sqrt {2}}}$${\displaystyle \tau ({\sqrt {3}})=-{\sqrt {3}}.}$${\displaystyle 4}$

Другой пример дается из поля расщепления многочлена${\displaystyle E/\mathbb {Q} }$

${\displaystyle f(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}$

Обратите внимание, потому что корни есть автоморфизмы ${\displaystyle (x-1)f(x)=x^{5}-1,}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \exp \left({\tfrac {2k\pi i}{5}}\right).}$

${\displaystyle {\begin{cases}\sigma _{l}:E\to E\\\exp \left({\frac {2\pi i}{5}}\right)\mapsto \left(\exp \left({\frac {2\pi i}{5}}\right)\right)^{l}\end{cases}}}$

формирование группы заказа . Поскольку порождает эту группу, группа Галуа изоморфна .${\displaystyle 4}$${\displaystyle \sigma _{1}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /4}$

Конечные неабелевы группы [ править ]

Теперь рассмотрим, где находится примитивный кубический корень из единицы . Группа изоморфна S ₃ , группе диэдра порядка 6 , и L фактически является полем расщепления над${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\omega ),}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} )}$${\displaystyle x^{3}-2}$${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Группа Quaternion [ править ]

Группа Quaternion может быть найдена как группа Галуа расширения поля . Например, расширение поля${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {(2+{\sqrt {2}})(3+{\sqrt {3}})}}\right)}$

имеет заданную группу Галуа. ^[7]

Симметричная группа простого порядка [ править ]

Если - неприводимый многочлен простой степени с рациональными коэффициентами и ровно двумя невещественными корнями, то группа Галуа является полной симметрической группой ^[2]${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S_{p}.}$

Например, не сводится к критерию Эйзенштейна. Построение графика с помощью графического программного обеспечения или бумаги показывает, что он имеет три действительных корня, следовательно, два комплексных корня, показывая, что это группа Галуа .${\displaystyle f(x)=x^{5}-4x+2\in \mathbb {Q} [x]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S_{5}}$

Сравнение групп Галуа расширений глобальных полей [ править ]

Учитывая глобальное расширение поля (такое как ) и класс эквивалентности оценок на (например, -адическое нормирование ), и на таком, что их дополнения дают расширение поля Галуа${\displaystyle K/k}$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{5}]{3}},\zeta _{5})/\mathbb {Q} }$${\displaystyle w}$${\displaystyle K}$${\displaystyle p}$${\displaystyle v}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle K_{w}/k_{v}}$

из местных полей . Тогда существует индуцированное действие группы Галуа

${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (K/k)}$

на множестве классов эквивалентности оценок таких, что пополнения полей согласованы. Это означает, что если тогда существует индуцированная изоморфность локальных полей${\displaystyle s\in G}$

${\displaystyle s_{w}:K_{w}\to K_{sw}}$

Поскольку мы приняли гипотезу, лежащую над (т. Е. Существует расширение поля Галуа ), морфизм поля на самом деле является изоморфизмом -алгебр. Если мы возьмем подгруппу изотропии в качестве класса оценки${\displaystyle w}$${\displaystyle v}$${\displaystyle K_{w}/k_{v}}$${\displaystyle s_{w}}$${\displaystyle k_{v}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle w}$

${\displaystyle G_{w}=\{s\in G:sw=w\}}$

тогда существует сюръекция глобальной группы Галуа к локальной группе Галуа, так что существует изоморфизм между локальной группой Галуа и подгруппой изотропии. Схематично это означает

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Gal} (K/v)&\twoheadrightarrow &\operatorname {Gal} (K_{w}/k_{v})\\\downarrow &&\downarrow \\G&\twoheadrightarrow &G_{w}\end{matrix}}}$

где вертикальные стрелки - изоморфизмы. ^[8] Это дает метод построения групп Галуа локальных полей с использованием глобальных групп Галуа.

Бесконечные группы [ править ]

Основным примером расширения поля с бесконечной группой автоморфизмов является то, что оно содержит каждое алгебраическое расширение поля . Например, каждое расширение поля для бесквадратного элемента имеет автоморфизм уникальной степени , индуцирующий автоморфизм в${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathbb {C} /\mathbb {Q} )}$${\displaystyle E/\mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q} }$${\displaystyle a\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathbb {C} /\mathbb {Q} ).}$

Один из наиболее изученных классов примеров бесконечных групп Галуа происходит от Абсолютной группы Галуа , которые являются проконечными группами . Это бесконечные группы, определенные как обратный предел групп Галуа всех конечных расширений Галуа для фиксированного поля. Обратный предел обозначается${\displaystyle E/F}$

${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\overline {F}}/F):=\varprojlim _{E/F{\text{ finite separable}}}{\operatorname {Gal} (E/F)}}$

где - сепарабельное замыкание поля. Обратите внимание, что эта группа является топологической группой . ^[9] Некоторые основные примеры включают и${\displaystyle {\overline {F}}}$${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )}$

${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\overline {\mathbb {F} }}_{q}/\mathbb {F} _{q})\cong {\hat {\mathbb {Z} }}\cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}}$^{[10] [11]}

Другой легко вычислимый пример связан с расширением поля, содержащим квадратный корень из каждого положительного простого числа. Имеет группу Галуа${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}},\ldots )/\mathbb {Q} }$

${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}},\ldots )/\mathbb {Q} )\cong \prod _{p}\mathbb {Z} /2}$

который можно вывести из бесконечного предела

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}})/\mathbb {Q} )\to \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})/\mathbb {Q} )\to \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} )}$

и используя вычисление групп Галуа.

Свойства [ править ]

Значение расширения Галуа состоит в том, что оно подчиняется основной теореме теории Галуа : замкнутые (относительно топологии Крулля ) подгруппы группы Галуа соответствуют промежуточным полям расширения поля.

Если это расширение Галуа, то может быть задана топология , называемая топологией Крулля, которая превращает его в проконечную группу .${\displaystyle E/F}$${\displaystyle \operatorname {Gal} (E/F)}$

См. Также [ править ]

• Основная теорема теории Галуа
• Абсолютная группа Галуа
• Представление Галуа
• Группа Демушкина
• Решаемая группа

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Джейкобсон, Натан (2009) [1985]. Основы алгебры I (2-е изд.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-47189-1.
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556

Внешние ссылки [ править ]

• «Группа Галуа» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Группа Галуа и группа Quaternion
• «Группы Галуа» . MathPages.com .
• Сравнение глобальной и локальной групп галуа расширения числовых полей
• Представления Галуа - Ричард Тейлор