Метод конечных объемов

Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения Навье – Стокса, используемые для моделирования воздушного потока вокруг препятствия
Объем Естественные науки Инженерное дело Астрономия Физика Химия Биология Геология Прикладная математика Механика сплошной среды Теория хаоса Динамические системы Социальные науки Экономика Динамика населения
Классификация
Типы Обычный Частичное Дифференциально-алгебраический Интегро-дифференциал Дробное Линейный Нелинейный По типу переменной Зависимые и независимые переменные Автономный Сложный Связано / развязано Точный Однородный  / неоднородный Функции Заказ Оператор Обозначение
Отношение к процессам Разница (дискретный аналог) Стохастик Стохастический частичный Задерживать
Решение
Существование и уникальность Теорема Пикара – Линделёфа Теорема существования Пеано Теорема существования Каратеодори Теорема Коши – Ковалевского
Общие темы Вронскиан Фазовый портрет Фазовое пространство Ляпунов  / Асимптотика  / Экспоненциальная устойчивость Скорость сходимости Серии  / Интегральные решения Численное интегрирование Дельта-функция Дирака
Методы решения Осмотр Метод характеристик Эйлер Формула экспоненциального отклика Конечная разность  ( Кривошип – Николсон ) Заключительный элемент Бесконечный элемент Конечный объем Галёркин Петров – Галеркин Интегрирующий фактор Интегральные преобразования Теория возмущений Рунге-Кутта Разделение переменных Неопределенные коэффициенты Вариация параметров
Люди Исаак Ньютон Готфрид Лейбниц Леонард Эйлер Эмиль Пикар Юзеф Мария Хене-Вронски Эрнст Линделёф Рудольф Липшиц Огюстен-Луи Коши Джон Крэнк Филлис Николсон Карл Давид Толме Рунге Мартин Кутта
v т е

Метод конечных объемов ( FVM ) - это метод представления и оценки уравнений в частных производных в форме алгебраических уравнений. ^[1] В методе конечных объемов объемные интегралы в уравнении с частными производными, которые содержат член дивергенции , преобразуются в поверхностные интегралы с использованием теоремы о дивергенции . Затем эти члены оцениваются как потоки на поверхностях каждого конечного объема. Поскольку поток, входящий в данный объем, идентичен потоку, выходящему из соседнего объема, эти методы являются консервативными.. Еще одно преимущество метода конечных объемов состоит в том, что его легко сформулировать, чтобы учесть неструктурированные сетки. Метод используется во многих пакетах вычислительной гидродинамики . «Конечный объем» относится к небольшому объему, окружающему каждую узловую точку на сетке.

Методы конечного объема можно сравнить и противопоставить методам конечных разностей , которые аппроксимируют производные с использованием узловых значений, или методам конечных элементов , которые создают локальные аппроксимации решения с использованием локальных данных и создают глобальное приближение путем сшивания их вместе. Напротив, метод конечного объема оценивает точные выражения для среднего значения решения по некоторому объему и использует эти данные для построения приближений решения в пределах ячеек. ^{[2] [3]}

Пример [ править ]

Рассмотрим простую задачу одномерной адвекции :

${\ displaystyle \ quad (1) \ qquad \ qquad {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} = 0, \ quad t \ geq 0.}$

Здесь представляет переменную состояния и представляет поток или поток . Обычно положительное значение представляет поток вправо, а отрицательное - поток слева. Если мы предположим, что уравнение (1) представляет текущую среду постоянной площади, мы можем подразделить пространственную область,, на конечные объемы или ячейки с центрами ячеек, индексируемыми как . Для конкретной ячейки мы можем определить среднее значение объема в момент времени и , как${\ Displaystyle \ Ро = \ Ро \ влево (х, т \ вправо) \}$${\ Displaystyle е = е \ влево (\ ро \ влево (х, т \ вправо) \ вправо) \}$${\ displaystyle \ rho \}$${\ displaystyle f \}$${\ displaystyle f \}$${\ Displaystyle х \}$${\ Displaystyle я \}$${\ Displaystyle я \}$${\ Displaystyle {\ rho} _ {я} \ влево (т \ справа) = \ ро \ влево (х, т \ вправо) \}$${\ Displaystyle {т = т_ {1}} \}$${\displaystyle {x\in \left[x_{i-{\frac {1}{2}}},x_{i+{\frac {1}{2}}}\right]}\ }$

${\displaystyle \quad (2)\qquad \qquad {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{1}\right)={\frac {1}{x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}}}}\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}\rho \left(x,t_{1}\right)\,dx,}$

и в то время как,${\displaystyle {t=t_{2}}\ }$

${\displaystyle \quad (3)\qquad \qquad {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\frac {1}{x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}}}}\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}\rho \left(x,t_{2}\right)\,dx,}$

где и представляют собой расположение лицевых сторон или краев ячейки, расположенной выше и ниже по потоку, соответственно .${\displaystyle x_{i-{\frac {1}{2}}}\ }$${\displaystyle x_{i+{\frac {1}{2}}}\ }$${\displaystyle i^{th}\ }$

Интегрируя уравнение (1) по времени, имеем:

${\displaystyle \quad (4)\qquad \qquad \rho \left(x,t_{2}\right)=\rho \left(x,t_{1}\right)-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{x}\left(x,t\right)\,dt,}$

где .${\displaystyle f_{x}={\frac {\partial f}{\partial x}}}$

Чтобы получить среднее значение объема за определенный период времени , мы интегрируем по объему ячейки и делим результат на , т. Е.${\displaystyle \rho \left(x,t\right)}$${\displaystyle t=t_{2}\ }$${\displaystyle \rho \left(x,t_{2}\right)}$${\displaystyle \left[x_{i-{\frac {1}{2}}},x_{i+{\frac {1}{2}}}\right]}$${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}}}$

${\displaystyle \quad (5)\qquad \qquad {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\frac {1}{\Delta x_{i}}}\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}\left\{\rho \left(x,t_{1}\right)-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{x}\left(x,t\right)dt\right\}dx.}$

Мы предполагаем, что это правильно, и что мы можем изменить порядок интеграции. Также помните, что поток нормален к единице площади ячейки. Теперь, поскольку в одном измерении , мы можем применить теорему о расходимости , т. Е. И заменить объемный интеграл от расходимости значениями, вычисленными на поверхности ячейки (краях и ) конечного объема следующим образом:${\displaystyle f\ }$${\displaystyle f_{x}\triangleq \nabla \cdot f}$${\displaystyle \oint _{v}\nabla \cdot fdv=\oint _{S}f\,dS}$${\displaystyle f(x)\ }$${\displaystyle x_{i-{\frac {1}{2}}}\ }$${\displaystyle x_{i+{\frac {1}{2}}}\ }$

${\displaystyle \quad (6)\qquad \qquad {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\bar {\rho }}_{i}\left(t_{1}\right)-{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left(\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{i+{\frac {1}{2}}}dt-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{i-{\frac {1}{2}}}dt\right).}$

где .${\displaystyle f_{i\pm {\frac {1}{2}}}=f\left(x_{i\pm {\frac {1}{2}}},t\right)}$

Следовательно, мы можем вывести полудискретную численную схему для указанной выше задачи с центрами ячеек, индексированными как , и с потоками на краях ячеек, индексированными как , путем дифференцирования (6) по времени, чтобы получить${\displaystyle i\ }$${\displaystyle i\pm {\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \quad (7)\qquad \qquad {\frac {d{\bar {\rho }}_{i}}{dt}}+{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left[f_{i+{\frac {1}{2}}}-f_{i-{\frac {1}{2}}}\right]=0,}$

где значения для краевых потоков могут быть восстановлены путем интерполяции или экстраполяции средних значений ячеек. Уравнение (7) точно для средних значений объема; т.е. при его выводе не делалось никаких приближений.${\displaystyle f_{i\pm {\frac {1}{2}}}}$

Этот метод также можно применить к 2D- ситуации, рассматривая северную и южную грани, а также восточную и западную грани вокруг узла.

Общий закон сохранения [ править ]

Мы также можем рассмотреть общую проблему закона сохранения , представленную следующим уравнением в частных производных :

${\displaystyle \quad (8)\qquad \qquad {{\partial {\mathbf {u} }} \over {\partial t}}+\nabla \cdot {\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)={\mathbf {0} }.}$

Здесь представляет вектор состояний и соответствующий тензор потока . Мы снова можем подразделить пространственную область на конечные объемы или ячейки. Для конкретной ячейки мы берем интеграл объема по общему объему ячейки , что дает${\displaystyle {\mathbf {u} }\ }$${\displaystyle \mathbf {f} \ }$${\displaystyle i\ }$${\displaystyle v_{i}\ }$

${\displaystyle \quad (9)\qquad \qquad \int _{v_{i}}{{\partial {\mathbf {u} }} \over {\partial t}}\,dv+\int _{v_{i}}\nabla \cdot {\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\,dv={\mathbf {0} }.}$

Интегрируя первый член, чтобы получить среднее значение объема, и применяя теорему о расходимости ко второму, получаем

${\displaystyle \quad (10)\qquad \qquad v_{i}{{d{\mathbf {\bar {u}} }_{i}} \over {dt}}+\oint _{S_{i}}{\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\cdot {\mathbf {n} }\ dS={\mathbf {0} },}$

где представляет собой общую площадь поверхности ячейки и представляет собой единичный вектор, нормальный к поверхности и направленный наружу. Итак, наконец, мы можем представить общий результат, эквивалентный (8), т.е.${\displaystyle S_{i}\ }$${\displaystyle {\mathbf {n} }}$

${\displaystyle \quad (11)\qquad \qquad {{d{\mathbf {\bar {u}} }_{i}} \over {dt}}+{{1} \over {v_{i}}}\oint _{S_{i}}{\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\cdot {\mathbf {n} }\ dS={\mathbf {0} }.}$

Опять же, значения для граничных потоков могут быть восстановлены путем интерполяции или экстраполяции средних значений ячеек. Фактическая численная схема будет зависеть от геометрии задачи и построения сетки. Реконструкция MUSCL часто используется в схемах с высоким разрешением, когда в растворе присутствуют толчки или неоднородности .

Схемы конечного объема консервативны, поскольку средние значения ячеек меняются из-за краевых потоков. Другими словами, потеря одной клетки - это прибыль другой клетки !

См. Также [ править ]

• Метод конечных элементов
• Ограничитель потока
• Схема Годунова
• Теорема Годунова
• Схема высокого разрешения
• KIVA (программное обеспечение)
• Модель общей циркуляции Массачусетского технологического института
• Схема MUSCL
• Сергей К. Годунов
• Уменьшение общей вариации
• Метод конечных объемов для нестационарного потока

Дальнейшее чтение [ править ]

• Eymard, R. Gallouët, TR, Herbin, R. (2000) Справочник по методу конечных объемов по численному анализу, Vol. VII, 2000, с. 713–1020. Редакторы: П. Г. Чиарлет и Дж. Л. Лайонс.
• Хирш, К. (1990), Численный расчет внутренних и внешних потоков, Том 2: Вычислительные методы для невязких и вязких потоков , Wiley.
• Лэйни, Калберт Б. (1998), Вычислительная газовая динамика , Cambridge University Press.
• Левек, Рэндалл (1990), Численные методы для законов сохранения , Серия лекций ETH по математике, Birkhauser-Verlag.
• Левек, Рэндалл (2002), Методы конечных объемов для гиперболических задач , Cambridge University Press.
• Патанкар, Сухас В. (1980), Численный перенос тепла и поток жидкости , полушарие.
• Таннехилл, Джон К. и др. (1997), Вычислительная механика жидкости и теплопередача , 2-е изд., Тейлор и Фрэнсис.
• Торо, EF (1999), Решатели Римана и численные методы для гидродинамики , Springer-Verlag.
• Весселинг, Питер (2001), Принципы вычислительной гидродинамики , Springer-Verlag.

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Методы конечных объемов Р. Эймара, Т. Галлуэ и Р. Хербина , обновление статьи, опубликованной в Handbook of Numerical Analysis, 2000
• Рюбенкёниг, Оливер. «Метод конечных объемов (FVM) - Введение» . Архивировано из оригинала на 2009-10-02. Cite journal requires |journal= (help), доступный на условиях GFDL .
• FiPy: решатель конечных объемов PDE с использованием Python из NIST.
• CLAWPACK : программный пакет, предназначенный для вычисления численных решений гиперболических уравнений в частных производных с использованием подхода распространения волн.