Отражения сигналов на проводящих линиях

Времени рефлектометр ; инструмент, используемый для определения положения разломов на линиях по времени, необходимому для отраженной волны, чтобы вернуться из неоднородности.

Сигнал, распространяющийся по линии электропередачи, будет частично или полностью отражаться обратно в противоположном направлении, когда движущийся сигнал встречает разрыв в характеристическом импедансе линии или если дальний конец линии не заканчивается в своей характеристике. сопротивление. Это может произойти, например, если два отрезка разнородных линий передачи соединены вместе.

Эта статья посвящена отражениям сигналов на электропроводящих линиях. Такие линии в общих чертах называют медными , и действительно, в телекоммуникациях обычно делают из меди, но используются и другие металлы, особенно алюминий в линиях электропередач. Хотя эта статья ограничивается описанием отражений на проводящих линиях, это, по сути, то же явление, что и оптические отражения в волоконно-оптических линиях и микроволновые отражения в волноводах .

Отражения вызывают несколько нежелательных эффектов, включая изменение частотных характеристик , вызывая перегрузку мощности в передатчиках и перенапряжения в линиях электропередач . Однако явление отражения также можно использовать в таких устройствах, как шлейфы и трансформаторы импеданса . Особые случаи обрыва цепи и короткого замыкания имеют особое значение для шлейфов.

Отражения вызывают образование стоячих волн на линии. И наоборот, стоячие волны указывают на наличие отражений. Существует взаимосвязь между мерами коэффициента отражения и коэффициента стоячей волны .

Конкретные случаи [ править ]

Есть несколько подходов к пониманию отражений, но связь отражений с законами сохранения особенно поучительна. Простым примером является ступенчатое напряжение (где - высота ступеньки, а - функция единичного шага со временем ), приложенное к одному концу линии без потерь, и рассмотрим, что происходит, когда линия завершается различными способами. Ступенька будет распространяться вниз по линии в соответствии с уравнением телеграфа с некоторой скоростью и падающим напряжением , в некоторой точке линии задается формулой ^[1]${\ Displaystyle V \, и (т)}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle и (т)}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle v _ {\ mathrm {i}}}$${\ displaystyle x}$

${\ Displaystyle v _ {\ mathrm {i}} = V \, и (\ kappa \, tx) \, \!}$

Падающий ток можно найти делением на характеристический импеданс,${\ Displaystyle я _ {\ mathrm {я}}}$${\ displaystyle Z_ {0}}$

${\displaystyle i_{\mathrm {i} }={\frac {v_{\mathrm {i} }}{Z_{0}}}=I\,u(\kappa \,t-x)}$

Линия разомкнутой цепи [ править ]

На падающую волну, распространяющуюся по линии, ни в коем случае не влияет обрыв цепи в конце линии. Это не может иметь никакого эффекта, пока шаг действительно не достигнет этой точки. Сигнал не может иметь никакого предвидения того, что находится в конце линии, и на него влияют только локальные характеристики линии. Однако, если линия имеет длину, шаг достигнет разомкнутой цепи в тот момент , когда ток в линии будет равен нулю (по определению разомкнутой цепи). Поскольку заряд продолжает поступать в конец линии через падающий ток, но ток не выходит из линии, тогда для сохранения электрического заряда необходимо, чтобы на конце линии был равный и противоположный ток. По сути, это действующий закон Кирхгофа.${\displaystyle \ell }$${\displaystyle t=\ell /\kappa }$в операции. Этот равный и противоположный ток является отраженным током , и поскольку${\displaystyle i_{\mathrm {r} }}$

${\displaystyle i_{\mathrm {r} }={\frac {v_{\mathrm {r} }}{Z_{0}}}}$

также должно быть отраженное напряжение, чтобы направить отраженный ток по линии. Это отраженное напряжение должно существовать по причине сохранения энергии. Источник подает энергию в линию со скоростью . Никакая из этой энергии не рассеивается в линии или ее окончании, и она должна куда-то уходить. Единственное доступное направление - назад по линии. Поскольку отраженный ток равен по величине падающему току, он также должен быть таким, чтобы${\displaystyle v_{\mathrm {r} }}$${\displaystyle v_{\mathrm {i} }i_{\mathrm {i} }}$

${\displaystyle v_{\mathrm {r} }=v_{\mathrm {i} }\,\!}$

Эти два напряжения складываются друг с другом, так что после отражения ступеньки на выходных клеммах линии появляется удвоенное падающее напряжение. По мере того, как отражение возвращается вверх по линии, отраженное напряжение продолжает добавляться к падающему напряжению, а отраженный ток продолжает вычитаться из падающего тока. После следующего интервала отраженного шага на стороне генератора, и условие удвоения напряжения и нулевого тока будет иметь место и там, и по всей длине линии. Если генератор согласован с линией с импедансом ступенчатого перехода, переходный процесс будет поглощен внутренним импедансом генератора, и дальнейших отражений не будет. ^[2]${\displaystyle t=\ell /\kappa }$${\displaystyle Z_{0}}$

Это нелогичное удвоение напряжения может стать более очевидным, если учитывать напряжения в цепи, когда линия настолько коротка, что ее можно игнорировать для целей анализа. Эквивалентную схему генератора, согласованную с нагрузкой, на которую он передает напряжение, можно представить, как на рисунке 2. То есть генератор можно представить как идеальный генератор напряжения, в два раза превышающего напряжение, которое он должен обеспечивать, и с внутренним сопротивлением. оф . ^[2]${\displaystyle Z_{0}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle Z_{0}}$

Однако, если генератор остается разомкнутой, на выходных клеммах генератора появляется напряжение, как на рисунке 3. Такая же ситуация возникает, если между генератором и разомкнутой цепью вставлена ​​очень короткая линия передачи. Если, однако, вставить более длинную линию с характеристическим сопротивлением и заметной сквозной задержкой, генератор, изначально согласованный с импедансом линии, будет иметь на выходе. Но после некоторого интервала отраженный переходный процесс вернется с конца линии с «информацией» о том, чем линия фактически завершена, и напряжение станет прежним . ^[2]${\displaystyle 2\,V}$${\displaystyle Z_{0}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle 2\,V}$

Линия короткого замыкания [ править ]

Отражение от короткозамкнутой линии можно описать аналогично отражению от разомкнутой линии. Как и в случае разомкнутой цепи, когда ток должен быть равен нулю на конце линии, в случае короткого замыкания напряжение должно быть нулевым, поскольку при коротком замыкании не может быть вольт. Опять же, вся энергия должна отражаться обратно вверх по линии, а отраженное напряжение должно быть равным падающему напряжению и противоположно ему по закону напряжения Кирхгофа :

${\displaystyle v_{\mathrm {r} }=-v_{\mathrm {i} }\,\!}$

а также

${\displaystyle i_{\mathrm {r} }=-i_{\mathrm {i} }\,\!}$

По мере того, как отражение движется обратно вверх по линии, два напряжения вычитаются и отменяются, в то время как токи складываются (отражение является двойным отрицательным - отрицательный ток, идущий в обратном направлении), двойная ситуация для случая разомкнутой цепи. ^[2]

Произвольный импеданс [ править ]

Для общего случая линии, оканчивающейся некоторым произвольным импедансом, обычно описывают сигнал как волну, бегущую по линии, и анализируют ее в частотной области . Следовательно, импеданс представлен как комплексная функция, зависящая от частоты .

Для линии, оканчивающейся собственным характеристическим сопротивлением, отражение отсутствует. По определению, завершение характеристического импеданса имеет тот же эффект, что и бесконечно длинная линия. Любой другой импеданс приведет к отражению. Величина отражения будет меньше, чем величина падающей волны, если оконечный импеданс полностью или частично является резистивным, поскольку часть энергии падающей волны будет поглощаться сопротивлением. Напряжение ( ) на оконечном сопротивлении ( ) может быть рассчитано путем замены выхода линии эквивалентным генератором (рис. 4) и определяется выражением ^[3]${\displaystyle V_{\mathrm {o} }}$${\displaystyle Z_{\mathrm {L} }}$

${\displaystyle V_{\mathrm {o} }=2\,V_{\mathrm {i} }{\frac {Z_{\mathrm {L} }}{Z_{\mathrm {0} }+Z_{\mathrm {L} }}}}$

Отражение должно быть точной суммой, необходимой для создания ,${\displaystyle V_{\mathrm {r} }}$${\displaystyle V_{\mathrm {i} }+V_{\mathrm {r} }=V_{\mathrm {o} }}$

${\displaystyle V_{\mathrm {r} }=V_{\mathrm {o} }-V_{\mathrm {i} }=2\,V_{\mathrm {i} }{\frac {Z_{\mathrm {L} }}{Z_{\mathrm {0} }+Z_{\mathrm {L} }}}-V_{\mathrm {i} }=V_{\mathrm {i} }{\frac {Z_{\mathrm {L} }-Z_{\mathrm {0} }}{Z_{\mathrm {L} }+Z_{\mathrm {0} }}}}$

Коэффициент отражения определяется как${\displaystyle {\mathit {\Gamma }}}$

${\displaystyle {\mathit {\Gamma }}={\frac {\,V_{\mathrm {r} }\,}{V_{\mathrm {i} }}}}$

и подставив в выражение для ,${\displaystyle V_{\mathrm {r} }}$

${\displaystyle {\mathit {\Gamma }}={\frac {V_{\mathrm {r} }}{V_{\mathrm {i} }}}={\frac {I_{\mathrm {r} }}{I_{\mathrm {i} }}}={\frac {Z_{\mathrm {L} }-Z_{\mathrm {0} }}{Z_{\mathrm {L} }+Z_{\mathrm {0} }}}}$

В общем , это сложная функция, но приведенное выше выражение показывает, что величина ограничена${\displaystyle {\mathit {\Gamma }}}$

${\displaystyle \left|{\mathit {\Gamma }}\,\right|\leq 1}$ когда ${\displaystyle \operatorname {Re} (Z_{\mathrm {L} }),\operatorname {Re} (Z_{0})>0}$

Физическая интерпретация этого заключается в том, что отражение не может быть больше падающей волны, когда задействованы только пассивные элементы (но см. Усилитель с отрицательным сопротивлением для примера, когда это условие не выполняется). ^[4] Для особых случаев, описанных выше,

Прекращение	${\displaystyle {\mathit {\Gamma }}\,\!}$ связь
Разомкнутая цепь	${\displaystyle {\mathit {\Gamma }}=+1\,\!}$
Короткое замыкание	${\displaystyle {\mathit {\Gamma }}=-1\,\!}$
${\displaystyle Z_{\mathrm {L} }=R_{\mathrm {L} }\,\!}$ ${\displaystyle Z_{0}=R_{0}\,\!}$	${\displaystyle \operatorname {Re} ({\mathit {\Gamma }})<1\,}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} ({\mathit {\Gamma }})=0}$

Когда оба и являются чисто резистивными, тогда они должны быть чисто реальными. В общем случае, когда является сложным, это следует интерпретировать как сдвиг фазы отраженной волны относительно падающей волны. ^[5]${\displaystyle Z_{0}}$${\displaystyle Z_{\mathrm {L} }}$${\displaystyle {\mathit {\Gamma }}}$${\displaystyle {\mathit {\Gamma }}}$

Реактивное прекращение [ править ]

Другой частный случай имеет место, когда это чисто реальный ( ) и чисто мнимый ( ), то есть это реактивное сопротивление . В таком случае,${\displaystyle Z_{0}}$${\displaystyle R_{0}}$${\displaystyle Z_{\mathrm {L} }}$${\displaystyle j\,X_{\mathrm {L} }}$

${\displaystyle {\mathit {\Gamma }}={\frac {j\,X_{\mathrm {L} }-R_{\mathrm {0} }}{j\,X_{\mathrm {L} }+R_{\mathrm {0} }}}}$

С

${\displaystyle |jX_{\mathrm {L} }-R_{\mathrm {0} }|=|jX_{\mathrm {L} }+R_{\mathrm {0} }|\,}$

тогда

${\displaystyle |{\mathit {\Gamma }}|=1\,}$

показывая, что вся падающая волна отражается, и ни одна из них не поглощается в оконечной нагрузке, как и следовало ожидать от чистого реактивного сопротивления . Однако в отражении, заданном формулой${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \theta ={\begin{cases}\pi -2\,\arctan {\frac {X_{\mathrm {L} }}{R_{\mathrm {0} }}}&{\mbox{if }}{X_{\mathrm {L} }}>0\\-\pi -2\,\arctan {\frac {X_{\mathrm {L} }}{R_{\mathrm {0} }}}&{\mbox{if }}{X_{\mathrm {L} }}<0\\\end{cases}}}$

Разрыв вдоль линии [ править ]

Разрыв или несоответствие где-то на длине линии приводит к тому, что часть падающей волны отражается, а часть передается вперед во втором участке линии, как показано на рисунке 5. Коэффициент отражения в этом случае определяется выражением

${\displaystyle {\mathit {\Gamma }}={\frac {\,Z_{02}-Z_{01}\,\,}{Z_{02}+Z_{01}}}}$

Аналогичным образом можно определить коэффициент передачи, чтобы описать часть волны , которая передается в прямом направлении:${\displaystyle T}$${\displaystyle V_{\mathrm {t} }}$

${\displaystyle T={\frac {V_{\mathrm {t} }}{V_{\mathrm {i} }}}={\frac {2\,Z_{02}}{\,Z_{02}+Z_{01}\,\,}}}$

Другой вид неоднородности возникает, когда оба участка линии имеют одинаковое характеристическое сопротивление, но на разрыве присутствует сосредоточенный элемент . Для показанного примера (рисунок 6) шунтирующего элемента с сосредоточенными параметрами,${\displaystyle Z_{\mathrm {L} }}$

${\displaystyle {\mathit {\Gamma }}={\frac {-Z_{0}}{\,Z_{0}+2\,Z_{\mathrm {L} }\,}}}$ 

${\displaystyle T={\frac {2\,Z_{\mathrm {L} }}{\,Z_{0}+2\,Z_{\mathrm {L} }\,}}}$ 

Подобные выражения могут быть разработаны для последовательного элемента или любой электрической сети, если на то пошло. ^[6]

Сети [ править ]

Отражения в более сложных сценариях, например, в сети кабелей, могут привести к появлению очень сложных и длительных сигналов на кабеле. Даже простой импульс перенапряжения, попадающий в такую ​​несложную кабельную систему, как силовая проводка в типичном частном доме, может привести к колебательным помехам, поскольку импульс отражается взад и вперед от нескольких концов цепи. Эти кольцевые волны, как они известны ^[7], сохраняются намного дольше, чем исходный импульс, и их формы волн имеют мало очевидного сходства с исходными помехами, содержащими высокочастотные компоненты в диапазоне десятков МГц. ^[8]

Стоячие волны [ править ]

Для линии передачи, несущей синусоидальные волны, фаза отраженной волны непрерывно изменяется с расстоянием относительно падающей волны, когда она движется обратно по линии. Из-за этого непрерывного изменения на линии есть определенные точки, в которых отражение будет совпадать по фазе с падающей волной, и амплитуда двух волн будет складываться. Будут и другие точки, где две волны находятся в противофазе и, следовательно, будут вычитаться. В этих последних точках амплитуда минимальна, и они известны как узлы. Если падающая волна была полностью отражена и линия не имеет потерь, будет полное подавление в узлах с нулевым сигналом, несмотря на продолжающуюся передачу волн в обоих направлениях. Точки, в которых волны находятся в фазе, являются антиузлами и представляют собой пик по амплитуде. Узлы и пучности узлов чередуются вдоль линии, и суммарная амплитуда волны непрерывно изменяется между ними. Комбинированная волна (падающая плюс отраженная) кажется неподвижной на линии и называется стоячей волной . ^[9]

Падающую волну можно охарактеризовать с помощью постоянной распространения линии , напряжения источника и расстояния от источника :${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle V}$${\displaystyle x'}$

${\displaystyle V_{\mathrm {i} }=V\,e^{-\gamma \,x'}\,\!}$

Однако часто удобнее работать с точки зрения расстояния от нагрузки ( ) и падающего к ней напряжения ( ).${\displaystyle x=\ell -x'}$${\displaystyle V_{\mathrm {iL} }}$

${\displaystyle V_{\mathrm {i} }=V_{\mathrm {iL} }\,e^{\gamma \,x}\,\!}$

Отрицательный знак отсутствует, потому что измеряется в обратном направлении вверх по линии, и напряжение увеличивается ближе к источнику. Точно так же отраженное напряжение определяется выражением${\displaystyle x}$

${\displaystyle V_{\mathrm {r} }={\mathit {\Gamma }}\,V_{\mathrm {iL} }\,e^{-\gamma \,x}\,\!}$

Общее напряжение на линии определяется выражением

${\displaystyle V_{\mathrm {T} }=V_{\mathrm {i} }+V_{\mathrm {r} }=V_{\mathrm {iL} }\,\left(e^{\gamma \,x}+{\mathit {\Gamma }}\,e^{-\gamma \,x}\right)\,\!}$

Часто это удобно выражать в терминах гиперболических функций

${\displaystyle V_{\mathrm {T} }=V_{\mathrm {iL} }\,\left[\left(1+{\mathit {\Gamma }}\,\right)\,\cosh(\gamma \,x)+\left(1-{\mathit {\Gamma }}\,\right)\,\sinh(\gamma \,x)\right]\,\!}$

Точно так же полный ток в линии равен

${\displaystyle I_{\mathrm {T} }=I_{\mathrm {iL} }\,[(1-{\mathit {\Gamma }}\,)\,\cosh(\gamma \,x)+(1+{\mathit {\Gamma }}\,)\,\sinh(\gamma \,x)]\,\!}$

Узлы напряжения (текущие узлы находятся в разных местах) и антиузлы возникают, когда

${\displaystyle {\frac {\partial \left|V_{\mathrm {T} }\right|}{\partial x}}=0}$

Из-за столбцов абсолютных значений аналитическое решение для общего случая утомительно сложно, но в случае линий без потерь (или линий, которые достаточно короткие, чтобы потерями можно пренебречь) можно заменить на где - постоянная фазового изменения . Затем уравнение напряжения сводится к тригонометрическим функциям${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle j\,\beta }$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle V_{\mathrm {T} }=V_{\mathrm {iL} }\,\left[(1+{\mathit {\Gamma }}\,)\,\cos(\beta \,x)+j\,\left(1-{\mathit {\Gamma }}\,\right)\,\sin(\beta \,x)\right]\,\!}$

и частный дифференциал величины этого дает условие,

${\displaystyle -2\operatorname {Im} ({\mathit {\Gamma }}\,)=\tan(2\,\beta \,x)}$

Выражение через длину волны позволяет решить в терминах :${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle -2\operatorname {Im} ({\mathit {\Gamma }}\,)=\tan \left({\frac {\,4\,\pi \,}{\lambda }}\,x\right)}$

${\displaystyle {\mathit {\Gamma }}}$является чисто вещественным , когда окончание короткого замыкания или размыкания цепи или когда оба и являются чисто резистивный. В этих случаях узлы и антитела задаются${\displaystyle Z_{0}}$${\displaystyle Z_{\mathrm {L} }}$

${\displaystyle \tan \left(\,{\frac {4\,\pi \,}{\lambda }}\,x\right)=0}$

который решает для на${\displaystyle x}$

${\displaystyle x=0,~~{\tfrac {1}{4}}\lambda ,~~{\tfrac {1}{2}}\lambda ,~~{\tfrac {3}{4}}\lambda ,~\dots }$

Для первой точки является узлом, для первой точки является анти-узел , и после этого они будут чередоваться. Для выводов, которые не являются чисто резистивными, интервал и чередование остаются такими же, но весь рисунок сдвигается вдоль линии на постоянную величину, относящуюся к фазе . ^[10]${\displaystyle R_{\mathrm {L} }<R_{0}}$${\displaystyle R_{\mathrm {L} }>R_{0}}$${\displaystyle {\mathit {\Gamma }}}$

Коэффициент стоячей волны напряжения [ править ]

Отношение между узлами и узлами называется коэффициентом стоячей волны по напряжению (КСВН) и связано с коэффициентом отражения соотношением${\displaystyle |V_{\mathrm {T} }|}$

${\displaystyle \mathrm {VSWR} ={\frac {1+\left|{\mathit {\Gamma }}\,\right|}{1-\left|{\mathit {\Gamma }}\,\right|}}}$

для линии без потерь; выражение для текущего коэффициента стоячей волны (ISWR) в этом случае идентично. Для строки с потерями выражение действительно только рядом с окончанием; КСВН асимптотически приближается к единице по мере удаления от окончания или разрыва.

КСВН и положение узлов - это параметры, которые можно напрямую измерить с помощью прибора, называемого щелевой линией . Этот прибор использует явление отражения для выполнения множества различных измерений на микроволновых частотах. Одно из применений заключается в том, что КСВН и положение узла могут использоваться для расчета импеданса тестового компонента, завершающего линию с прорезями. Это полезный метод, поскольку измерение импедансов путем прямого измерения напряжений и токов на этих частотах затруднительно. ^{[11] [12]}

КСВН - это обычное средство выражения соответствия радиопередатчика его антенне. Это важный параметр, потому что мощность, отраженная обратно в передатчик большой мощности, может повредить его выходную схему. ^[13]

Входное сопротивление [ править ]

Входной импеданс, направленный на линию передачи, которая не заканчивается характеристическим импедансом на дальнем конце, будет отличаться от длины линии и будет зависеть от нее . Значение этого импеданса можно найти, разделив выражение для общего напряжения на выражение для полного тока, приведенное выше: ^[14]${\displaystyle Z_{0}}$

${\displaystyle Z_{\mathrm {in} }={\frac {V_{\mathrm {T} }}{I_{\mathrm {T} }}}=Z_{0}{\frac {(1+{\mathit {\Gamma }}\,)\cosh(\gamma \,x)+(1-{\mathit {\Gamma }}\,)\,\sinh(\gamma \,x)}{(1-{\mathit {\Gamma }}\,)\,\cosh(\gamma \,x)+(1+{\mathit {\Gamma }}\,)\,\sinh(\gamma \,x)}}}$

Подстановка , длина линии и разделение на сокращает это до${\displaystyle x=\ell }$${\displaystyle (1+{\mathit {\Gamma }}\,)\cosh(\gamma \,x)}$

${\displaystyle Z_{\mathrm {in} }=Z_{0}{\frac {Z_{\mathrm {L} }+Z_{0}\tanh(\gamma \,\ell )}{Z_{0}+Z_{\mathrm {L} }\tanh(\gamma \,\ell )}}}$

Как и раньше, при рассмотрении только коротких отрезков линии передачи его можно заменить на, и выражение сведется к тригонометрическим функциям${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle j\,\beta }$

${\displaystyle Z_{\mathrm {in} }=Z_{0}{\frac {Z_{\mathrm {L} }+j\,Z_{0}\tan(\beta \,\ell )}{Z_{0}+j\,Z_{\mathrm {L} }\tan(\beta \,\ell )}}}$

Приложения [ править ]

Есть две особенно важные структуры, которые используют отраженные волны для изменения импеданса. Один из них - это шлейф, который представляет собой короткую линию, оканчивающуюся коротким замыканием (или это может быть разрыв цепи). Это создает чисто мнимое сопротивление на его входе, то есть реактивное сопротивление.

${\displaystyle X_{\mathrm {in} }=Z_{0}\tan(\beta \,\ell )\,\!}$

При соответствующем выборе длины шлейф можно использовать вместо конденсатора, катушки индуктивности или резонансного контура. ^[15]

Другая структура - четвертьволновой трансформатор импеданса . Как следует из названия, это линия точно по длине. Так как это приведет к обратному его оконечному сопротивлению ^[16]${\displaystyle \lambda /4}$${\displaystyle \beta \ell =\pi /2}$

${\displaystyle Z_{\mathrm {in} }={\frac {{Z_{0}}^{2}}{Z_{\mathrm {L} }}}}$

Обе эти структуры широко используются в фильтрах с распределенными элементами и схемах согласования импеданса .

См. Также [ править ]

• Искажение затухания
• Отражение Френеля ^[17]
• Линии Лечера
• Рефлектометрия во временной области
• Космическая ткань
• Диаграмма Смита

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

• Боуик, Кристофер; Аджлуни, Шерил; Блайлер, Джон, RF Circuit Design , Newnes, 2011 ISBN  0-08-055342-7 .
• Карр, Джозеф Дж., Практическое руководство по антеннам , McGraw-Hill Professional, 2001 ISBN 0-07-137435-3 . 
• Коннор, Франция, Передача волн , Эдвард Арнольд Ltd., 1972 ISBN 0-7131-3278-7 . 
• Энген, Гленн Ф., Теория микроволновых цепей и основы микроволновой метрологии , IET, 1992 ISBN 0-86341-287-4 . 
• Matthaei, G .; Янг, L .; Джонс, ЕМТ, СВЧ-фильтры, сети согласования импеданса и структуры связи МакГроу-Хилл 1964.
• Pai, ST; Чжан Ци, Введение в технологию импульсов высокой мощности , World Scientific, 1995 ISBN 981-02-1714-5 . 
• Стендлер, Рональд Б., Защита электронных схем от перенапряжений , Courier Dover Publications, 2002 ISBN 0-486-42552-5 .