Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Кольца Борромео
Кольца Борромео Иллюзия.png
L6a4
Переход нет.6
Гиперболический объем7,327724753
Палка нет.9
Обозначение Конвея.1
Обозначение AB63
2
ThistlethwaiteL6a4
Другой
чередующийся , гиперболический

В математике , то Борромеевы кольцо три простые замкнутые кривые в трехмерном пространстве, которые топологически связаны и не может быть отделен друг от друга, но которые распадаются на две незаузленные и несвязанные петли , когда один из этих трех вырезанных или удален. Чаще всего эти кольца изображаются в виде трех окружностей на плоскости, по образцу диаграммы Венна , попеременно пересекающихся друг с другом в точках пересечения. Говорят, что другие тройки кривых образуют кольца Борромео, если они топологически эквивалентны кривым, изображенным на этом рисунке.

Кольца Борромео названы в честь итальянского Дома Борромео , который использовал круглую форму этих колец в качестве герба , но конструкции, основанные на кольцах Борромео, использовались во многих культурах, в том числе норвежцами и в Японии. Они использовались в христианской символике как знак Троицы и в современной торговле как логотип пива Ballantine, что дало им альтернативное название Ring Ballantine . Физические экземпляры колец Борромео были сделаны из связанной ДНК или других молекул, и у них есть аналоги в состоянии Ефимова и ядрах Борромео., оба из которых имеют три компонента, связанных друг с другом, хотя никакие два из них не связаны.

Геометрически кольца Борромео могут быть реализованы посредством связанных эллипсов или (используя вершины правильного икосаэдра ) посредством связанных золотых прямоугольников . Их невозможно реализовать, используя круги в трехмерном пространстве, но было высказано предположение, что они могут быть реализованы копиями любой некруглой простой замкнутой кривой в пространстве. В теории узлов можно доказать, что кольца Борромео связаны, подсчитывая их n- раскраски Фокса . Как ссылки, они бывают брунновскими , знакопеременными , алгебраическими и гиперболическими . В арифметической топологии некоторые тройкипростые числа обладают аналогичными связующими свойствами с кольцами Борромео.

Определение и обозначения [ править ]

В публикациях по математике принято определять кольца Борромео в виде диаграммы связей , рисунка кривых на плоскости с помеченными пересечениями, чтобы указать, какая кривая или часть кривой проходит выше или ниже при каждом пересечении. Такой рисунок можно преобразовать в систему кривых в трехмерном пространстве, встраивая плоскость в пространство и деформируя кривые, нарисованные на ней выше или ниже вложенной плоскости на каждом пересечении, как показано на схеме. Обычно используемая диаграмма для колец Борромео состоит из трех равных кругов с центрами в точках равностороннего треугольника , достаточно близко друг к другу, чтобы их внутренности имели общее пересечение (например, на диаграмме Веннаили три круга, используемые для обозначения треугольника Рело ). Его пересечения чередуются между верхним и нижним краями, если рассматривать их в последовательном порядке по каждому кругу; [1] [2] [3] Другой эквивалентный способ описания отношения «сверху вниз» между тремя кругами состоит в том, что каждый круг проходит над вторым кругом на обоих их пересечениях и под третьим кругом на обоих их пересечениях. [4] Два звена называются эквивалентными, если существует непрерывная деформация пространства ( объемлющая изотопия ), переходящая одно в другое, и кольца Борромео могут относиться к любому звену, которое в этом смысле эквивалентно стандартной диаграмме для этого звена. . [3]

В Атласе узлов кольца Борромео обозначены кодом «L6a4»; Обозначение означает, что это звено с шестью пересечениями и чередующейся диаграммой, четвертое из пяти чередующихся звеньев с 6 пересечениями, идентифицированных Морвен Тистлтуэйт в списке всех простых звеньев с числом пересечений до 13. [5] В таблицах узлов и ссылок в книге Дейла Рольфсена 1976 года « Узлы и ссылки» , расширяющей более ранние списки в 1920-х годах Александром и Бриггсом, кольца Борромео получили обозначение Александера-Бриггса »63
2« Что означает , что это второй из трех 6-пересечения 3-компонентных ссылок , которые будут перечислены. [5] [6] Конвей обозначения для колец Борромео,» .1" , представляет собой сокращенное описание стандартной схемы связи для по этой ссылке. [7]

История и символика [ править ]

Кольца Борромео как символ христианской Троицы , адаптированные из рукописи XIII века.
Три соединенных (но не борромео) треугольника в узоре, изображенном в храме Марундисварар.

Название «кольца Борромео» происходит от использования этих колец в виде трех взаимосвязанных кругов, в гербе в аристократической Борромео семьи в Северной Италии . [8] [9] Сама связь намного старше и появилась в форме валькнута , трех связанных равносторонних треугольников с параллельными сторонами, на скандинавских камнях с изображениями, датируемыми 7 веком. [10] Храм Омива в Японии также украшен орнаментом из колец Борромео в их традиционной круглой форме. [1] Каменный столб в VI веке.Храм Марундисварар в Индии показывает три равносторонних треугольника, повернутых друг относительно друга, чтобы сформировать правильную эннеаграмму ; подобно кольцам Борромео, эти три треугольника связаны, а не попарно [11], но этот шаблон пересечения описывает другую связь, чем кольца Борромео. [12]

Сеиферт поверхность из колец Борромео

Кольца Борромео использовались в разных контекстах для обозначения силы в единстве. [13] В частности, некоторые использовали этот рисунок, чтобы символизировать Троицу . [2] Французская рукопись 13-го века, изображающая кольца Борромео, обозначенные как единство в троице, была потеряна в пожаре 1940-х годов, но воспроизведена в книге Адольфа Наполеона Дидрона 1843 года . Didron и другие полагают , что описание Троицы в виде трех равных окружностей в Канто 33 Данте «ы Парадизо был вдохновлен подобными изображениями, хотя Данте не подробно геометрическое расположение этих окружностей. [14] [15] Психоаналитик Жак Лакан нашел вдохновение в кольцах Борромео как модели для своей топологии человеческой субъективности, где каждое кольцо представляет фундаментальный лакановский компонент реальности («реальный», «воображаемый» и «символический»). [16]

Кольца использовались в качестве логотипа пива Ballantine и до сих пор используются в пиве бренда Ballantine, которое теперь распространяется нынешним владельцем бренда, Pabst Brewing Company . [17] [18] По этой причине их иногда называют «кольцами Баллантина». [2] [17]

Первой работой по теории узлов, в которую были включены кольца Борромео, был каталог узлов и звеньев, составленный в 1876 году Питером Тейтом . [2] В развлекательной математике кольца Борромео были популяризированы Мартином Гарднером , который описал поверхности Зейферта для колец Борромео в своей сентябрьской 1961 г. колонке « Математические игры » в журнале Scientific American . [18] В 2006 году Международный математический союз на 25-м Международном конгрессе математиков в Мадриде, Испания, решил использовать новый логотип, основанный на кольцах Борромео. [1]

Частичные и множественные звонки [ править ]

Дискордианская «мандала», в которой каждые три из пяти колец образуют кольца Борромео

В Европе средневековья и эпохи Возрождения ряд визуальных знаков состоит из трех элементов, переплетенных вместе, так же, как кольца Борромео показаны переплетенными (в их обычном двухмерном изображении), но с отдельными элементами, которые не являются замкнутыми петлями. Примеры таких символов - каменные рога Снолделева [19] и полумесяцы Дианы Пуатье . [2]

Некоторые теоретико-узловые ссылки содержат множественные конфигурации колец Борромео; одно звено с пятью петлями этого типа используется в качестве символа в дискордианстве , основываясь на описании в Principia Discordia . [20]

Математические свойства [ править ]

Связанность [ править ]

Диаграмма алгебраических зацеплений для колец Борромео. Вертикальная пунктирная черная средняя линия - это сфера Конвея, разделяющая диаграмму на 2 связки .

В теории узлов кольца Борромео представляют собой простой пример брунновского звена , звена, которое не может быть разделено, но которое распадается на отдельные петли без узлов, как только любой из его компонентов удаляется. Существует бесконечно много брунновских зацеплений и бесконечно много брунновских зацеплений с тремя кривыми, из которых кольца Борромео являются простейшими. [12] [21]

Есть несколько способов увидеть, что кольца Борромео связаны. Один из них заключается в использовании n -раскраски Фокса , раскраски дуг диаграммы связей с целыми числами по модулю n так, чтобы на каждом пересечении два цвета в пересечении имели такое же среднее значение (по модулю n ), что и цвет дуги пересечения, и чтобы использовалось как минимум два цвета. Количество раскрасок, удовлетворяющих этим условиям, является инвариантом узла , независимо от диаграммы, выбранной для связи. Тривиальное звено с тремя компонентами имеет раскраски, полученные из его стандартной диаграммы путем независимого выбора цвета для каждого компонента и отбрасыванияраскраски, в которых используется только один цвет. Для стандартной диаграммы колец Борромео, с другой стороны, одни и те же пары дуг встречаются в двух пересечениях, заставляя дуги, которые пересекают их, иметь тот же цвет, что и друг друга, из чего следует, что единственные цвета, которые соответствуют Условия пересечения нарушают условие использования более чем одного цвета. Поскольку у тривиальной ссылки много действительных раскрасок, а у колец Борромео нет ни одной, они не могут быть эквивалентными. [3] [22]

Кольца Борромео - это чередующиеся звенья , так как их обычная диаграмма звеньев имеет пересечения, которые чередуются между переходом над и под каждой кривой, в порядке вдоль кривой. Они также являются алгебраическим звеном , звеном, которое можно разложить сферами Конвея на 2-связки . Они представляют собой простейшее альтернированное алгебраическое звено, не имеющее диаграммы, одновременно чередующейся и алгебраической. [23] Из гипотез Тэта следует, что число пересечений колец Борромео (наименьшее количество пересечений в любой из их диаграмм зацеплений) равно 6, количество пересечений в их чередующейся диаграмме. [3]

Форма кольца [ править ]

Реализация колец Борромео с помощью эллипсов
Три связанных золотых прямоугольника в правильный икосаэдр

Кольца Борромео обычно рисуются так, что их кольца выступают в окружности в плоскости чертежа, но трехмерные круговые кольца Борромео - невозможный объект : невозможно сформировать кольца Борромео из кругов в трехмерном пространстве. [3] Майкл Х. Фридман и Ричард Скора ( 1987 ) доказали, что определенный класс связей, включая связи Борромео, не может быть точно круговым. [24] Для трех колец в их обычном расположении Борромео это можно увидеть из диаграммы связи.. Если предположить, что две окружности соприкасаются в двух точках пересечения, то они лежат либо в плоскости, либо в сфере. В любом случае третий круг должен пройти через эту плоскость или сферу четыре раза, не лежая в ней, что невозможно. [25] Другой аргумент в пользу невозможности круговой реализации, сделанный Хельге Твербергом , использует инверсивную геометрию . [26]

Однако кольца Борромео можно реализовать с помощью эллипсов. [1] Их можно считать произвольно малым эксцентриситетом ; т.е. независимо от того, насколько близка к округлости их форма, до тех пор, пока они не являются идеально круглыми, они могут образовывать связи Борромео при правильном расположении. Реализация колец Борромео тремя взаимно перпендикулярными золотыми прямоугольниками может быть найдена внутри правильного икосаэдра , соединив три противоположные пары его ребер. [1] Каждые три несвязанных многоугольника в евклидовом пространстве могут быть объединены после подходящего масштабного преобразования, чтобы сформировать кольца Борромео. Если все три полигона плоские, масштабирование не требуется.[27] В частности, поскольку кольца Борромео могут быть реализованы с помощью трех треугольников, минимальное количество сторон, возможное для каждой из его петель, число стержней колец Борромео равно девяти. [28]

Нерешенная задача по математике :

Существуют ли три кривые без узлов, а не все круги, которые не могут образовывать кольца Борромео?

(больше нерешенных задач по математике)

В более общем плане , Мэтью Кук уже высказал предположение , что любые три незаузленных простые замкнутые кривые в пространстве, не все круги, может быть объединено без масштабирования для формирования кольца Борромео. После того, как Джейсон Кантарелла предложил возможный контрпример, Хью Нельсон Ховардс ослабил гипотезу, применив ее к любым трем плоским кривым, которые не все являются окружностями. С другой стороны, хотя существует бесконечно много брунновских зацеплений с тремя зацеплениями, кольца Борромео - единственные, которые могут быть образованы из трех выпуклых кривых. [27]

Длина веревки [ править ]

Реализация с наименьшей известной длиной веревки, логотип Международного математического союза.

В теории узлов длина веревки узла или звена измеряет минимальную длину кривой, реализующей узел, который может быть утолщен до трубы радиуса один вокруг кривой, не пересекаясь с ней. Минимальная длина каната колец Борромео не доказана, но наименьшее значение, которое было достигнуто, достигается тремя копиями двухлепестковой плоской кривой. [1] [29] Хотя он напоминает более раннего кандидата на минимальную длину каната, построенного из четырех дуг окружности радиуса два, [30] он немного изменен по сравнению с этой формой и состоит из 42 гладких частей, определяемых эллиптическими интегралами., что на доли процента короче кусочно-круговой реализации. Именно эта реализация, предполагающая минимизацию длины веревки, была использована для логотипа Международного математического союза . Его длина равна , в то время как наиболее доказанная нижняя граница длины равна . [1] [29]

Для дискретного аналога длины веревки, кратчайшего представления с использованием только ребер целочисленной решетки , минимальная длина колец Борромео равна точно . Это длина представления с использованием трех целочисленных прямоугольников, вписанных в икосаэдр Джессена так же, как представление золотыми прямоугольниками вписано в правильный икосаэдр. [31]

Гиперболическая геометрия [ править ]

Дополнительное зацепление колец Борромео, гиперболическое многообразие с каспами, образованное склеиванием двух идеальных октаэдров (каждый из которых можно увидеть неоднократно). Кольца также неоднократно появляются как бесконечно удаленные вершины октаэдра.

Кольца Борромео являются гиперболическим зацеплением : пространство, окружающее кольца Борромео (их дополнение зацепления ), допускает полную гиперболическую метрику конечного объема. Хотя гиперболические связи в настоящее время считаются многочисленными, кольца Борромео были одними из первых примеров, доказавших свою гиперболичность, в 1970-х [32] [33], и это дополнение ссылок было центральным примером в видео Not Knot , снятом в 1991 г. Geometry Center . [34]

Гиперболические многообразия можно канонически разложить на склейки гиперболических многогранников (разложение Эпштейна – Пеннера), а для дополнения Борромео это разложение состоит из двух идеальных правильных октаэдров . [33] [35] Пространство является фактором - пространством из однородных сот идеальных октаэдров, то порядок-4 октаэдрические сотни , что делает Борромеевы кольцо один из не более чем 21 ссылок , которые соответствуют равномерным сотням таким образом. [36] объем Борромео дополнению , где есть функция Лобачевский . [35]Дополнение к кольцам Борромео универсально в том смысле, что каждое замкнутое трехмерное многообразие является разветвленным покрытием над этим пространством. [37]

Теория чисел [ править ]

В арифметической топологии существует аналогия между узлами и простыми числами, в которой рассматриваются связи между простыми числами. Тройка простых чисел (13, 61, 937) связана по модулю 2 ( символ Редеи - -1), но попарно не связана по модулю 2 (все символы Лежандра равны 1). Поэтому эти простые числа были названы «правильной тройкой Борромео по модулю 2» [38] или «простыми числами Борромео по модулю 2 ». [39]

Физические реализации [ править ]

А кулак обезьяны узел
Кристаллическая структура молекулярных колец Борромео [40]

А кулак обезьяна узел является по существу 3-мерным представлением Борромеа колец, хотя и с тремя слоями, в большинстве случаев. [41] Скульптор Джон Робинсон создал произведения искусства с тремя равносторонними треугольниками, сделанными из листового металла , соединенными в кольца Борромео и напоминающими трехмерную версию валькнута. [12] [28]Обычная конструкция складного деревянного штатива состоит из трех частей, вырезанных из цельного куска дерева, при этом каждая часть состоит из двух деревянных отрезков, ножек и верхних сторон штатива, соединенных двумя деревянными сегментами, которые окружают удлиненную центральную часть. отверстие в куске. Еще одна из трех частей проходит через каждое из этих отверстий, соединяя три части вместе в шаблоне колец Борромео. Считается, что штативы этой формы возникли в результате ручной работы в Индии или Африке. [42] [43]

В химии молекулярные кольца Борромео являются молекулярными аналогами колец Борромео, которые представляют собой механически связанные молекулярные архитектуры . В 1997 году биологу Чэндэ Мао и его коллегам из Нью-Йоркского университета удалось построить набор колец из ДНК . [44] В 2003 году химик Фрейзер Стоддарт и его коллеги из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе использовали координационную химию для создания набора колец за один этап из 18 компонентов. [40] Кольцевые структуры Борромео использовались для описания кластеров благородных металлов, защищенных поверхностным слоем тиолатных лигандов. [45]Библиотека сетей Борромео была синтезирована Джузеппе Реснати и его коллегами с помощью самосборки, управляемой галогеновыми связями . [46] Чтобы получить доступ к молекулярному кольцу Борромео, состоящему из трех неравных циклов, Джей С. Сигель и его коллеги предложили пошаговый синтез. [47]

В физике квантово-механический аналог колец Борромео называется состоянием гало или состоянием Ефимова и состоит из трех связанных частиц, которые не связаны попарно. Существование таких состояний было предсказано физиком Виталием Ефимовым в 1970 году и подтверждено. множественными экспериментами, начавшимися в 2006 году. [48] [49] Это явление тесно связано с ядром Борромео , стабильным атомным ядром, состоящим из трех групп частиц, которые были бы нестабильны в парах. [50] Другой аналог колец Борромео в квантовой теории информации включает запутывание трех кубитов в состоянии Гринбергера – Хорна – Цайлингера .[13]

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b c d e f g Ганн, Чарльз; Салливан, Джон М. (2008), «Кольца Борромео: видео о новом логотипе ИДУ» , в Сарханги, Реза; Секин, Карло Х. (ред.), Бриджес Леуварден: математика, музыка, искусство, архитектура, культура , Лондон: Tarquin Publications, стр. 63–70, ISBN 9780966520194; см. видео на странице «Кольца Борромео: новый логотип ИДУ » [с видео], Международный математический союз
  2. ^ a b c d e Кромвель, Питер; Бельтрами, Элизабетта; Рампичини, Марта (март 1998 г.), «Кольца Борромео», «Турист-математик», The Mathematical Intelligencer , 20 (1): 53–62, doi : 10.1007 / bf03024401
  3. ^ a b c d e Айгнер, Мартин ; Зиглер, Гюнтер М. (2018), «Глава 15: Кольца Борромео не существуют», Доказательства из КНИГИ (6-е изд.), Springer, стр. 99–106, doi : 10.1007 / 978-3-662- 57265-8_15 , ISBN 978-3-662-57265-8
  4. ^ Чемберленд, Марк; Герман, Евгений А. (2015), "Рок-ножницы-бумага встречает Борромейские колец", Математическая Интеллидженсер , 37 (2): 20-25, DOI : 10.1007 / s00283-014-9499-4 , MR 3356112 
  5. ^ a b " Кольца Борромео ", Атлас узлов .
  6. ^ Рольфсен, Дейл (1990), Узлы и ссылки , Серия лекций по математике, 7 (2-е изд.), Publish or Perish, Inc., Хьюстон, Техас, стр. 425, ISBN 0-914098-16-0, MR  1277811
  7. ↑ Conway, JH (1970), «Перечисление узлов и зацеплений, а также некоторые из их алгебраических свойств», Вычислительные проблемы абстрактной алгебры (Proc. Conf., Oxford, 1967) , Oxford: Pergamon, pp. 329–358, Руководство по ремонту 0258014 ; см. описание обозначений на стр. 332–333 и вторую строку таблицы на стр. 348.
  8. ^ Крам Браун, Александр (декабрь 1885 г.), "О случае переплетения поверхностей" , Труды Королевского общества Эдинбурга , 13 : 382–386
  9. ^ Schoeck, Ричард Дж (весна 1968), "Математика и языки литературной критики", журнал Эстетика и искусствоведение , 26 (3): 367-376, DOI : 10,2307 / 429121 , JSTOR 429121 
  10. ^ Брунс, Карсон Дж .; Стоддарт, Дж. Фрейзер (2011), «Механическая связь: произведение искусства», в Fabbrizzi, L. (ed.), Beauty in Chemistry , Topics in Current Chemistry, 323 , Springer, pp. 19–72, doi : 10.1007 / 128_2011_296
  11. ^ Lakshminarayan, Arul (май 2007), "Борромео треугольники и простые узлы в древнем храме", Resonance , 12 (5): 41-47, DOI : 10.1007 / s12045-007-0049-7
  12. ^ a b c Джаблан, Славик В. (1999), "Неужели ссылки Борромео так редки?" , Труды 2-го Международного симпозиума по симметрии Катачи У, Часть 1 (Цукуба, 1999), Forma , 14 (4): 269–277, MR 1770213 
  13. ^ a b Аравинд, П.К. (1997), «Борромео запутанность состояния GHZ» (PDF) , в Коэн, РС; Хорн, М .; Стачел, Дж. (Ред.), Потенциальность, запутанность и страсть на расстоянии , Бостонские исследования в области философии науки, Springer, стр. 53-59, DOI : 10.1007 / 978-94-017-2732-7_4 , Руководство по ремонту 1739812  
  14. ^ Дидрон, Адольф Наполеон (1843), Iconographie Chrétienne (на французском языке), Париж: Imprimerie Royale, стр. 568–569
  15. ^ Сайбер, Ариэль; Mbirika, ABA (2013), "Три гири из Paradiso 33" (PDF) , Данте Studies (131): 237-272, JSTOR 43490498  
  16. ^ Ragland-Sullivan, Ellie; Милованович, Драган (2004), «Введение: топологически говорящий» , Лакан: топологически говорящий , Other Press, ISBN 9781892746764
  17. ^ a b Глик, Нед (сентябрь 1999 г.), «Символ с тремя кольцами пива Ballantine», «Турист-математик», The Mathematical Intelligencer , 21 (4): 15–16, doi : 10.1007 / bf03025332
  18. ^ a b Гарднер, Мартин (сентябрь 1961 г.), «Поверхности с ребрами, соединенными так же, как три кольца известной конструкции» , Mathematical Games , Scientific American, перепечатано как Gardner, Martin (1991), «Узлы и кольца Борромео», The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions , University of Chicago Press, стр. 24–33; см. также Гарднер, Мартин (сентябрь 1978 г.), «Тороиды доктора Клонфейка», «Научная фантастика Азимова» , т. 2 шт. 5, стр. 29
  19. ^ Бэрд, Джозеф Л. (1970), "Unferth þyle ", средний Aevum , 39 (1): 1-12, DOI : 10,2307 / 43631234 , JSTOR 43631234 , камень имеет также представления трех рогов чересстрочными 
  20. ^ "Мандала" , Principia Discordia (4-е изд.), Март 1970, стр. 43 год
  21. ^ Бай, Шэн; Ван, Weibiao (2020), "Новые критерии и сооружения брунново зацепление", Журнал теории узлов и его разветвлений , 29 (13): 2043008, 27, Arxiv : 2006,10290 , DOI : 10,1142 / S0218216520430087 , MR 4213076 
  22. ^ Nanyes, Олли (октябрь 1993), "Элементарное доказательство того, что Борромео кольца неразрываемый", American Mathematical Monthly , 100 (8): 786-789, DOI : 10,2307 / 2324788 , JSTOR 2324788 
  23. ^ Thistlethwaite, Морвен Б. (1991), "Об алгебраической часть линии переменного" , Тихоокеанский журнал математики , 151 (2): 317-333, МР 1132393 
  24. ^ Фридман, Майкл Х .; Skóra, Ричард (1987), "Странные действия групп на сферах", Журнал дифференциальной геометрии , 25 : 75-98, DOI : 10,4310 / Судьи / 1214440725
  25. ^ Линдстрём, Бернт; Zetterstrom, Hans-Улоф (1991), "Борромео круги невозможны", American Mathematical Monthly , 98 (4): 340-341, DOI : 10,2307 / 2323803 , JSTOR 2323803 . Заметим, однако, что Gunn & Sullivan (2008) пишут, что эта ссылка «кажется, неправильно относится только к случаю, когда трехмерная конфигурация имеет проекцию, гомеоморфную» традиционному трехкружному изображению связи.
  26. ^ Тверберг, Хельге (2010), «О кольцах Борромео» (PDF) , The Mathematical Scientist , 35 (1): 57–60, MR 2668444  
  27. ^ А б Говарды, Хью Нельсон (2013), "Формирование Борромеевы кольца из произвольных многоугольных unknots", Журнал теории узлов и его разветвлений , 22 (14): 1350083, 15, Arxiv : 1406,3370 , DOI : 10,1142 / S0218216513500831 , Руководство по ремонту 3190121 
  28. ^ a b Burgiel, H .; Franzblau, DS; Gutschera, КР (1996), "Тайна связанных треугольников", Математика Журнал , 69 (2): 94-102, DOI : 10,1080 / 0025570x.1996.11996399 , JSTOR 2690662 , МР 1394792  
  29. ^ a b Кантарелла, Джейсон; Фу, Джозеф HG; Куснер, Роб; Салливан, Джон М .; Уринкл, Нэнси К. (2006), «Критичность проблемы связи Геринга», Геометрия и топология , 10 : 2055–2116, arXiv : math / 0402212 , doi : 10.2140 / gt.2006.10.2055 , MR 2284052 
  30. ^ Кантарелла, Джейсон; Куснер, Роберт Б .; Салливан, Джон М. (2002), "О минимальном ropelength узлов и звеньев", Inventiones Mathematicae , 150 (2): 257-286, DOI : 10.1007 / s00222-002-0234-у , МР 1933586 
  31. ^ Уберти, R .; Янсе ван Ренсбург, EJ; Орландини, E .; Tesi, MC; Whittington, SG (1998), "Минимальные зацепления в кубической решетке", в Whittington, Stuart G .; Самнерс, Витт Де; Лодж, Тимоти (ред.), Топология и геометрия в науке о полимерах , Объемы IMA по математике и ее приложениям, 103 , Нью-Йорк: Спрингер, стр. 89–100, DOI : 10.1007 / 978-1-4612-1712-1_9 , Руководство по ремонту 1655039 ; см. Таблицу 2, стр. 97
  32. ^ Райли, Роберт (1979), «Эллиптический путь от параболических представлений к гиперболическим структурам», в Фенн, Роджер (ред.), Топология многообразий малой размерности: Труды Второй Сассексской конференции, 1977 , Конспекты лекций по математике, 722 ., Спрингер, С. 99-133, DOI : 10.1007 / BFb0063194 , МР 0547459 
  33. ^ a b Рэтклифф, Джон Г. (2006), «Дополнение к кольцам Борромео» , « Основы гиперболических многообразий» , «Тексты для выпускников по математике», 149 (2-е изд.), Springer, стр. 459–461, ISBN 978-0387-33197-3, MR  2249478
  34. ^ Abbott, Стив (июль 1997), "Обзор не Узла и дополнения не Узла ", Математическая газета , 81 (491): 340-342, DOI : 10,2307 / 3619248 , JSTOR 3619248 
  35. ^ a b Уильям Терстон (март 2002 г.), «7. Вычисление объема» (PDF) , Геометрия и топология трехмерных многообразий , с. 165
  36. ^ Гёрнер, Маттиас (2015), «Регулярные дополнения к тесселяционным ссылкам », Experimental Mathematics , 24 (2): 225–246, arXiv : 1406.2827 , doi : 10.1080 / 10586458.2014.986310 , MR 3350527 
  37. ^ Хильден, Хью М .; Лосано, Мария Тереза ; Монтесинос, Хосе Мария (1983), «Связь Уайтхеда, кольца Борромео и узел 9 46 универсальны», Seminario Matemático de Barcelona , 34 (1): 19–28, MR 0747855 
  38. ^ Фогель, Денис (2005), Masseyprodukte in der Galoiskohomologie von Zahlkörpern [ Произведения Месси в когомологиях Галуа числовых полей ], Математический институт, Георг-Август-Университет Геттингена: Семинары Зимний семестр 2004/2005, Гёттинген: Университет. 93-98, DOI : 10,11588 / heidok.00004418 , МР 2206880 
  39. ^ Моришита, Масанори (2010), «Аналогии между узлами и простыми числами, 3-многообразиями и числовыми кольцами», Sugaku Expositions , 23 (1): 1–30, arXiv : 0904.3399 , MR 2605747 
  40. ^ a b Chichak, Kelly S .; Cantrill, Стюарт Дж .; Пиз, Энтони Р .; Чиу, Шэн-Сянь; Пещера, Гарет, Западная Вирджиния; Этвуд, Джерри Л .; Стоддарт, J. Fraser (28 мая 2004), "Molecular Борромео кольца" (PDF) , Science , 304 (5675): 1308-1312, Bibcode : 2004Sci ... 304.1308C , DOI : 10.1126 / science.1096914 , PMID 15166376  
  41. ↑ Эшли, Клиффорд Уоррен (1993) [1944], Книга узлов Эшли , Doubleday, стр. 354
  42. ^ Фриман, Джим (2015), «Сбор ключей к необычным объектам Марго» (PDF) , Бюллетень исторического общества Тьюксбери , 24
  43. ↑ «Африканские кольца Борромео» , « Математика и узлы» , Центр популяризации математики, Уэльский университет, 2002 г. , данные получены 12 февраля 2021 г.
  44. ^ Mao, C .; Sun, W .; Симэн, NC (1997), "Собрание Борромео колец из ДНК", Nature , 386 (6621): 137-138, Bibcode : 1997Natur.386..137M , DOI : 10.1038 / 386137b0 , PMID 9062186 
  45. ^ Натараджан, Ганапати; Мэтью, Амму; Негиси, Юичи; Веттен, Роберт Л .; Прадип, Thalappil (2015-12-02), «единая структура для понимания структуры и модификации атомарна точных однослойных защищенных кластеров золота», Журнал физической химии C , 119 (49): 27768-27785, DOI : 10.1021 / acs.jpcc.5b08193 , ISSN 1932-7447 
  46. ^ Кумар, Виджит; Пилати, Туллио; Терранео, Джанкарло; Мейер, Франк; Метранголо, Пьеранджело; Resnati, Джузеппе (2017), «Галоген связаны Борромейские сети с помощью конструкции: топология инвариантность и метрики настройки в библиотеке многокомпонентных систем», химических наук , 8 (3): 1801-1810, DOI : 10.1039 / C6SC04478F , ПМК 5477818 , PMID 28694953  
  47. ^ Veliks, Janis; Seifert, Helen M .; Frantz, Derik K .; Клостерман, Джереми К .; Цзэн, Жуй-Чанг; Линден, Энтони; Сигел, Джей С. (2016), «К молекулярной связи Борромео с тремя неравными кольцами: двухниточные рутениевые (ii) комплексы кольцо в кольце» , Organic Chemistry Frontiers , 3 (6): 667–672, doi : 10.1039 / c6qo00025h
  48. ^ Kraemer, T .; Марк, М .; Waldburger, P .; Danzl, JG; Подбородок, C .; Engeser, B .; Lange, AD; Pilch, K .; Jaakkola, A .; Nägerl, H.-C .; Гримм, Р. (2006), "Доказательства квантовых состояний Ефимова в ультрахолодном газе атомов цезия", Nature , 440 (7082): 315–318, arXiv : cond-mat / 0512394 , Bibcode : 2006Natur.440..315K , DOI : 10.1038 / nature04626 , PMID 16541068 
  49. ^ Московиц, Клара (16 декабря 2009), «Странная физическая теория оказалась после того, как почти 40 лет» , Живая наука
  50. ^ Танака, К. (2010), "Наблюдение Большой реакции сечение в Drip-Line Nucleus 22 C", Physical Review Letters , 104 (6): 062701, Bibcode : 2010PhRvL.104f2701T , DOI : 10.1103 / PhysRevLett. 104.062701 , PMID 20366816 

Внешние ссылки [ править ]

  • Лэмб, Эвелин (30 сентября 2016 г.), «Несколько моих любимых пространств: кольца Борромео» , «Корни единства», Scientific American
  • Олимпийские кольца Борромео ( Брэди Харан , 2012 г.), ленты Борромео ( Тадаши Токиеда , 2016 г.), а также неоновые узлы и пивные кольца Борромео ( Клиффорд Столл , 2018 г.), Numberphile