Дифференциальный оператор

Гармоническая функция, заданная на кольце . Гармонические функции являются именно теми функциями , которые лежат в ядре этого оператора Лапласа , является важным дифференциальным оператором.

В математике , А дифференциальный оператор является оператором определяется как функция от дифференцирования оператора. Полезно, в первую очередь, с точки зрения обозначений, рассматривать дифференцирование как абстрактную операцию, которая принимает функцию и возвращает другую функцию (в стиле функций высшего порядка в информатике ).

В этой статье рассматриваются в основном линейные операторы, которые являются наиболее распространенным типом. Однако существуют и нелинейные дифференциальные операторы, такие как производная Шварца .

Определение [ править ]

Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, добавив к нему . ( Ноябрь 2014 г. )

Предположим , что существует отображение из функционального пространства в другую функцию пространства и функции , так что есть образ , т.е.,　. Дифференциальный оператор представлен в виде линейной комбинации, конечно , порожденный и его производные , содержащие более высокую степень , такие как${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {1}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}_{2}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle u\in {\mathcal {F}}_{1}}$${\displaystyle f=A(u)}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle P(x,D)=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }\ ,}$

где множество неотрицательных целых чисел, , называется мультииндекс , называется длиной, являются функциями на некоторой открытой области в п - мерном пространстве и . Производные выше , является одним как функции, а иногда и распределения или гиперфункции и иногда, .${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})}$${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$${\displaystyle a_{\alpha }(x)}$${\displaystyle D^{\alpha }=D_{1}^{\alpha _{1}}D_{2}^{\alpha _{2}}\cdots D_{n}^{\alpha _{n}}}$${\textstyle D_{j}=-i{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$${\textstyle D_{j}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$

Обозначения [ править ]

Самый распространенный дифференциальный оператор - это взятие производной . Общие обозначения для взятия первой производной по переменной x включают:

${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}}$, , И .${\displaystyle D}$${\displaystyle D_{x},}$${\displaystyle \partial _{x}}$

При взятии производных более высокого порядка n оператор можно также записать:

${\displaystyle {\mathrm {d} ^{n} \over \mathrm {d} x^{n}}}$, , , Или .${\displaystyle D^{n}}$${\displaystyle D_{x}^{n}}$${\displaystyle \partial _{x}^{n}}$

Производная функции f от аргумента x иногда задается одним из следующих способов:

${\displaystyle [f(x)]'\,\!}$

${\displaystyle f'(x).\,\!}$

В D использование нотации и создание зачисляется на Оливера Хевисайда , который рассматривал дифференциальные операторы вида

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}}$

в своем исследовании дифференциальных уравнений .

Одним из наиболее часто используемых дифференциальных операторов является оператор Лапласа , определяемый формулой

${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{k}^{2}}}.}$

Другой дифференциальный оператор - это оператор Θ или тета-оператор , определенный в ^[1]

${\displaystyle \Theta =z{d \over dz}.}$

Это иногда также называют оператором гомогенность , потому что его собственные функции являются одночленов в г :

${\displaystyle \Theta (z^{k})=kz^{k},\quad k=0,1,2,\dots }$

В n переменных оператор однородности имеет вид

${\displaystyle \Theta =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}.}$

Как и в случае одной переменной, собственные подпространства of - это пространства однородных многочленов .

В письменной форме, следуя общепринятому математическому соглашению, аргумент дифференциального оператора обычно помещается справа от самого оператора. Иногда используется альтернативное обозначение: результат применения оператора к функции в левой части оператора и в правой части оператора, а также разница, полученная при применении дифференциального оператора к функциям с обеих сторон, обозначаются стрелками следующим образом:

${\displaystyle f{\overleftarrow {\partial _{x}}}g=g\cdot \partial _{x}f}$

${\displaystyle f{\overrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g}$

${\displaystyle f{\overleftrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g-g\cdot \partial _{x}f.}$

Такое обозначение двунаправленной стрелки часто используется для описания вероятностного тока квантовой механики.

Дель [ править ]

Дифференциальный оператор del, также называемый оператором набла , является важным векторным дифференциальным оператором. Он часто появляется в физике в таких местах, как дифференциальная форма уравнений Максвелла . В трехмерных декартовых координатах del определяется:

${\displaystyle \nabla =\mathbf {\hat {x}} {\partial \over \partial x}+\mathbf {\hat {y}} {\partial \over \partial y}+\mathbf {\hat {z}} {\partial \over \partial z}.}$

Del определяет градиент и используется для вычисления изгиба , дивергенции и лапласиана различных объектов.

Сопутствующий оператору [ править ]

Для линейного дифференциального оператора T

${\displaystyle Tu=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}u}$

сопряженный этого оператора определяется как оператор такой , что${\displaystyle T^{*}}$

${\displaystyle \langle Tu,v\rangle =\langle u,T^{*}v\rangle }$

где обозначение используется для скалярного произведения или внутреннего произведения . Следовательно, это определение зависит от определения скалярного произведения.${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Формальное сопряжение по одной переменной [ править ]

В функциональном пространстве функций, интегрируемых с квадратом на вещественном интервале ( a , b ) , скалярное произведение определяется как

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}{\overline {f(x)}}\,g(x)\,dx,}$

где прямая над f ( x ) обозначает комплексное сопряжение f ( x ). Если, кроме того, добавить условие, что f или g обращается в нуль для и , можно также определить сопряженный к T с помощью${\displaystyle x\to a}$${\displaystyle x\to b}$

${\displaystyle T^{*}u=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}D^{k}\left[{\overline {a_{k}(x)}}u\right].}$

Эта формула не зависит явно от определения скалярного произведения. Поэтому иногда его выбирают как определение сопряженного оператора. Когда определяется в соответствии с этой формулой, он называется формально сопряженный с Т .${\displaystyle T^{*}}$

(Формально) самосопряженный оператор - это оператор, равный своему собственному (формальному) сопряженному.

Несколько переменных [ править ]

Если Ω есть область в R ^п , и Р дифференциальный оператор на Q, то сопряженный Р определен в L 2 (Ω) по двойственности в аналогичным образом:

${\displaystyle \langle f,P^{*}g\rangle _{L^{2}(\Omega )}=\langle Pf,g\rangle _{L^{2}(\Omega )}}$

для всех гладких L ² функций F , г . Так как гладкие функции плотны в L ² , это определяет присоединенные на плотном подмножестве L ² : P ^* является плотно определенный оператор .

Пример [ править ]

Оператор Штурма – Лиувилля - хорошо известный пример формального самосопряженного оператора. Этот линейный дифференциальный оператор второго порядка L можно записать в виде

${\displaystyle Lu=-(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p)D^{2}u+(-p')Du+(q)u.\;\!}$

Это свойство можно доказать, используя формальное сопряженное определение выше.

${\displaystyle {\begin{aligned}L^{*}u&{}=(-1)^{2}D^{2}[(-p)u]+(-1)^{1}D[(-p')u]+(-1)^{0}(qu)\\&{}=-D^{2}(pu)+D(p'u)+qu\\&{}=-(pu)''+(p'u)'+qu\\&{}=-p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu\\&{}=-p'u'-pu''+qu\\&{}=-(pu')'+qu\\&{}=Lu\end{aligned}}}$

Этот оператор является центральным в теории Штурма – Лиувилля, в которой рассматриваются собственные функции (аналоги собственных векторов ) этого оператора.

Свойства дифференциальных операторов [ править ]

Дифференцирование линейное , т. Е.

${\displaystyle D(f+g)=(Df)+(Dg)}$

${\displaystyle D(af)=a(Df)}$

где f и g - функции, а a - постоянная.

Любой многочлен в D с коэффициентами функции также дифференциальный оператор. Мы также можем составлять дифференциальные операторы по правилу

${\displaystyle (D_{1}\circ D_{2})(f)=D_{1}(D_{2}(f)).}$

В этом случае требуется некоторая осторожность: во-первых, любые коэффициенты функции в операторе D ₂ должны быть дифференцируемыми столько раз, сколько требуется для применения D ₁ . Чтобы получить кольцо таких операторов, мы должны предполагать производные всех порядков используемых коэффициентов. Во-вторых, это кольцо не будет коммутативным : оператор gD в целом не то же самое, что Dg . Фактически, мы имеем, например, базовое соотношение в квантовой механике :

${\displaystyle Dx-xD=1.}$

Подкольцо операторов, являющихся полиномами от D с постоянными коэффициентами , напротив, коммутативно. Его можно охарактеризовать иначе: он состоит из трансляционно-инвариантных операторов.

Дифференциальные операторы также подчиняются теореме о сдвиге .

Несколько переменных [ править ]

Те же конструкции могут быть выполнены с частными производными , дифференцирование по различным переменным, приводящее к операторам, которые коммутируют (см. Симметрию вторых производных ).

Кольцо полиномиальных дифференциальных операторов [ править ]

Кольцо одномерных полиномиальных дифференциальных операторов [ править ]

Если R представляет собой кольцо, пусть будет некоммутативное кольцо многочленов над R в переменной D и X, и я двусторонний идеал , порожденный DX-XD-1, то кольцо одномерных полиномиальных дифференциальных операторов над R является кольцо частного . Это некоммутативное простое кольцо . Каждый элемент уникальным образом можно записать как R-линейную комбинацию одночленов вида . Он поддерживает аналог евклидова деления многочленов .${\displaystyle R\langle D,X\rangle }$${\displaystyle R\langle D,X\rangle /I}$${\displaystyle X^{a}D^{b}\mod {I}}$

Дифференциальные модули над (для стандартного вывода) можно отождествить с модулями над .${\displaystyle R[X]}$${\displaystyle R\langle D,X\rangle /I}$

Кольцо многомерных полиномиальных дифференциальных операторов [ править ]

Если R представляет собой кольцо, пусть будет некоммутативное кольцо многочленов над R в переменных , а я двусторонний идеал , порожденный элементами ${\displaystyle R\langle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}\rangle }$${\displaystyle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}}$

${\displaystyle (D_{i}X_{j}-X_{j}D_{i})-\delta _{i,j},\ \ \ D_{i}D_{j}-D_{j}D_{i},\ \ \ X_{i}X_{j}-X_{j}X_{i}}$

для всех, где есть символ Кронекера , то кольцо многомерных полиномиальных дифференциальных операторов над R является фактор-кольцом .${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle R\langle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}\rangle /I}$

Это некоммутативное простое кольцо . Каждый элемент уникальным образом можно записать как R-линейную комбинацию одночленов вида .${\displaystyle X_{1}^{a_{1}}\ldots X_{n}^{a_{n}}D_{1}^{b_{1}}\ldots D_{n}^{b_{n}}}$

Координатно-независимое описание [ править ]

В дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии часто бывает удобно иметь координатно- независимое описание дифференциальных операторов между двумя векторными расслоениями . Пусть E и F два векторных расслоения над дифференцируемой многообразия M . R - линейное отображение из секций Р  : Г ( Е ) → Г ( Г ) называется быть к - го порядка линейного дифференциального оператора , если он пропускается через струи расслоения J ^к ( Е). Другими словами, существует линейное отображение векторных расслоений

${\displaystyle i_{P}:J^{k}(E)\rightarrow F\,}$

такой, что

${\displaystyle P=i_{P}\circ j^{k}}$

где j ^k : Γ ( E ) → Γ ( J ^k ( E )) - продолжение, которое сопоставляет любому сечению E его k -струю .

Это просто означает, что для данного участка s матрицы E значение P ( s ) в точке x  ∈  M полностью определяется бесконечно малым поведением s порядка k по x . В частности , это означает , что Р ( ы ) ( х ) определяется ростком из й в х , которая выражается тем, что дифференциальные операторы являются локальными. Основополагающим результатом является теорема Петре. показывая, что верно и обратное: любой (линейный) локальный оператор является дифференциальным.

Отношение к коммутативной алгебре [ править ]

Эквивалентное, но чисто алгебраическое описание линейных дифференциальных операторов выглядит следующим образом: R -линейное отображение P является линейным дифференциальным оператором k- го порядка, если для любых k  + 1 гладких функций имеем${\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{k}\in C^{\infty }(M)}$

${\displaystyle [f_{k},[f_{k-1},[\cdots [f_{0},P]\cdots ]]=0.}$

Здесь скобка определяется как коммутатор${\displaystyle [f,P]:\Gamma (E)\rightarrow \Gamma (F)}$

${\displaystyle [f,P](s)=P(f\cdot s)-f\cdot P(s).\,}$

Эта характеризация линейных дифференциальных операторов показывает, что они являются частными отображениями между модулями над коммутативной алгеброй , позволяя рассматривать концепцию как часть коммутативной алгебры .

Примеры [ править ]

• В приложениях к физике такие операторы, как оператор Лапласа, играют важную роль в построении и решении уравнений в частных производных .
• В дифференциальной топологии на внешние производные и производная Ли операторы имеют внутреннее значение.
• В абстрактной алгебре понятие вывода позволяет обобщать дифференциальные операторы, которые не требуют использования исчисления. Часто такие обобщения используются в алгебраической геометрии и коммутативной алгебре . См. Также джет (математика) .
• В развитии голоморфных функций одного комплексного переменного г = х + г у , иногда сложной функцией считается функцией двух действительных переменных х и у . Используются производные Виртингера , которые являются операторами в частных производных:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ ,\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ .}$

Этот подход также используется для изучения функций нескольких сложных переменных и функций двигательной переменной .

История [ править ]

Концептуальный этап написания дифференциального оператора как чего-то отдельного приписывается Луи Франсуа Антуану Арбогасту в 1800 году ^[2].

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• СМИ, связанные с дифференциальными операторами, на Викискладе?
• "Дифференциальный оператор" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]