Геометрическая теория групп - это область математики, посвященная изучению конечно порожденных групп путем изучения связей между алгебраическими свойствами таких групп и топологическими и геометрическими свойствами пространств, на которых эти группы действуют (то есть когда рассматриваемые группы реализуются как геометрические симметрии или непрерывные преобразования некоторых пространств).
Другая важная идея геометрической теории групп - рассматривать конечно порожденные группы как геометрические объекты. Обычно это делается путем изучения графов Кэли групп, которые, помимо структуры графа , наделены структурой метрического пространства , задаваемой так называемой словарной метрикой .
Геометрическая теория групп, как отдельная область, является относительно новой и стала четко идентифицируемой отраслью математики в конце 1980-х - начале 1990-х годов. Геометрическая теория групп тесно взаимодействует с низкоразмерной топологией , гиперболической геометрией , алгебраической топологией , вычислительной теорией групп и дифференциальной геометрией . Существуют также существенные связи с теорией сложности , математической логикой , изучением групп Ли и их дискретных подгрупп, динамическими системами , теорией вероятностей , K-теорией и другими областями математики.
В предисловии к своей книге Теме в геометрической теории групп , Пьер де л Арп писал: «Один из моих личных убеждений является то , что увлечение симметрий и группами являются одним из способов справиться с разочарованиями ограничений жизни: мы хотели бы признать симметрии , которые позволяют нам узнавать больше, чем то, что мы можем видеть. В этом смысле изучение геометрической теории групп является частью культуры и напоминает мне о некоторых вещах, которые Жорж де Рам практиковал во многих случаях, таких как преподавание математики, чтение Малларме или приветствие друг ". [1] : 3
История
Геометрическая теория групп выросла из комбинаторной теории групп , которые в значительной степени изученного свойство дискретных групп с помощью анализа групповых презентаций , которые описывают группы , как дроби из свободных групп ; это было впервые систематически изучено Вальтера фон Дейка , ученик Феликса Клейна , в начале 1880 - х годов, [2] в то время как ранняя форма встречается в 1856 году икосианы от Уильяма Роуэна Гамильтона , где он изучал икосаэдра симметрии группы через край график додекаэдра . В настоящее время комбинаторная теория групп как область в значительной степени относится к геометрической теории групп. Более того, термин «геометрическая теория групп» часто включает изучение дискретных групп с использованием вероятностных, теоретико-мерных , арифметических, аналитических и других подходов, лежащих за пределами арсенала традиционной комбинаторной теории групп.
В первой половине 20-го века новаторские работы Макса Дена , Якоба Нильсена , Курта Райдемайстера и Отто Шрайера , Дж. Х. К. Уайтхеда , Эгберта ван Кампена и других внесли некоторые топологические и геометрические идеи в изучение дискретных групп. [3] Другие предшественники геометрической теории групп включают в себя небольшую теорию отмены и теории Басса-Серра . Теория малого сокращения была введена Мартином Гриндлингером в 1960-х годах [4] [5] и в дальнейшем развита Роджером Линдоном и Полом Шуппом . [6] Он изучает диаграммы Ван Кампена , соответствующие представлениям конечных групп, через условия комбинаторной кривизны и выводит алгебраические и алгоритмические свойства групп из такого анализа. Теория Басса – Серра, представленная в книге Серра 1977 года [7], выводит структурно-алгебраическую информацию о группах, изучая действия групп на симплициальных деревьях . Внешние предшественники геометрической теории групп включают изучение решеток в группах Ли, особенно теоремы о жесткости Мостова , изучение клейновых групп и прогресс, достигнутый в низкоразмерной топологии и гиперболической геометрии в 1970-х и начале 1980-х годов, которые стимулировали, в частности, программой Уильяма Терстона « Геометризация» .
Возникновение геометрической теории групп как отдельной области математики обычно восходит к концу 1980-х - началу 1990-х годов. Это было ускорено 1987 монографии М. Громова «гиперболические группы» [8] , который вводится понятие гиперболической группы (также известный как слово-гиперболической или Громова-гиперболической или отрицательно изогнутой группы), который фиксирует идею конечно порожденный группа , имеющие крупномасштабную отрицательная кривизна, и его последующая монография асимптотических инвариантов бесконечных групп , [9] , что изложила программу Громовой понимания отдельных групп до квазиизометричности . Работа Громова оказала преобразующее влияние на изучение дискретных групп [10] [11] [12], и вскоре после этого начала появляться фраза «геометрическая теория групп». (см., например, [13] ).
Современные темы и разработки
Известные темы и достижения в геометрической теории групп в 1990-х и 2000-х годах включают:
- Программа Громова по изучению квазиизометрических свойств групп.
- Особенно влиятельная широкая тема в этом районе Громова программа «с [14] классификации конечно порожденных групп в зависимости от их крупномасштабной геометрии. Формально это означает классификацию конечно порожденных групп с их словарной метрикой с точностью до квазиизометрии . Эта программа включает:
- Изучение свойств, инвариантных относительно квазиизометрии . Примеры таких свойств конечно порожденных групп включают: скорость роста конечно порожденной группы; изопериметрическая функция или функция Дена из конечно определенной группы ; количество концов группы ; гиперболичность группы ; гомеоморфизм тип Громова границы гиперболической группы; [15] асимптотические конусы конечно порожденных групп (см., Например, [16] [17] ); аменабельность конечно порожденной группы; быть практически абелевым (то есть иметь абелеву подгруппу конечного индекса ); быть практически нильпотентным ; быть практически свободным ; быть конечно презентабельным ; быть конечно представительной группой с разрешимой проблемой Word ; и другие.
- Теоремы, использующие инварианты квазиизометрии для доказательства алгебраических результатов о группах, например: теорема Громова о полиномиальном росте ; Теорема о концах Столлингса ; Теорема Мостова о жесткости .
- Квазиизометрические теоремы о жесткости, в которых алгебраически классифицируются все группы, которые квазиизометричны некоторой данной группе или метрическому пространству. Это направление было инициировано работой Шварца по квазиизометрической жесткости решеток ранга 1 [18] и работой Бенсона Фарба и Ли Мошера по квазиизометрической жесткости групп Баумслага-Солитэра . [19]
- Теория словесно-гиперболических и относительно гиперболических групп. Особенно важным достижением здесь является работа Злила Села в 1990-х годах, результатом которой стало решение проблемы изоморфизма для словесно-гиперболических групп. [20] Понятие относительно гиперболических групп первоначально было введено в 1987 году Громова [8] и уточнена Farb [21] и Brian Bowditch , [22] в 1990 - х годах. Изучение относительно гиперболических групп приобрело известность в 2000-х годах.
- Взаимодействие с математической логикой и изучение теории свободных групп первого порядка. Особенно важный прогресс произошел в известных гипотезах Тарского благодаря работе Селы [23], а также Ольги Харлампович и Алексея Мясникова. [24] Изучение предельных групп и введение языка и техники некоммутативной алгебраической геометрии приобрели известность.
- Взаимодействие с информатикой, теорией сложности и теорией формальных языков. Эта тема иллюстрируется развитием теории автоматических групп , [25] понятие , что накладывает определенные геометрические и языковые теоретические условия на операции умножения в конечно порожденной группе.
- Изучение изопериметрических неравенств, функций Дена и их обобщений для конечно определенной группы. Сюда входят, в частности, работы Жана-Камиля Бирже, Александра Ольшанского, Элиягу Рипса и Марка Сапира [26] [27], по существу характеризующие возможные функции Дена конечно представленных групп, а также результаты, дающие явные конструкции групп с дробным Функции Дена. [28]
- Теория торальных или JSJ-разложений для 3-многообразий была первоначально перенесена в теоретико-групповой контекст Питером Крофоллером. [29] Это понятие было развито многими авторами как для конечно определенных, так и для конечно порожденных групп. [30] [31] [32] [33] [34]
- Связь с геометрическим анализом , изучением C * -алгебр, связанных с дискретными группами, и теорией свободных вероятностей. Эта тема представлена, в частности, значительный прогресс на гипотезе Новикова и гипотезой Баума-Конна и развития и изучения соответствующих теоретико-групповых понятий , таких как топологического аменабельностью, асимптотической размерности, равномерной вложимость в гильбертовых пространствах , быстрое свойством распада, и так далее (см., например, [35] [36] [37] ).
- Взаимодействие с теорией квазиконформного анализа на метрических пространствах, в частности, в отношении гипотезы Кэннона о характеризации гиперболических групп с границей Громова, гомеоморфной 2-сфере. [38] [39] [40]
- Правила конечного подразделения , также в связи с гипотезой Кэннона . [41]
- Взаимодействие с топологической динамикой в контексте изучения действий дискретных групп на различных компактных пространствах и групповых компактификаций, в частности методов групп сходимости [42] [43]
- Развитие теории групповых действий на р {\ Displaystyle \ mathbb {R}} -деревья (в частности, машина Rips ) и ее приложения. [44]
- Изучение действий групп на пространствах CAT (0) и кубических комплексах CAT (0) [45], мотивированное идеями геометрии Александрова.
- Взаимодействия с низкоразмерной топологией и гиперболической геометрией, в частности, изучение групп трехмерных многообразий (см., Например, [46] ), группы классов отображений поверхностей, группы кос и клейновы группы .
- Внедрение вероятностных методов исследования алгебраических свойств «случайных» теоретико-групповых объектов (групп, элементов групп, подгрупп и т. Д.). Особенно важным достижением здесь является работа Громова, который использовал вероятностные методы для доказательства [47] существования конечно порожденной группы, не вкладываемой равномерно в гильбертово пространство. Другие известные разработки включают введение и изучение понятия сложности общего случая [48] для теоретико-групповых и других математических алгоритмов и результатов алгебраической жесткости для общих групп. [49]
- Изучение групп автоматов и повторных групп монодромии как групп автоморфизмов бесконечных корневых деревьев. В частности, в этом контексте появляются группы Григорчука промежуточного роста и их обобщения. [50] [51]
- Изучение теоретико-мерной свойства групповых действий на пространствах с мерой , в частности , внедрение и развитие понятий меры эквивалентности и орбитальной эквивалентности , а также меру теоретико обобщений Мостова жесткости. [52] [53]
- Изучение унитарных представлений дискретных групп и свойства Каждана (T) [54]
- Изучение Out ( F п ) (далее внешний автоморфизм группы из свободной группы ранга п ) и индивидуальных автоморфизмов свободных групп. Особую роль здесь сыграли введение и изучение космического пространства Каллера-Фогтмана [55] и теории железнодорожных путей [56] для автоморфизмов свободных групп.
- Развитие теории Басса – Серра , в частности, различных результатов о доступности [57] [58] [59] и теории решеток деревьев. [60] Обобщения теории Басса – Серра, такие как теория комплексов групп. [45]
- Изучение случайных блужданий на группах и связанная с ними теория границ, в частности понятие границы Пуассона (см., Например, [61] ). Изучение аменабельности и групп, статус аменабельности до сих пор неизвестен.
- Взаимодействие с теорией конечных групп, особенно прогресс в изучении роста подгрупп . [62]
- Изучение подгрупп и решеток в линейных группах , таких каки других групп Ли с помощью геометрических методов (например, зданий ), алгебро-геометрических инструментов (например, алгебраических групп и многообразий представлений), аналитических методов (например, унитарных представлений в гильбертовых пространствах) и арифметических методов.
- Групповые когомологии , использующие алгебраические и топологические методы, в частности, вовлекающие взаимодействие с алгебраической топологией и использование теоретико-морсовских идей в комбинаторном контексте; крупномасштабные или грубые (см., например, [63] ) гомологические и когомологические методы.
- Прогресс в области традиционной комбинаторной тему теории групп, такие , как проблема бернсайдовой , [64] [65] изучение кокстеровских групп и Артиновых групп , и так далее (методы , используемые для изучения этих вопросов в настоящее время часто геометрический и топологический).
Примеры
Следующие примеры часто изучаются в геометрической теории групп:
- Аменабильные группы
- Бесплатные группы Бернсайда
- Бесконечная циклическая группа Z
- Бесплатные группы
- Бесплатные товары
- Группы внешних автоморфизмов Out (F n ) (через внешнее пространство )
- Гиперболические группы
- Группы классов отображений (автоморфизмы поверхностей)
- Симметричные группы
- Группы кос
- Группы Кокстера
- Общие группы Артина
- Группа Томпсона F
- CAT (0) группы
- Арифметические группы
- Автоматические группы
- Фуксовы группы , клейновы группы и другие группы, действующие собственно разрывно на симметрических пространствах, в частности решетки в полупростых группах Ли.
- Группы обоев
- Группы Баумслага – Солитера
- Фундаментальные группы графов групп
- Григорчук группа
Смотрите также
- Пинг-понг лемма , полезный способ , чтобы показать группу в качестве свободного продукта
- Аменабле группа
- Преобразование Нильсена
- Преобразование Титце
Рекомендации
- ^ П. де ла Харп, Вопросы геометрической теории групп . Чикагские лекции по математике. University of Chicago Press, Чикаго, Иллинойс, 2000. ISBN 0-226-31719-6 , ISBN 0-226-31721-8 .
- ^ Стиллвелл, Джон (2002), Математика и ее история , Springer, стр. 374 , ISBN 978-0-387-95336-6
- ^ Брюс Чендлер и Вильгельм Магнус . История комбинаторной теории групп. Пример из истории идей. Исследования по истории математики и физических наук, vo. 9. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1982.
- ^ Гриндлингер, Мартин (1960). «Алгоритм Дена для словесной проблемы». Сообщения по чистой и прикладной математике . 13 (1): 67–83. DOI : 10.1002 / cpa.3160130108 .
- ^ Гриндлингер, Мартин (1961). «Аналог теоремы Магнуса». Archiv der Mathematik . 12 (1): 94–96. DOI : 10.1007 / BF01650530 . S2CID 120083990 .
- ↑ Роджер Линдон и Пол Шупп , Комбинаторная теория групп , Springer-Verlag, Берлин, 1977 г. Перепечатано в серии «Классика в математике», 2000 г.
- ^ Ж.-П. Серр, Деревья . Перевод с французского оригинала 1977 года Джона Стилвелла . Springer-Verlag, Берлин-Нью-Йорк, 1980. ISBN 3-540-10103-9 .
- ^ a b Михаил Громов, Гиперболические группы , в «Очерках теории групп» (Стив М. Герстен, ред.), ИИГС Publ. 8. 1987. С. 75–263.
- ^ Михаил Громов, "Асимптотические инварианты бесконечных групп" , в "Геометрической теории групп", Vol. 2 (Сассекс, 1991), Серия лекций Лондонского математического общества, 182, Cambridge University Press, Кембридж, 1993, стр. 1–295.
- ^ Iliya Kapovich и Надя Benakli. Границы гиперболических групп. Комбинаторная и геометрическая теория групп (Нью-Йорк, 2000 / Хобокен, штат Нью-Джерси, 2001), стр. 39–93, Contemp. Матем., 296, амер. Математика. Soc., Providence, RI, 2002. Из введения: «За последние пятнадцать лет геометрическая теория групп пережила быстрый рост и быстро растущее влияние. Большая часть этого прогресса была стимулирована замечательной работой М.Л. Громова [в Очерках теории групп , 75–263, Springer, New York, 1987; in Geometric group theory, Vol. 2 (Sussex, 1991), 1–295, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1993], который разработал теорию гиперболических групп. (также называемые гиперболическими по Громову или группами отрицательной кривизны) ».
- ^ Брайан Боудич , Гиперболические 3-многообразия и геометрия кривой комплекса. Европейский математический конгресс , стр. 103–115, Eur. Математика. Soc., Zürich, 2005. Из введения: «Многое из этого можно рассматривать в контексте геометрической теории групп. Этот предмет очень быстро развивался за последние двадцать лет или около того, хотя, конечно, его предшественники можно проследить. намного раньше. [...] Работа Громова была главной движущей силой в этом. Особенно актуальна его основополагающая статья о гиперболических группах [Gr] ».
- ^ Элек, Габор (2006). «Математика Миши Громова». Acta Mathematica Hungarica . 113 (3): 171–185. DOI : 10.1007 / s10474-006-0098-5 . S2CID 120667382 .
п. 181 «Новаторские работы Громова по геометрии дискретных метрических пространств и его программа квазиизометрии стали локомотивом геометрической теории групп с начала восьмидесятых».
- ^ Геометрическая теория групп. Vol. 1. Материалы симпозиума, проведенного в Университете Сассекса, Сассекс, июль 1991 г. Под редакцией Грэма А. Нибло и Мартина А. Роллера. Серия лекций Лондонского математического общества, 181. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1993. ISBN 0-521-43529-3 .
- ^ Михаил Громов, Асимптотические инварианты бесконечных групп , в "Геометрической теории групп", Vol. 2 (Сассекс, 1991), Серия лекций Лондонского математического общества, 182, Cambridge University Press, Кембридж, 1993, стр. 1–295.
- ^ Iliya Kapovich и Надя Benakli. Границы гиперболических групп. Комбинаторная и геометрическая теория групп (Нью-Йорк, 2000 / Хобокен, штат Нью-Джерси, 2001), стр. 39–93, Contemp. Матем., 296, амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, 2002.
- ^ Райли, Тим Р. (2003). «Высшая связность асимптотических конусов» . Топология . 42 (6): 1289–1352. DOI : 10.1016 / S0040-9383 (03) 00002-8 .
- ^ Крамер, Линус; Шела, Сахарон ; Палатка, Катрин ; Томас, Саймон (2005). «Асимптотические конусы конечно определенных групп» . Успехи в математике . 193 (1): 142–173. arXiv : math / 0306420 . DOI : 10.1016 / j.aim.2004.04.012 . S2CID 4769970 .
- ^ Шварц, RE (1995). «Квазиизометрическая классификация решеток ранга один» . Публикации Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques . 82 (1): 133–168. DOI : 10.1007 / BF02698639 . S2CID 67824718 .
- ^ Фарб, Бенсон ; Мошер, Ли (1998). "Теорема жесткости для разрешимых групп Баумслага – Солитэра. С приложением Дэрила Купера". Inventiones Mathematicae . 131 (2): 419–451. DOI : 10.1007 / s002220050210 . Руководство по ремонту 1608595 . S2CID 121180189 .
- ^ Села, Злил (1995). «Проблема изоморфизма гиперболических групп. I». Анналы математики . (2). 141 (2): 217–283. DOI : 10.2307 / 2118520 . JSTOR 2118520 . Руководство по ремонту 1324134 .
- ^ Фарб, Бенсон (1998). «Относительно гиперболические группы». Геометрический и функциональный анализ . 8 (5): 810–840. DOI : 10.1007 / s000390050075 . Руководство по ремонту 1650094 . S2CID 123370926 .
- ^ Боудич, Брайан Х. (1999). Древовидные структуры, возникающие из континуальных образований и групп сходимости . Мемуары Американского математического общества. 662 . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-1003-3.
- ^ Злил Села, Диофантова геометрия над группами и элементарная теория свободных и гиперболических групп. Труды Международного конгресса математиков, Vol. II (Пекин, 2002), стр. 87–92, Higher Ed. Press, Пекин, 2002.
- ^ Харлампович, Ольга; Мясников, Алексей (1998). «Проблема Тарского об элементарной теории свободных групп имеет положительное решение» . Объявления об электронных исследованиях Американского математического общества . 4 (14): 101–8. DOI : 10,1090 / S1079-6762-98-00047-X . Руководство по ремонту 1662319 .
- ^ DBA Эпштейн, JW Cannon, Д. Холт, С. Леви, М. Патерсон, W. Thurston. Обработка текста в группах . Jones and Bartlett Publishers, Бостон, Массачусетс, 1992.
- ^ Сапир, Марк ; Бирже, Жан-Камиль; Рипс, Элиягу (2002). «Изопериметрические и изодиаметрические функции групп». Анналы математики . (2). 156 (2): 345–466. arXiv : математика / 9811105 . DOI : 10.2307 / 3597195 . JSTOR 3597195 . S2CID 119728458 .
- ^ Бирже, Жан-Камиль; Ольшанский Александр Юрьевич; Рипс, Элиягу ; Сапир, Марк (2002). «Изопериметрические функции групп и вычислительная сложность задачи о словах». Анналы математики . (2). 156 (2): 467–518. arXiv : математика / 9811106 . DOI : 10.2307 / 3597196 . JSTOR 3597196 . S2CID 14155715 .
- ^ Бридсон, MR (1999). «Дробные изопериметрические неравенства и искажение подгрупп». Журнал Американского математического общества . 12 (4): 1103–18. DOI : 10.1090 / S0894-0347-99-00308-2 . Руководство по ремонту 1678924 . S2CID 7981000 .
- ^ Крофоллер, PH (1990). "Аналог теоремы о разложении тора для некоторых групп двойственности Пуанкаре" . Труды Лондонского математического общества . s3-60 (3): 503–529. DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s3-60.3.503 . ISSN 1460-244X .
- ^ Rips, E .; Села, З. (1997). «Циклические расщепления конечно определенных групп и каноническое разложение JSJ». Анналы математики . Вторая серия. 146 (1): 53–109. DOI : 10.2307 / 2951832 . JSTOR 2951832 .
- ^ Данвуди, MJ; Сагеев, М.Е. (1999). «JSJ-расщепления для конечно представленных групп над тонкими группами». Inventiones Mathematicae . 135 (1): 25–44. DOI : 10.1007 / s002220050278 . S2CID 16958457 .
- ^ Scott, P .; Сваруп, Джорджия (2002). «Регулярные окрестности и канонические разложения для групп» . Объявления об электронных исследованиях Американского математического общества . 8 (3): 20–28. DOI : 10.1090 / S1079-6762-02-00102-6 . MR 1928498 .
- ^ Bowditch, BH (1998). «Точки разрезания и канонические расщепления гиперболических групп» . Acta Mathematica . 180 (2): 145–186. DOI : 10.1007 / BF02392898 .
- ^ Fujiwara, K .; Папасоглу, П. (2006). «JSJ-разложения конечно определенных групп и комплексов групп». Геометрический и функциональный анализ . 16 (1): 70–125. arXiv : math / 0507424 . DOI : 10.1007 / s00039-006-0550-2 . S2CID 10105697 .
- ^ Ю. Г. (1998). «Гипотеза Новикова для групп с конечной асимптотической размерностью». Анналы математики . Вторая серия. 147 (2): 325–355. DOI : 10.2307 / 121011 . JSTOR 121011 .
- ^ Г. Ю. Грубая гипотеза Баума – Конна для пространств, допускающих равномерное вложение в гильбертово пространство. Inventiones Mathematicae, том 139 (2000), вып. 1. С. 201–240.
- ^ Минеев, И .; Ю. Г. (2002). «Гипотеза Баума – Конна для гиперболических групп». Inventiones Mathematicae . 149 (1): 97–122. arXiv : math / 0105086 . DOI : 10.1007 / s002220200214 . S2CID 7940721 .
- ^ Бонк, Марио; Кляйнер, Брюс (2005). «Конформная размерность и гиперболические группы Громова с границей 2-сферы». Геометрия и топология . 9 : 219–246. arXiv : math.GR/0208135 . DOI : 10,2140 / gt.2005.9.219 . S2CID 786904 .
- ^ Марк Бурдон и Эрве Пажо. Квазиконформная геометрия и гиперболическая геометрия. Жесткость в динамике и геометрии (Кембридж, 2000), стр. 1–17, Springer, Берлин, 2002.
- ^ Марио Бонк, Квазиконформная геометрия фракталов. Международный конгресс математиков . Vol. II, стр. 1349–1373, Eur. Математика. Soc., Цюрих, 2006.
- ^ Кэннон, Джеймс У .; Флойд, Уильям Дж .; Парри, Уолтер Р. (2001). «Правила конечного деления» . Конформная геометрия и динамика . 5 (8): 153–196. DOI : 10.1090 / S1088-4173-01-00055-8 . Руководство по ремонту 1875951 .
- ^ П. Тукиа. Обобщения фуксовых и клейновых групп. Первый Европейский математический конгресс, Vol. II (Париж, 1992), стр. 447–461, Progr. Math., 120, Birkhäuser, Базель, 1994.
- ^ Яман, Асли (2004). «Топологическая характеристика относительно гиперболических групп». Journal für die Reine und Angewandte Mathematik . 566 : 41–89. Руководство по ремонту 2039323 .
- ^ Бествина, М .; Файн, М. (1995). «Устойчивые действия групп на реальных деревьях». Inventiones Mathematicae . 121 (2): 287–321. DOI : 10.1007 / BF01884300 . S2CID 122048815 .
- ^ a b Bridson & Haefliger 1999
- ^ М. Капович, Гиперболические многообразия и дискретные группы . Успехи в математике, 183. Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс, 2001.
- ↑ М. Громов. Случайное блуждание в случайных группах. Геометрический и функциональный анализ, т. 13 (2003), нет. 1. С. 73–146.
- ^ Капович, И .; Мясников, А .; Schupp, P .; Шпильрайн, В. (2003). «Общая сложность, проблемы принятия решений в теории групп и случайные блуждания» . Журнал алгебры . 264 (2): 665–694. DOI : 10.1016 / S0021-8693 (03) 00167-4 .
- ^ Капович, И .; Schupp, P .; Шпильрайн, В. (2006). "Общие свойства алгоритма Уайтхеда и жесткость изоморфизма случайных групп с одним соотношением" . Тихоокеанский математический журнал . 223 (1): 113–140. DOI : 10,2140 / pjm.2006.223.113 .
- ↑ Л. Бартольди, Р. И. Григорчук и З. Суник. Группы филиалов. Справочник по алгебре, Vol. 3, стр. 989-1112, Северная Голландия, Амстердам, 2003 г.
- ↑ В. Некрашевич. Самоподобные группы. Математические обзоры и монографии, 117. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2005. ISBN 0-8218-3831-8 .
- ^ Фурман, А. (1999). «Эквивалентность меры Громова и жесткость решеток высших рангов». Анналы математики . Вторая серия. 150 (3): 1059–81. arXiv : math / 9911262 . DOI : 10.2307 / 121062 . JSTOR 121062 . S2CID 15408706 .
- ^ Monod, N .; Шалом, Ю. (2006). «Жесткость орбитальной эквивалентности и ограниченные когомологии» . Анналы математики . Вторая серия. 164 (3): 825–878. DOI : 10.4007 / анналы.2006.164.825 . JSTOR 20160009 .
- ↑ Y. Shalom. Алгебраизация свойства Каждана (T). Международный конгресс математиков. Vol. II, стр. 1283–1310, Eur. Математика. Soc., Цюрих, 2006.
- ^ Culler, M .; Фогтманн, К. (1986). «Модули графов и автоморфизмы свободных групп». Inventiones Mathematicae . 84 (1): 91–119. DOI : 10.1007 / BF01388734 . S2CID 122869546 .
- ^ Бествина, Младен; Гендель, Майкл (1992). «Тренировочные пути и автоморфизмы свободных групп». Анналы математики . 2. 135 (1): 1–51. DOI : 10.2307 / 2946562 . JSTOR 2946562 . Руководство по ремонту 1147956 .
- ^ Данвуди, MJ (1985). «Доступность конечно представленных групп». Inventiones Mathematicae . 81 (3): 449–457. DOI : 10.1007 / BF01388581 . S2CID 120065939 .
- ^ Бествина, М .; Файн, М. (1991). «Ограничение сложности действий симплициальной группы на деревьях». Inventiones Mathematicae . 103 (3): 449–469. DOI : 10.1007 / BF01239522 . S2CID 121136037 .
- ^ Села, Злил (1997). «Ацилиндрическая доступность для групп». Inventiones Mathematicae . 129 (3): 527–565. DOI : 10.1007 / s002220050172 . S2CID 122548154 .
- ^ Хайман Басс и Александр Любоцкий . Решетки из дерева. С приложениями Хаймана Басса, Лизы Карбоун, Александра Любоцкого, Дж. Розенберга и Жака Титса . Прогресс в математике, 176. Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс, 2001. ISBN 0-8176-4120-3 .
- ^ Кайманович, В.А. (2000). «Формула Пуассона для групп с гиперболическими свойствами». Анналы математики . 2. 152 (3): 659–692. arXiv : math / 9802132 . DOI : 10.2307 / 2661351 . JSTOR 2661351 . S2CID 14774503 .
- ^ Александр Любоцкий и Дэн Сигал. Рост подгруппы. Успехи математики, 212. Birkhäuser Verlag , Базель, 2003. ISBN 3-7643-6989-2 . МИСТЕР1978431
- ^ Бествина, Младен ; Капович, Михаил; Кляйнер, Брюс (2002). «Препятствие Ван Кампена вложения дискретных групп». Inventiones Mathematicae . 150 (2): 219–235. arXiv : математика / 0010141 . DOI : 10.1007 / s00222-002-0246-7 . Руководство по ремонту 1933584 . S2CID 7153145 .
- ^ Иванов, С.В. (1994). «Свободные бернсайдовские группы достаточно больших показателей». Международный журнал алгебры и вычислений . 4 (1n2): 1–309. DOI : 10.1142 / S0218196794000026 .
- ^ Лысенок И.Г. (1996). «Бесконечные бернсайдовские группы четной экспоненты». Известия: Математика . 60 (3): 453–654. DOI : 10.1070 / im1996v060n03abeh000077 .
Книги и монографии
Эти тексты охватывают геометрическую теорию групп и смежные темы.
- Боудич, Брайан Х. (2006). Курс геометрической теории групп . Мемуары MSJ. 16 . Токио: Математическое общество Японии . ISBN 4-931469-35-3.
- Бридсон, Мартин Р .; Хефлигер, Андре (1999). Метрические пространства неположительной кривизны . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук]. 319 . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-64324-9.
- Coornaert, Мишель; Дельзант, Томас; Пападопулос, Атанас (1990). Геометрия и теория групп: гиперболические группы Громова . Конспект лекций по математике. 1441 . Springer-Verlag. ISBN 3-540-52977-2. Руководство по ремонту 1075994 .
- Клэй, Мэтт; Маргалит, Дан (2017). Часы работы офиса с теоретиком геометрической группы . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-15866-2.
- Coornaert, Мишель; Пападопулос, Атанас (1993). Символическая динамика и гиперболические группы . Конспект лекций по математике. 1539 . Springer-Verlag. ISBN 3-540-56499-3.
- де ла Харп, П. (2000). Разделы геометрической теории групп . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета. ISBN 0-226-31719-6.
- Другу, Корнелия ; Капович, Михаил (2018). Геометрическая теория групп (PDF) . Публикации коллоквиума Американского математического общества. 63 . Американское математическое общество . ISBN 978-1-4704-1104-6. Руководство по ремонту 3753580 .
- Эпштейн, администратор баз данных; Пушка, JW; Holt, D .; Levy, S .; Патерсон, М .; Терстон, В. (1992). Обработка текста в группах . Джонс и Бартлетт. ISBN 0-86720-244-0.
- Громов, М. (1987). «Гиперболические группы». В Герстене, GM (ред.). Очерки теории групп . 8 . ИИГС. С. 75–263. ISBN 0-387-96618-8.
- Громов, Михаил (1993). Нибло, Джорджия; Ролик, Массачусетс (ред.). Асимптотические инварианты бесконечных групп . 2 . Издательство Кембриджского университета. С. 1–295. ISBN 978-0-521-44680-8. Неизвестный параметр
|book-title=
игнорируется ( справка ); Неизвестный параметр|conference=
игнорируется ( справка ) - Капович, М. (2001). Гиперболические многообразия и дискретные группы . Успехи в математике. 183 . Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3904-4.
- Линдон, Роджер С .; Шупп, Пол Э. (2015) [1977]. Комбинаторная теория групп . Классика по математике. Springer. ISBN 978-3-642-61896-3.
- Ольшанский, А.Ю. (2012) [1991]. Геометрия определяющих отношений в группах . Springer. ISBN 978-94-011-3618-1.
- Роу, Джон (2003). Лекции по грубой геометрии . Серия университетских лекций. 31 . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3332-2.
Внешние ссылки
- Страница теории геометрических групп Джона МакКэммонда
- Что такое геометрическая теория групп? Дэниел Уайз
- Открытые проблемы комбинаторной и геометрической теории групп
- Тема геометрической теории групп на arxiv.org