Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Метод граничных элементов ( BEM ) - это численный вычислительный метод решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных, которые были сформулированы как интегральные уравнения (то есть в граничной интегральной форме), включая механику жидкости , акустику , электромагнетизм (где метод известен как метод моментов или сокращенно MoM ), [1] механика разрушения , [2] и контактная механика . [3] [4]

Математическая основа [ править ]

Интегральное уравнение можно рассматривать как точное решение основного дифференциального уравнения в частных производных. Метод граничных элементов пытается использовать заданные граничные условия для подгонки граничных значений в интегральное уравнение, а не значений во всем пространстве, определяемом уравнением в частных производных. Как только это будет сделано, на этапе постобработки интегральное уравнение можно снова использовать для численного расчета решения непосредственно в любой желаемой точке внутри области решения.

БЭМ применим к задачам, для которых можно вычислить функции Грина . Обычно это поля в линейных однородных средах. Это накладывает значительные ограничения на круг и общность задач, к которым могут быть с успехом применены граничные элементы. Нелинейности могут быть включены в формулировку, хотя они, как правило, вводят объемные интегралы, которые затем требуют дискретизации объема перед попыткой решения, что устраняет одно из наиболее часто упоминаемых преимуществ БЭМ [ необходима цитата ] . Полезным методом обработки интеграла объема без его дискретизации является метод двойной взаимности.. Этот метод аппроксимирует часть подынтегрального выражения с использованием радиальных базисных функций (локальных интерполирующих функций) и преобразует интеграл объема в интеграл границы после совмещения в выбранных точках, распределенных по всей области объема (включая границу). В BEM с двойной взаимностью, хотя нет необходимости разбивать объем на ячейки, неизвестные в выбранных точках внутри области решения участвуют в линейных алгебраических уравнениях, приближающих рассматриваемую задачу.

Элементы функции Грина, соединяющие пары участков источника и поля, определенные сеткой, образуют матрицу, которая решается численно. Если функция Грина не работает надлежащим образом, по крайней мере, для пар пятен рядом друг с другом, функция Грина должна быть интегрирована как по исходному, так и по полю. Форма метода, в котором интегралы по участкам источника и поля совпадают, называется « методом Галеркина ». Метод Галеркина - очевидный подход к задачам, которые симметричны относительно обмена точками источника и поля. В электромагнетизме частотной области это обеспечивается электромагнитной взаимностью.. Стоимость вычислений, связанных с наивными реализациями Галеркина, обычно довольно высока. Нужно перебрать каждую пару элементов (так мы получим n 2 взаимодействий), и для каждой пары элементов мы переберем точки Гаусса в элементах, создав мультипликативный коэффициент, пропорциональный количеству точек Гаусса в квадрате. Кроме того, требуемые вычисления функций обычно довольно дороги, включая вызовы тригонометрических / гиперболических функций. Тем не менее, основным источником вычислительных затрат является этот двойной цикл по элементам, создающий полностью заполненную матрицу.

Функции Грина или фундаментальные решения, часто бывает проблематично интегрировать, поскольку они основаны на решении уравнений системы, подверженных сингулярной нагрузке (например, электрическому полю, возникающему от точечного заряда). Интегрировать такие особые поля непросто. Для простой геометрии элементов (например, плоских треугольников) можно использовать аналитическое интегрирование. Для более общих элементов можно разработать чисто числовые схемы, которые адаптируются к сингулярности, но с большими вычислительными затратами. Конечно, когда исходная точка и целевой элемент (где выполняется интегрирование) находятся далеко друг от друга, нет необходимости точно определять локальный градиент, окружающий точку, и становится возможным легко интегрировать из-за плавного затухания фундаментального решения. Именно эта функция обычно используется в схемах, предназначенных для ускорения расчетов задач граничных элементов.

Вывод функций Грина в замкнутой форме представляет особый интерес в методе граничных элементов, особенно в электромагнетизме. В частности, при анализе слоистых сред вывод функции Грина в пространственной области требует обращения аналитически выводимой функции Грина в спектральной области через интеграл по путям Зоммерфельда. Этот интеграл нельзя вычислить аналитически, а его численное интегрирование является дорогостоящим из-за его колебательного и медленно сходящегося поведения. Для надежного анализа пространственные функции Грина аппроксимируются как комплексные экспоненты с помощью таких методов, как метод Прони или обобщенный пучок функций , а интеграл вычисляется с помощью тождества Зоммерфельда . [5] [6] [7] [8]Этот метод известен как метод дискретного комплексного изображения. [7] [8]

Сравнение с другими методами [ править ]

Метод граничных элементов часто более эффективен, чем другие методы, включая методы конечных элементов, с точки зрения вычислительных ресурсов для задач, в которых отношение поверхности к объему небольшое. [9] Концептуально это работает путем построения « сетки » по моделируемой поверхности. Тем не менее, для многих задач методы граничных элементов значительно менее эффективны , чем методы объемного дискретизации ( метода конечных элементов , метода конечных разностей , метод конечных объемов ). Хороший пример применения метода граничных элементов является эффективным расчетом собственных частот в жидком выплескивания в цистернах. [10] [11] [12]Метод граничных элементов является одним из наиболее эффективных методов численного моделирования контактных задач [13], в частности, для моделирования клеевых контактов. [14]

Формулировки граничных элементов обычно приводят к полностью заполненным матрицам. Это означает, что требования к хранилищу и время вычислений будут расти пропорционально квадрату размера проблемы. В отличие от этого, матрицы конечных элементов обычно имеют ленточную структуру (элементы связаны только локально), а требования к хранению для системных матриц обычно растут довольно линейно с размером проблемы. Для решения этих проблем можно использовать методы сжатия (например, многополюсные расширения или адаптивные перекрестные аппроксимации / иерархические матрицы ), хотя и за счет дополнительной сложности, и с вероятностью успеха, которая в значительной степени зависит от характера решаемой проблемы и геометрии. .

См. Также [ править ]

  • Метод аналитических элементов
  • Вычислительная электромагнетизм
  • Meshfree методы
  • Метод погруженных границ
  • Метод растянутой сетки

Ссылки [ править ]

  1. ^ В электромагнетизме более традиционный термин «метод моментов» часто используется, хотя и не всегда, как синоним «метода граничных элементов»: см. ( Walton 2008 )для получения дополнительной информации по этому вопросу.
  2. ^ Метод граничных элементов хорошо подходит для анализа трещин в твердых телах. Существует несколько подходов к решению задач с использованием граничных элементов. Один из таких подходов состоит в том, чтобы сформулировать условия для трещин в терминах гиперсингулярных граничных интегральных уравнений, см. ( Ang 2013 ).
  3. ^ Pohrt, R .; Ли, К. (2014-10-01). «Полная формулировка граничных элементов для нормальных и касательных контактных задач». Физическая мезомеханика . 17 (4): 334–340. DOI : 10.1134 / S1029959914040109 . ISSN  1029-9599 .
  4. ^ "Учебное пособие по расчету контактного давления на основе BEM" . www.tribonet.org .
  5. ^ Чоу, YL; Ян, JJ; Fang, DG; Ховард, GE (март 1991 г.). «Замкнутая пространственная функция Грина для толстой микрополосковой подложки». Протоколы IEEE по теории и методам микроволнового излучения . 39 (3): 588–592. DOI : 10.1109 / 22.75309 .
  6. ^ Aksun, MI (февраль 2003). «Робастный подход для вывода замкнутых функций Грина». Протоколы IEEE по теории и методам микроволнового излучения . 44 (5): 651–658. DOI : 10.1109 / 22.493917 . hdl : 11693/10779 .
  7. ^ a b Тео, Суи-Энн (2000). «Метод дискретного комплексного изображения для функций Грина общих многослойных сред». Письма о волноводе в СВЧ-диапазоне IEEE . 10 (10): 400–402. DOI : 10.1109 / 75.877225 .
  8. ^ а б Тео, Суи-Энн; Chew, Siou-Teck; Леонг, Мук-Сен (февраль 2003 г.). «Анализ ошибок метода дискретных сложных изображений и извлечения полюсов». Протоколы IEEE по теории и методам микроволнового излучения . 51 (2): 406–412. DOI : 10.1109 / TMTT.2002.807834 .
  9. ^ См. ( Katsikadelis 2002 ).
  10. ^ Kolaei, Amir; Ракхеджа, Субхаш; Ричард, Марк Дж. (01.09.2015). «Трехмерный динамический выплеск жидкости в частично заполненных горизонтальных резервуарах при одновременном продольном и поперечном возбуждении». Европейский журнал Mechanics B . 53 : 251–263. Bibcode : 2015EJMF ... 53..251K . DOI : 10.1016 / j.euromechflu.2015.06.001 .
  11. ^ Kolaei, Amir; Ракхеджа, Субхаш; Ричард, Марк Дж. (31 января 2015 г.). «Комбинированный мультимодальный метод и метод граничных элементов для анализа противозадирной эффективности частичных перегородок в частично заполненном контейнере». Компьютеры и жидкости . 107 : 43–58. DOI : 10.1016 / j.compfluid.2014.10.013 .
  12. ^ Kolaei, Amir; Ракхеджа, Субхаш; Ричард, Марк Дж. (14 ноября 2014 г.). Том 4A: Динамика, вибрация и управление . стр. V04AT04A067. DOI : 10.1115 / IMECE2014-37271 . ISBN 978-0-7918-4647-6.
  13. ^ Попов, Валентин (2017). Контактная механика и трение - физические принципы и (Глава 19) . Springer. С. 337–341. ISBN 9783662530801.
  14. ^ Похрт, Роман; Попов, Валентин Л. (09.04.2015). «Моделирование адгезионного контакта упругих тел с использованием критерия отрыва от локальной сетки в методе граничных элементов» . Facta Universitatis, Серия: Машиностроение . 13 (1): 3–10.

Библиография [ править ]

  • Анг, Whye-Teong (2007), Курс для начинающих по методам граничных элементов , Бока-Ратон, Флорида: универсальные издатели , ISBN 978-1-58112-974-8.
  • Ang, Whye-Teong (2013), Гиперсингулярные интегральные уравнения в анализе разрушения , Oxford: Woodhead Publishing , ISBN 978-0-85709-479-7.
  • Банерджи, Прасанта Кумар (1994), Методы граничных элементов в инженерии (2-е изд.), Лондон и др .: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-707769-3.
  • Пиво, Гернот; Смит, Ян; Дуэнзер, Кристиан, Метод граничных элементов с программированием: для инженеров и ученых , Берлин - Гейдельберг - Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. XIV + 494, ISBN 978-3-211-71574-1
  • Ченг, Александр Х.-Д .; Cheng, Daisy T. (2005), "Наследие и ранняя история методы граничных элементов", инженерный анализ с граничными элементами , 29 (3): 268-302, DOI : 10.1016 / j.enganabound.2004.12.001 , Zbl  1182,65005, также можно найти здесь .
  • Гибсон, Уолтон С. (2008), Метод моментов в электромагнетизме , Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall / CRC Press , стр. Xv + 272, ISBN 978-1-4200-6145-1, Руководство по ремонту  2503144 , Zbl  1175.78002.
  • Кацикаделис, Джон Т. (2002), Теория граничных элементов и ее приложения , Амстердам: Elsevier , стр. XIV + 336, ISBN 978-0-080-44107-8.
  • Wrobel, LC; Алиабади, MH (2002), Метод граничных элементов , Нью-Йорк: John Wiley & Sons , стр. 1066, ISBN 978-0-470-84139-6 (в двух томах).

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Констанда, Кристиан; Доти, Дейл; Хэмилл, Уильям (2016). Методы граничных интегральных уравнений и численные решения: тонкие пластины на упругом основании . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-3-319-26307-6.

Внешние ссылки [ править ]

  • Интернет-ресурс для граничных элементов
  • Что скрывается под поверхностью? Руководство по методу граничных элементов и функциям Грина для студентов и профессионалов
  • Вводный курс БЭМ (с главой о функциях Грина)
  • Граничные элементы для задач о плоской трещине
  • Веб-сайт электромагнитного моделирования в Университете Клемсона (включает список доступного в настоящее время программного обеспечения)
  • Программное обеспечение для анализа граничных элементов Concept Analyst
  • Климпке, Брюс Гибридный решатель магнитного поля с использованием комбинированного решателя поля конечных элементов и граничных элементов , Конференция британского магнитного общества, 2003 г., в котором сравниваются методы МКЭ и БЭМ, а также гибридные подходы

Бесплатное программное обеспечение [ править ]

  • Бембель 3D - , isogeometric, более высокий порядок, с открытым исходным кодом программного обеспечения для БЭМ Лапласа, Гельмгольц и Максвелл задачи с использованием методы быстрым мультипольной для сжатия и сокращения вычислительных затрат
  • boundary-element-method.com BEM программного обеспечения с открытым исходным кодом для решающих акустики / проблем Гельмгольца и Лапласа
  • Puma-EM - открытая и высокопроизводительная параллельная программа метода моментов / многоуровневого быстрого многополюсного метода
  • AcouSTO Acoustics Simulation TOol, бесплатный параллельный БЭМ-решатель с открытым исходным кодом для интегрального уравнения Кирхгофа-Гельмгольца (KHIE)
  • FastBEM Бесплатные быстрые многополюсные программы граничных элементов для решения 2D / 3D задач, связанных с потенциалом, упругостью, стоксовым потоком и акустическими проблемами.
  • ParaFEM включает в себя бесплатный параллельный БЭМ-решатель с открытым исходным кодом для проблем эластичности, описанный в Gernot Beer, Ian Smith, Christian Duenser, The Boundary Element Method with Programming: For Engineers and Scientists , Springer, ISBN 978-3-211-71574-1 ( 2008 г.) 
  • Библиотека шаблонов граничных элементов (BETL) Универсальная программная библиотека C ++ для дискретизации граничных интегральных операторов.
  • Nemoh Программа BEM для гидродинамики с открытым исходным кодом, предназначенная для расчета волновых нагрузок первого порядка на морские конструкции (добавленная масса, радиационное демпфирование, дифракционные силы).
  • Bempp , БЭМ-программа с открытым исходным кодом для трехмерных задач Лапласа, Гельмгольца и Максвелла
  • MNPBEM , набор инструментов Matlab с открытым исходным кодом для решения уравнений Максвелла для наноструктур произвольной формы
  • Симулятор контактной механики и трибологии , бесплатное программное обеспечение на основе БЭМ