Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Пространства Чу обобщают понятие топологического пространства , отбрасывая требования, чтобы множество открытых множеств было замкнутым относительно объединения и конечного пересечения , чтобы открытые множества были экстенсиональными, а предикат принадлежности (точек в открытых множествах) был двузначным. Определение непрерывной функции остается неизменным, за исключением того, что его нужно тщательно формулировать, чтобы сохранить смысл после этих обобщений.

Название происходит от По-Сян Чу, который первоначально построил проверку автономных категорий в качестве аспиранта под руководством Майкла Барра в 1979 году [1].

Определение [ править ]

Понял статически, а пространство Чу ( , г , X ) над множеством К состоит из множества А точек, множества X состояний, а функция г  : A × X → K . Это делает его матрицей A × X с элементами, взятыми из K , или, что эквивалентно, K- значным бинарным отношением между A и X (обычные бинарные отношения являются 2-значными).

При динамическом понимании пространства Чу преобразуются как топологические пространства, где A - множество точек, X - множество открытых множеств, а r - отношение принадлежности между ними, где K - множество всех возможных степеней принадлежности точка в открытом наборе. Аналогом непрерывной функции из ( A , r , X ) в ( B , s , Y ) является пара ( f , g ) функций f  : A → B , g  : Y → Xудовлетворяющая сопряженности условию сек ( п ( ), у ) = г ( , г ( г )) для всех в ∈ A и Y ∈ Y . То есть f отображает точки вперед, в то время как g отображает состояния в обратном направлении. Условие сопряженности делает г функцию прообраз ф -1 , а выбор X для области значений из гсоответствует требованию для непрерывных функций, что прообраз открытых множеств открыт. Такая пара называется преобразованием Чу или морфизмом пространств Чу.

Топологическое пространство ( X , T ), где X - множество точек, а T - множество открытых множеств, можно понимать как пространство Чу ( X , ∈, T ) над {0, 1}. То есть точки топологического пространства становятся точками пространства Чу, в то время как открытые множества становятся состояниями, а отношение принадлежности «∈» между точками и открытыми множествами становится явным в пространстве Чу. Условие замкнутости множества открытых множеств при произвольном (в том числе пустом) объединении и конечном (в том числе пустом) пересечении становится соответствующим условием на столбцы матрицы. Непрерывная функция f :  X  →  X 'между двумя топологическими пространствами становится сопряженной парой ( f , g ), в которой f теперь соединяется с реализацией условия непрерывности, построенной как явная функция-свидетель g, показывающая необходимые открытые множества в области определения f .

Категориальная структура [ править ]

Категория пространств Чу над K и их отображений обозначается через Chu ( Set , K ). Как видно из симметрии определений, это самодвойственная категория : она эквивалентна (фактически изоморфна) своей двойственной категории - категории, полученной обращением всех отображений. Кроме того, это * -автономная категория с дуализирующим объектом ( K , λ, {*}), где λ: K × {*} → K определяется формулой λ ( k , *) = k (Barr, 1979). Как таковой , он является моделью Жан-Ив Girard «S линейной логики (Girard , 1987).

Варианты [ править ]

Более общая обогащенная категория Chu ( V ,  k ) первоначально появилась в приложении к Barr (1979). Концепция пространства Чу возникла у Майкла Барра, а детали были разработаны его учеником По-Сян Чу, чья магистерская диссертация стала приложением. Обычные пространства Чу возникают как случай V = Set , то есть когда моноидальная категория V специализируется на декартовой замкнутой категории Set множеств и их функций, но не изучалась сама по себе до более чем десятилетия после появления более общее обогащенное понятие. Вариант пространств Чу, называемыйdialectica , согласно де Пайве (1989), условие отображения (1) заменяется условием отображения (2):

  1. s ( f ( a ), y ) = r ( a , g ( y )).
  2. s ( f ( a ), y ) ≤ r ( a , g ( y )).

Универсальность [ править ]

Категория Top топологических пространств и их непрерывные функции вкладываются в Chu ( Set , 2) в том смысле, что существует полный и точный функтор F  : Top → Chu ( Set , 2), обеспечивающий каждому топологическому пространству ( X , T ) свой представление F (( X , T )) = ( X , ∈, T ), как указано выше. Более того, это представление является реализацией в смысле Пултра и Трнковой.(1980), а именно, что представляющее пространство Чу имеет тот же набор точек, что и представленное топологическое пространство, и трансформируется таким же образом с помощью тех же функций.

Пространства Чу примечательны широким разнообразием реализованных в них знакомых структур. Лафон и Штрейхер (1991) указывают, что пространства Чу над 2 реализуют как топологические пространства, так и когерентные пространства (введенные Ж.-Й. Жираром (1987) для моделирования линейной логики), в то время как пространства Чу над K реализуют любую категорию векторных пространств над поле, мощность которого составляет не более , что из K . Это было распространено Воганом Праттом (1995) на реализацию k -арных реляционных структур с помощью пространств Чу над 2 k . Например, категорию групп Grp и их гомоморфизмов реализует Чу ( Set ,  8), поскольку групповое умножение может быть организовано как тернарное отношение . Чу ( Set , 2) реализует широкий спектр «логических» структур, таких как полурешетки, дистрибутивные решетки, полные и полностью дистрибутивные решетки, булевы алгебры, полные атомные булевы алгебры и т. Д. Дополнительная информация об этом и других аспектах пространств Чу, включая их применение к моделированию параллельного поведения можно найти на сайте Chu Spaces .

Приложения [ править ]

Автоматы [ править ]

Пространства Чу могут служить моделью параллельных вычислений в теории автоматов для выражения времени ветвления и истинного параллелизма . Пространства Чу демонстрируют квантово-механические явления дополнительности и неопределенности. Взаимодополняемость возникает как двойственность информации и времени, автоматов и расписаний, состояний и событий. Неопределенность возникает, когда измерение определяется как такой морфизм , что увеличение структуры наблюдаемого объекта снижает четкость наблюдения. Эту неопределенность можно рассчитать численно по ее форм-фактору, чтобы получить обычное соотношение неопределенностей Гейзенберга . Пространства Чу соответствуют волновым функциям как векторам гильбертова пространства . [2]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Строительство Чу: история идеи Университета Майкла Барра Макгилла
  2. Перейти ↑ Pratt, VR (1994). «Пространства Чу: Автоматы с квантовыми аспектами». Труды Практикума по физике и вычислениям. Phys Comp '94 . С. 186–195. DOI : 10,1109 / PHYCMP.1994.363682 . ISBN 978-0-8186-6715-2.

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Барр, М. (1979). * -Автономные категории . Конспект лекций по математике. 752 . Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09563-7.
  • Барр, М. (1996). «Чуйское сооружение». Теория и приложения категорий . 2 (2): 17–35.
  • Жирар, Ж.-Й. (1987). «Линейная логика». Теоретическая информатика . 50 : 1–102. DOI : 10.1016 / 0304-3975 (87) 90045-4 . hdl : 10338.dmlcz / 120513 .
  • Лафон, Ю. и Штрейхер, Т. (1991). «Семантика игр для линейной логики». Proc. 6-й ежегодный симпозиум IEEE. О логике в области компьютерных наук, Амстердам, июль 1991 года . Лос-Аламитос: Пресса компьютерного общества IEEE : 43–49.
  • де Пайва, В. (1989). «Диалектическая модель линейной логики». Proc. Конф. по категории теории и информатики, Springer-Verlag Lecture Notes в области компьютерных наук, Манчестер, сентябрь 1989 года . 389 . С. 341–356.
  • Пратт, В.Р. «Каменная гамма: координация математики». Proc. 10-й ежегодный симпозиум IEEE. по логике в области компьютерных наук, Монреаль, июнь 1995 года . С. 444–454.
  • Пултр А. и Трнкова В. (1980). Комбинаторные, алгебраические и топологические представления групп, полугрупп и категорий . Северная Голландия .

Внешние ссылки [ править ]

  • Путеводитель по статьям на Chu Spaces , Интернет-страница .