Билинейная карта

В математике , А билинейное отображение является функцией сочетающей в себе элементы двух векторных пространств , чтобы получить элемент третьего векторного пространства, и является линейным в каждом из своих аргументов. Умножение матриц является примером.

Определение [ править ]

Векторные пространства [ править ]

Позвольте и быть тремя векторными пространствами над одним и тем же базовым полем . Билинейное отображение - это функция${\ Displaystyle V, W}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle F}$

${\ displaystyle B: V \ times W \ to X}$

так что для всех карта${\ displaystyle w \ in W}$${\ displaystyle B_ {w}}$

${\ Displaystyle v \ mapsto B (v, w)}$

- это линейная карта из в , и для всех карта${\ displaystyle V}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle v \ in V}$${\ displaystyle B_ {v}}$

${\ Displaystyle ш \ mapsto B (v, w)}$

является линейным отображением из в . Другими словами, когда мы фиксируем первую запись билинейного отображения, позволяя изменять вторую запись, результатом будет линейный оператор, и аналогично, когда мы фиксируем вторую запись.${\ displaystyle W}$${\ displaystyle X}$

Такая карта удовлетворяет следующим свойствам.${\ displaystyle B}$

• Для любого , .${\ displaystyle \ lambda \ in F}$${\ Displaystyle В (\ лямбда v, ​​ш) = В (v, \ лямбда ш) = \ лямбда В (v, ш)}$
• Карта аддитивна по обоим компонентам: если и , то и .${\ displaystyle B}$${\ displaystyle v_ {1}, v_ {2} \ in V}$${\ displaystyle w_ {1}, w_ {2} \ in W}$${\displaystyle B(v_{1}+v_{2},w)=B(v_{1},w)+B(v_{2},w)}$${\displaystyle B(v,w_{1}+w_{2})=B(v,w_{1})+B(v,w_{2})}$

Если V = W , и мы имеем B ( v , ш ) = B ( ш , v ) для всех V , W в V , то мы говорим , что B является симметричным . Если X является базовым полем F , то карта называется билинейной формой , которая хорошо изучена (см., Например, Скалярное произведение , Внутреннее произведение и Квадратичная форма ).

Модули [ править ]

Работы определения без каких - либо изменений , если вместо векторных пространств над полем F , мы используем модули над коммутативным кольцом R . Он обобщается на n- мерные функции, где собственный член является полилинейным .

Для некоммутативных колец R и S , левого R -модуля M и правого S -модуля N билинейное отображение - это отображение B  : M × N → T с T an ( R , S ) - бимодулем , для которого любое n в N , m ↦ B ( m , n ) является гомоморфизмом R -модулей, и для любого m изM , n ↦ B ( m , n ) - гомоморфизм S -модулей. Это удовлетворяет

В ( г ⋅ м , п ) = г ⋅ В ( м , п )

Б ( м , н ⋅ с ) = В ( м , п ) ⋅ с

для всех m в M , n в N , r в R и s в S , а также B является аддитивным в каждом аргументе.

Свойства [ править ]

Непосредственное следствие определения является то , что B ( v , ш ) = 0 _Х каждый раз , когда v = 0 _V или W = 0 _Вт . Это можно увидеть, записав нулевой вектор 0 _V как 0 ⋅ 0 _V (и аналогично для 0 _W ) и переместив скаляр 0 «наружу», перед B , по линейности.

Множество L ( V , W , X ) все отображения билинейного является линейным подпространством пространства ( то есть векторное пространства , модуль всех отображений) V × W во X .

Если V , W , X конечномерны , то L ( V , W ; X ) тоже . Для X = F , т.е. билинейной формы, размер этого пространства тусклого V × тусклый Вт (а пространство L ( V × Ш ; F ) из линейных форм имеет размерность тусклого V + тусклый W ). Чтобы в этом убедиться, выберите основу для Vи W ; тогда каждое билинейное отображение может быть однозначно представлено матрицей B ( e _i , f _j ) , и наоборот. Теперь, если Х представляет собой пространство большей размерности, мы , очевидно , имеют тусклый L ( V , W , X ) = тусклый V × тусклый Ш × тусклый Х .

Примеры [ править ]

• Умножение матриц - это билинейное отображение M ( m , n ) × M ( n , p ) → M ( m , p ) .
• Если векторное пространство V над действительными числами R несет скалярное произведение , то скалярное произведение является билинейным отображением V × V → R .
• В общем, для векторного пространства V над полем F , A билинейной формы на V такое же , как билинейное отображение V × V → F .
• Если V - векторное пространство с двойственным пространством V ^∗ , то оператор приложения b ( f , v ) = f ( v ) является билинейным отображением из V ^∗ × V в базовое поле.
• Пусть V и W векторные пространства над одной и той же базовой областью F . Если е является членом V ^* и г членом W ^* , то Ь ( V , W ) = F ( v ) г ( ж ) определяет билинейное отображение V × W → F .
• Перекрестное произведение в R ³ представляет собой билинейное отображение R ³ × R ³ → R ³ .
• Пусть B  : V × W → X будет карта билинейной и L  : U → W является линейным отображение , то ( V , U ) н- B ( v , Lu ) является билинейным отображением на V × U .

Непрерывность и отдельная преемственность [ править ]

Предположим, что X , Y и Z - топологические векторные пространства и пусть - билинейное отображение. Тогда b называется отдельно непрерывным, если выполняются следующие два условия:${\displaystyle b:X\times Y\to Z}$

1. для всех отображение, данное непрерывно;${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle Y\to Z}$${\displaystyle y\mapsto b(x,y)}$
2. для всех отображение, данное непрерывно.${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle X\to Z}$${\displaystyle x\mapsto b(x,y)}$

Многие отдельно непрерывные билинейные, которые не являются непрерывными, обладают дополнительным свойством: гипонепрерывностью . ^[1] Все непрерывные билинейные отображения гипонепрерывны.

Достаточные условия преемственности [ править ]

Многие билинейные карты, которые встречаются на практике, являются непрерывными по отдельности, но не все непрерывны. Перечислим здесь достаточные условия непрерывности отдельно непрерывной билинейной функции.

• Если X является пространством Бэра и Y является метризуемым то каждый отдельно непрерывное билинейное отображение непрерывно. ^[1]${\displaystyle b:X\times Y\to Z}$
• Если X , Y и Z являются сильными сопряженными из пространств Фреше , то каждый отдельно непрерывное отображение билинейной непрерывно. ^[1]${\displaystyle b:X\times Y\to Z}$
• Если билинейное отображение непрерывно в точке (0, 0), то оно непрерывно всюду. ^[2]

Карта композиции [ править ]

Пусть X , Y и Z - локально выпуклые хаусдорфовы пространства и пусть - отображение композиции, определяемое формулой . Вообще говоря, билинейное отображение C не является непрерывным (независимо от того, какие топологии заданы пространства линейных отображений). Однако у нас есть следующие результаты:${\displaystyle C:L\left(X;Y\right)\times L\left(Y;Z\right)\to L\left(X;Z\right)}$${\displaystyle C(u,v):=v\circ u}$

Дайте всем трем пространствам линейных отображений одну из следующих топологий:

1. дать всем трем топологию ограниченной сходимости;
2. дать всем трем топологию компактной сходимости;
3. зададим всем трем топологию поточечной сходимости.

• Если Е является эквинепрерывно подмножеством того ограничение непрерывно для всех трех топологий. ^[1]${\displaystyle L\left(Y;Z\right)}$${\displaystyle C{\big \vert }_{L\left(X;Y\right)\times E}:L\left(X;Y\right)\times E\to L\left(X;Z\right)}$
• Если Y - это пробел с бочками, то для каждой последовательности, сходящейся к u in, и каждой последовательности, сходящейся к v in , последовательность сходится к in . ^[1]${\displaystyle \left(u_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle L\left(X;Y\right)}$${\displaystyle \left(v_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle L\left(Y;Z\right)}$${\displaystyle \left(v_{i}\circ u_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle v\circ u}$${\displaystyle L\left(Y;Z\right)}$

См. Также [ править ]

• Тензорное произведение
• Полуторалинейная форма
• Билинейная фильтрация
• Многолинейная карта
• Мультилинейное подпространственное обучение

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .

Внешние ссылки [ править ]

• "Билинейное отображение" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]