Характеристический импеданс

Характеристический импеданс или волновое сопротивление (обычно записываются Z ₀ ) единая линия передачи представляет собой отношение амплитуд напряжения и ток из одной волны , распространяющейся вдоль линии; то есть волна, бегущая в одном направлении, при отсутствии отражений в другом направлении. В качестве альтернативы, что эквивалентно, его можно определить как входное сопротивление линии передачи, когда ее длина бесконечна. Характеристический импеданс определяется геометрией и материалами линии передачи и для однородной линии не зависит от ее длины. С.И.единицей характеристического импеданса является ом .

Характеристический импеданс линии передачи без потерь является чисто реальным , без реактивной составляющей. Энергия, подаваемая источником на одном конце такой линии, передается по линии, не рассеиваясь в самой линии. Линия передачи конечной длины (без потерь или с потерями), которая заканчивается на одном конце с импедансом, равным характеристическому импедансу, кажется источнику как бесконечно длинная линия передачи и не производит отражений.

Модель линии передачи [ править ]

Характеристический импеданс бесконечной линии передачи на заданной угловой частоте - это отношение напряжения и тока чистой синусоидальной волны той же частоты, распространяющейся по линии. Это определение распространяется на DC, позволяя${\ Displaystyle Z (\ omega)}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega}$имеют тенденцию к 0 и сохраняются для конечных линий передачи до тех пор, пока волна не достигнет конца линии, подобно тому, как океанская волна ощущает дно, приближаясь к берегу, более длинные волны ощущаются глубже и сначала. Как правило, волна отражается обратно по линии в противоположном направлении. Когда отраженная волна достигает источника, она снова отражается, добавляя к передаваемой волне и изменяя соотношение напряжения и тока на входе, так что линия больше не будет иметь характеристическое сопротивление. Это новое соотношение, включающее отраженную энергию, называется входным импедансом .

Входной импеданс бесконечной линии равен характеристическому импедансу, поскольку переданная волна никогда не отражается обратно от конца. Эквивалентно: характеристический импеданс линии - это тот импеданс, который при ограничении линии произвольной длины на выходе дает входное сопротивление равной величины . Это происходит потому, что на линии, заканчивающейся на ее собственном характеристическом сопротивлении, нет отражения.

Применяя модель линии передачи, основанную на уравнениях телеграфа, как показано ниже, ^{[1] [2],} общее выражение для характеристического импеданса линии передачи выглядит следующим образом:

${\ displaystyle Z _ {\ text {o}} = {\ sqrt {{\ frac {R + j \ omega L} {G + j \ omega C}} \}}}$

куда

${\ displaystyle R}$это сопротивление на единицу длины, принимая во внимание два проводника , чтобы быть в серии ,

${\ displaystyle L}$является индуктивность на единицу длины,

${\ displaystyle G}$- проводимость диэлектрика на единицу длины,

${\ displaystyle C}$- емкость на единицу длины,

${\ displaystyle j}$- мнимая единица , а

${\ displaystyle \ omega}$- угловая частота .

Всплеск энергии на конечной линии передачи будет иметь импеданс до возвращения любых отражений; следовательно, импульсное сопротивление - это альтернативное название характеристического импеданса . Хотя предполагается бесконечная линия, поскольку все величины указаны на единицу длины, части всех единиц «на длину» компенсируются, и характеристический импеданс не зависит от длины линии передачи.${\ displaystyle Z _ {\ text {o}}}$

Векторы напряжения и тока на линии связаны характеристическим импедансом как:

${\ displaystyle {\ frac {V _ {(+)}} {I _ {(+)}}} = Z _ {\ text {o}} = - {\ frac {V _ {(-)}} {I _ {(- )}}}}$

где нижние индексы (+) и (-) обозначают отдельные постоянные для волн, идущих вперед (+) и назад (-).

Вывод [ править ]

Использование уравнения телеграфа [ править ]

Дифференциальные уравнения, описывающие зависимость напряжения и тока от времени и пространства, являются линейными, так что линейная комбинация решений снова является решением. Это означает, что мы можем рассматривать решения с временной зависимостью - это функционально эквивалентно решению для коэффициентов Фурье для амплитуд напряжения и тока при некоторой фиксированной угловой частоте . Это приводит к факторизации временной зависимости, оставляя обычное дифференциальное уравнение для коэффициентов, которые будут векторами , зависящими только от положения (пространства). Более того, параметры можно обобщить, чтобы они зависели от частоты. ^[1]${\ displaystyle e ^ {j \ omega t}}$${\ displaystyle \ omega}$

Позволять

${\displaystyle V(x,t)\equiv V(x)\ e^{+j\omega t}}$

и

${\displaystyle I(x,t)\equiv I(x)\ e^{+j\omega t}}$

Возьмите положительное направление для и в петле по часовой стрелке.${\displaystyle V}$${\displaystyle I}$

Мы находим, что

${\displaystyle {\text{d}}V=-(R+j\omega L)\ I\ dx=-Z\ I\ {\text{d}}x}$

и

${\displaystyle {\text{d}}I=-(G+j\omega C)\ V\ {\text{d}}x=-Y\ V\ {\text{d}}x}$

или же

${\displaystyle {\frac {{\text{d}}V}{{\text{d}}x}}=-Z\ I\qquad }$ и ${\displaystyle \qquad {\frac {{\text{d}}I}{{\text{d}}x}}=-Y\ V}$

куда

${\displaystyle Z\equiv R+j\omega L\qquad }$и .${\displaystyle \qquad Y\equiv G+j\omega C\ }$

Эти два уравнения первого порядка легко развязать вторым дифференцированием, что дает следующие результаты:

${\displaystyle {\frac {{\text{d}}^{2}V}{{\text{d}}x^{2}}}=ZY\ V}$

и

${\displaystyle {\frac {{\text{d}}^{2}I}{{\text{d}}x^{2}}}=ZY\ I}$

Обратите внимание, что оба и удовлетворяют одному и тому же уравнению.${\displaystyle V}$${\displaystyle I}$

Поскольку не зависит от и , его можно представить одной константой . То есть:${\displaystyle ZY}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle -k^{2}}$

${\displaystyle -k^{2}\equiv Z\ Y\ }$

так

${\displaystyle j\ k=\pm {\sqrt {Z\ Y\ }}}$

Знак минус включен для дальнейшего удобства. Из-за этого мы можем записать приведенное выше уравнение как

${\displaystyle k=\pm \omega {\sqrt {\left(L-jR/\omega \right)\left(C-jG/\omega \right)\ }}=\pm \omega {\sqrt {L\ C\ }}{\sqrt {\left(1-j{\frac {R}{\omega L}}\right)\left(1-j{\frac {G}{\omega C}}\right)\ }}}$

что верно для всех линий передачи. А для типичных линий передачи, которые построены так, чтобы потери сопротивления проводов были небольшими, а проводимость утечки изоляции была низкой, и, кроме того, при высоких частотах индуктивное реактивное сопротивление и емкостная проводимость будут большими, поэтому константа очень близка к реальной. номер:${\displaystyle R}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \omega L}$${\displaystyle \omega C}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle k\approx \pm \omega {\sqrt {LC\ }}.}$

Кроме того, с этим определением зависимая от позиции часть будет отображаться как в экспоненциальных решениях уравнения, аналогично зависящей от времени части , поэтому решение читается как${\displaystyle k}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \ \pm j\ k\ x\ }$${\displaystyle \ +j\ \omega \ t\ }$

${\displaystyle V(x)=v_{(+)}\ e^{-jkx}+v_{(-)}e^{+jkx}}$

где и - константы интегрирования для движущихся вперед (+) и назад (-) волн, как в предыдущем разделе. Когда мы рекомбинируем зависящую от времени часть, мы получаем полное решение:${\displaystyle v_{(+)}}$${\displaystyle v_{(-)}}$

${\displaystyle V(x,t)\quad =\quad V(x)\ e^{+j\omega t}\quad =\quad v_{(+)}\ e^{-jkx+j\omega t}+v_{(-)}e^{+jkx+j\omega t}}$

Поскольку уравнение для имеет ту же форму, оно имеет решение того же вида:${\displaystyle I}$

${\displaystyle I(x)=i_{(+)}\ e^{-jkx}+i_{(-)}\ e^{+jkx}}$

где и снова постоянные интегрирования .${\displaystyle i_{(+)}}$${\displaystyle i_{(-)}}$

Приведенные выше уравнения являются волновым решением для и . Чтобы быть совместимыми, они должны удовлетворять исходным дифференциальным уравнениям, одним из которых является${\displaystyle V}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle {\frac {{\text{d}}V}{{\text{d}}x}}=-Z\ I}$

Подставляя решения для и в приведенное выше уравнение, мы получаем${\displaystyle V}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left[v_{(+)}\ e^{-jkx}+v_{(-)}\ e^{+jkx}\right]=-(R+j\omega L)\left[\ i_{(+)}\ e^{-jkx}+i_{(-)}\ e^{+jkx}\right]}$

или же

${\displaystyle -jk\ v_{(+)}\ e^{-jkx}+jk\ v_{(-)}\ e^{+jkx}=-(R+j\omega L)\ i_{(+)}\ e^{-jkx}-(R+j\omega L)\ i_{(-)}\ e^{+jkx}}$

Выделяя различные степени и комбинируя идентичные мощности, мы видим, что для того, чтобы вышеуказанное уравнение выполнялось для всех возможных значений, мы должны иметь:${\displaystyle e}$${\displaystyle x}$

Для коэффициентов ${\displaystyle e^{-jkx}\quad {\text{ : }}\quad -j\ k\ v_{(+)}=-(R+j\omega L)\ i_{(+)}}$

Для коэффициентов ${\displaystyle e^{+jkx}\quad {\text{ : }}\quad +j\ k\ v_{(-)}=-(R+j\omega L)\ i_{(-)}}$

С ${\displaystyle jk={\sqrt {(R+j\omega L)(G+j\omega C)\ }}}$

${\displaystyle +{\frac {v_{(+)}}{i_{(+)}}}={\frac {R+j\omega L}{jk}}={\sqrt {{\frac {R+j\omega L}{G+j\omega C}}\ }}\equiv Z_{\text{o}}}$

${\displaystyle -{\frac {v_{(-)}}{i_{(-)}}}={\frac {R+j\omega L}{jk}}={\sqrt {{\frac {R+j\omega L}{G+j\omega C}}\ }}\equiv Z_{\text{o}}}$

следовательно, для действительных решений требуется

${\displaystyle v_{(+)}=+Z_{\text{o}}\ i_{(+)}\quad {\text{ and }}\quad v_{(-)}=-Z_{\text{o}}\ i_{(-)}}$

Можно видеть, что константа , определенная в приведенных выше уравнениях, имеет размерность импеданса (отношение напряжения к току) и является функцией первичных констант линии и рабочей частоты. Это называется «характеристическим сопротивлением» линии передачи и обычно обозначается как . ^[2]${\displaystyle Z_{\text{o}}}$${\displaystyle Z_{\text{o}}}$

${\displaystyle Z_{\text{o}}\quad =\quad {\sqrt {{\frac {R+j\omega L}{G+j\omega C}}\ }}\quad =\quad {\sqrt {\ {\frac {\ L\ }{C}}\ }}{\sqrt {{\frac {\ 1-j\left({\frac {R}{\omega L}}\right)\ }{\ 1-j\left({\frac {G}{\omega C}}\right)\ }}\ }}}$

для любой линии передачи, так и для хорошо функционирующих линий, с и так очень мало, или очень высоким, или все выше, мы получаем${\displaystyle R}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle Z_{\text{o}}\approx {\sqrt {{\frac {L}{C}}\ }}}$

следовательно, характеристический импеданс обычно очень близок к действительному числу (см. также условие Хевисайда ).

Альтернативный подход [ править ]

Мы следуем подходу, опубликованному Тимом Хили. ^[3] Линия моделируется серией дифференциальных сегментов с дифференциальной последовательностью и шунтирующими элементами (как показано на рисунке выше). Характеристический импеданс определяется как отношение входного напряжения к входному току полубесконечной длины линии. Мы называем это импедансом . То есть сопротивление, смотрящее на линию слева, равно . Но, конечно, если мы спустимся по линии на одну дифференциальную длину , сопротивление в линии останется . Следовательно, мы можем сказать, что импеданс, смотрящий на крайнюю левую линию, равен параллельно с и , которые все последовательно с и . Следовательно:${\displaystyle (R{\text{d}}x,L{\text{d}}x)}$${\displaystyle (C{\text{d}}x,G{\text{d}}x)}$${\displaystyle Z_{\text{o}}}$${\displaystyle Z_{\text{o}}}$${\displaystyle {\text{d}}x}$${\displaystyle Z_{\text{o}}}$${\displaystyle Z_{\text{o}}}$${\displaystyle C{\text{d}}x}$${\displaystyle G{\text{d}}x}$${\displaystyle R{\text{d}}x}$${\displaystyle L{\text{d}}x}$

${\displaystyle Z_{\text{o}}=(R+j\omega L){\text{d}}x+{\frac {1}{\ (G+j\omega C){\text{d}}x+{\frac {1}{Z_{\text{o}}}}\ }}}$

${\displaystyle Z_{\text{o}}=(R+j\omega L){\text{d}}x+{\frac {\ Z_{\text{o}}\ }{Z_{\text{o}}(G+j\omega C){\text{d}}x+1\ }}}$

${\displaystyle Z_{\text{o}}+Z_{\text{o}}^{2}(G+j\omega C){\text{d}}x=(R+j\omega L){\text{d}}x+Z_{\text{o}}(G+j\omega C){\text{d}}x(R+j\omega L){\text{d}}x+Z_{\text{o}}}$

В условия отмены, в результате чего${\displaystyle Z_{\text{o}}}$

${\displaystyle Z_{\text{o}}^{2}(G+j\omega C){\text{d}}x=(R+j\omega L){\text{d}}x+Z_{\text{o}}(G+j\omega C)(R+j\omega L)({\text{d}}x)^{2}}$

Члены первой степени - это наивысший оставшийся порядок. По сравнению с , член с коэффициентом может быть отброшен, поскольку он бесконечно мал по сравнению с, что приводит к:${\displaystyle {\text{d}}x}$${\displaystyle {\text{d}}x}$${\displaystyle ({\text{d}}x)^{2}}$

${\displaystyle Z_{\text{o}}^{2}(G+j\omega C){\text{d}}x=(R+j\omega L){\text{d}}x}$

и поэтому

${\displaystyle Z_{\text{o}}=\pm {\sqrt {{\frac {R+j\omega L}{G+j\omega C}}\ }}}$

Изменение знака квадратного корня на противоположное приводит к изменению направления тока.

Линия без потерь [ править ]

Анализ линий без потерь обеспечивает точное приближение для реальных линий передачи, что упрощает математику, используемую при моделировании линий передачи. Линия без потерь определяется как линия передачи, которая не имеет сопротивления линии и диэлектрических потерь . Это означало бы, что проводники действуют как идеальные проводники, а диэлектрик действует как идеальный диэлектрик. Для линии без потерь R и G равны нулю, поэтому уравнение для характеристического импеданса, полученное выше, сводится к:

${\displaystyle Z_{\text{o}}={\sqrt {{\frac {L}{C}}~}}~.}$

В частности, больше не зависит от частоты. Вышеупомянутое выражение полностью реальное, поскольку мнимый член j был сокращен, что означает, что это чисто резистивный. Для линии без потерь, оканчивающейся на , нет потери тока через линию, и поэтому напряжение остается неизменным по всей линии. Модель линии без потерь является полезным приближением для многих практических случаев, таких как линии передачи с низкими потерями и линии передачи с высокой частотой. Для обоих этих случаев R и G намного меньше, чем ωL и ωC , соответственно, и поэтому ими можно пренебречь.${\displaystyle Z_{\text{o}}}$${\displaystyle Z_{\text{o}}}$${\displaystyle Z_{\text{o}}}$

Решения уравнений передачи по длинной линии включают падающую и отраженную части напряжения и тока:

Когда линия заканчивается с ее характеристическим импедансом, отраженные части этих уравнений сводятся к нулю, и решения для напряжения и тока вдоль линии передачи полностью падают. Без отражения волны нагрузка, передаваемая линией, эффективно сливается с линией, создавая впечатление бесконечной линии. В линии без потерь это означает, что напряжение и ток остаются одинаковыми по всей линии передачи. Их величины остаются постоянными по длине линии и поворачиваются только на фазовый угол.

Импедансная нагрузка [ править ]

При передаче электроэнергии характеристический импеданс линии передачи выражается через импульсную нагрузку импеданса ( SIL ) или естественную нагрузку, которая представляет собой нагрузку мощности, при которой реактивная мощность не производится и не поглощается:

${\displaystyle {\mathit {SIL}}={\frac {{V_{\mathrm {LL} }}^{2}}{Z_{0}}}}$

где - линейное напряжение в вольтах .${\displaystyle V_{\mathrm {LL} }}$

При нагрузке ниже его SIL линия подает в систему реактивную мощность, которая имеет тенденцию повышать системные напряжения. Выше него линия поглощает реактивную мощность, стремясь снизить напряжение. Эффект Ферранти описывает усиление напряжения по направлению к удаленному концу очень слабо нагруженной (или открытой) линии передачи. Подземные кабели обычно имеют очень низкое характеристическое сопротивление, что приводит к SIL, который обычно превышает тепловой предел кабеля. Следовательно, кабель почти всегда является источником реактивной мощности.

Практические примеры [ править ]

Стандарт	Импеданс (Ом)	Толерантность
Ethernet категории 5	100	± 5 Ом [4]
USB	90	± 15% [5]
HDMI	95	± 15% [6]
IEEE 1394	108	+ 3% −2%[7]
VGA	75	± 5% [8]
DisplayPort	100	± 20% [6]
DVI	95	± 15% [6]
PCIe	85	± 15% [6]

Характеристический импеданс коаксиальных кабелей ( коаксиальных кабелей ) обычно выбирается равным 50 Ом для ВЧ- и СВЧ- приложений. Коаксиальный кабель для видеоприложений обычно составляет 75 Ом из- за меньших потерь.

См. Также [ править ]

• Обходной закон Ампера
• Характеристический акустический импеданс
• Электрический импеданс  - сопротивление цепи току при приложении напряжения.
• Уравнения Максвелла  - уравнения, описывающие классический электромагнетизм
• Линия передачи  - специализированный кабель или другая конструкция
• Волновое сопротивление
• Космическая ткань  - гипотетическая плоскость с удельным сопротивлением 376,7 Ом на квадрат.

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

• Коварство, AE (1977). Электроэнергетические системы . ISBN 0-08-021729-X.
• Позар, DM (февраль 2004 г.). Микроволновая техника (3-е изд.). ISBN 0-471-44878-8.
• Улаби, FT (2004). Основы прикладной электромагнетизма (СМИ). Прентис Холл. ISBN 0-13-185089-X.

Внешние ссылки [ править ]

 Эта статья включает  материалы, являющиеся общественным достоянием, из документа Управления общих служб : «Федеральный стандарт 1037C» .

• IEEE: Дифференциальный импеданс ... наконец-то стало проще (2000)