Coset

G - это группа ( Z / 8 Z , +) , целые числа по модулю 8 при сложении. Подгруппа H содержит только 0 и 4. Есть четыре левых смежных класса группы H :сама H , 1 + H , 2 + H и 3 + H (записано с использованием аддитивной записи, поскольку это аддитивная группа ). Вместе они разбивают всю группу G на неперекрывающиеся множества равного размера. Индекс [ G  : Н ] является 4 .

В математике , в частности теория групп , А подгруппа Н из группы G может быть использована для разложения основного набора G в непересекающиеся подмножества равного по количеству называемых смежностью . Есть левые смежные классы и правые смежные классы . (Как смежные классы слева и справа) имеют одинаковое количество элементов ( мощность ) , как делает H . Кроме того, сам H является одновременно левым и правым смежным классом. Количество левых смежных классов H в G равно количеству правых смежных классов Hв G . Это общее значение называется индексом из H в G и обычно обозначается [ G  : H ] .

Классы классов - основной инструмент в изучении групп; например, они играют центральную роль в теореме Лагранжа , что утверждает , что для любой конечной группы G , то число элементов каждой подгруппы H из G делит число элементов G . Классы определенного типа подгруппы ( нормальная подгруппа ) могут использоваться как элементы другой группы, называемой фактор-группой или фактор-группой . Классы смежности также появляются в других областях математики, таких как векторные пространства и коды с исправлением ошибок .

Определение [ править ]

Пусть H - подгруппа группы G , операция которой записана мультипликативно (сопоставление означает применение групповой операции). Принимая во внимании элемента г из G , то левые классы из H в G является множеством , полученное путем умножения каждого элемента Н на фиксированный элемент г из G (где г есть левый фактор). В символах это,

Gh = { GH  : ч элемент H } для каждого г в G .

В правых классах определяются аналогично, за исключением того, что элемент г теперь правый фактор, то есть,

Hg = { Hg  : ч элемент H } для г в G .

Поскольку g меняется в группе, может возникнуть много смежных классов (правых или левых). Это верно, но два левых смежных класса (соответственно правые смежные классы) либо различны, либо идентичны как множества. ^[1]

Если групповая операция написана аддитивно, как это часто бывает, когда группа абелева , используемое обозначение меняется на g + H или H + g , соответственно.

Первый пример [ править ]

Пусть G - группа диэдра шестого порядка . Его элементы могут быть представлены как { I , a , a ² , b , ab , a ² b }. В этой группе a ³ = b ² = I и ba = a ⁻¹ b . Этой информации достаточно, чтобы заполнить всю таблицу умножения:

*	я	а	а 2	б	ab	а 2 б
я	я	а	а 2	б	ab	а 2 б
а	а	а 2	я	ab	а 2 б	б
а 2	а 2	я	а	а 2 б	б	ab
б	б	а 2 б	ab	я	а 2	а
ab	ab	б	а 2 б	а	я	а 2
а 2 б	а 2 б	ab	б	а 2	а	я

Пусть T - подгруппа { I , b }. (Различные) левые классы смежности T :

IT = T = { I , b } ,

aT = { a , ab } и

a ² T = { a ² , a ² b } .

Поскольку все элементы G теперь появились в одном из этих смежных классов, генерирование каких-либо дополнительных классов не может дать новых смежных классов, поскольку новый смежный класс должен иметь элемент, общий с одним из них, и, следовательно, быть идентичным одному из этих смежных классов. Например, abT = { ab , a } = aT .

Правые смежные классы по T :

TI = T = { I , b } ,

Ta = { a , ba } = { a , a ² b } и

Ta ² = { a ² , ba ² } = { a ² , ab } .

В этом примере, за исключением T , ни один левый смежный класс также не является правым смежным классом.

Пусть H - подгруппа { I , a , a ² } . Левыми смежными классами H являются IH = H и bH = { b , ba , ba ² } . Правыми смежными классами H являются HI = H и Hb = { b , ab , a ² b } = { b , ba ² , ba }.. В этом случае каждый левый смежный класс Н является также правом смежным классом H . ^[2]

Пусть Н -подгруппа группы G , и предположим , что г ₁ , г ₂ ∈ G . Следующие утверждения эквивалентны: ^[3]

• г ₁ H = г ₂ H
• Hg ₁ ⁻¹ = Hg ₂ ⁻¹
• g ₁ H ⊂ g ₂ H
• g ₂ ∈ g ₁ H
• g ₁ ⁻¹ g ₂ ∈ H

Свойства [ править ]

Поскольку H является подгруппой, она содержит элемент идентичности группы , в результате чего элемент g принадлежит смежному классу gH . Если x принадлежит gH, то xH = gH . Таким образом , каждый элемент G принадлежит ровно один левый смежный класс подгруппы H . ^[1]

Тождество находится ровно в одном левом или правом смежном классе, а именно в самом H. Таким образом, H является одновременно левым и правым смежным классом. ^[2]

Элементы г и х принадлежат к одной и тому же левому смежному классу H , то есть, хн = Gh тогда и только тогда , когда г ^-1 х принадлежит Н . ^[1] Здесь можно сказать больше. Определить два элемента G , скажем , х и у , эквивалентный по отношению к подгруппе Н , если х ^-1 у принадлежит Н . Тогда это отношение эквивалентности на G, и классы эквивалентности этого отношения являются левыми смежными классамиH . ^[4] Как и любой набор классов эквивалентности, они образуют разбиение основного набора. Представитель смежного класса является представителем в смысле класса эквивалентности. Набор представителей всех смежных классов называется трансверсалью . В группе есть другие типы отношений эквивалентности, такие как сопряженность, которые образуют разные классы, не обладающие описанными здесь свойствами.

Аналогичные утверждения применимы к правым смежным классам.

Если G является абелевой группой , то г + Н = Н + г для каждой подгруппы H из G и любого элемента г из G . Для общих групп, учитывая элемент g и подгруппу H группы G , правый смежный класс группы H по g также является левым смежным классом сопряженной подгруппы g ⁻¹ Hg по g , то есть Hg = g ( г^-1 рт.ст. ) .

Нормальные подгруппы [ править ]

Подгруппа N группы G является нормальной подгруппой группы G тогда и только тогда, когда для всех элементов g группы G соответствующие левый и правый классы смежности равны, то есть gN = Ng . Так обстоит дело с подгруппой H в первом примере выше. Кроме того, смежные классы N в G образуют группу, называемую фактор-группой или фактор-группой .

Если H не является нормальным в G , то его левые смежные классы отличны от его правых смежных классов. То есть в G существует такое a , для которого ни один элемент b не удовлетворяет условию aH = Hb . Это означает , что разбиение G в левых смежных классов H представляет собой другой раздел , чем раздел G в правых смежных классов H . Это иллюстрируется подгруппой T в первом примере выше. ( Некоторые классы смежности могут совпадать. Например, если находится в центре изG , тогда aH = Ha .)

С другой стороны, если подгруппа N нормальна, множество всех смежных классов образует группу, называемую фактор-группой G / N, с операцией ∗, определенной формулой ( aN  ) ∗ ( bN  ) = abN . Поскольку каждый правый смежный класс является левым смежным классом, нет необходимости различать «левые смежные классы» от «правых смежных классов».

Индекс подгруппы [ править ]

Каждый левый или правый смежный класс H имеет такое же количество элементов (или мощность в случае бесконечного H ), что и сама H. Кроме того, число левых смежных классов равно числу правых смежных классов и известно как индекс из H в G , записывается в виде [ G  : H ] . Теорема Лагранжа позволяет вычислить индекс в случае, когда G и H конечны:

${\ Displaystyle | G | = [G: H] | H |}$.

Это уравнение справедливо и в случае, когда группы бесконечны, хотя смысл может быть менее ясным.

Больше примеров [ править ]

Целые числа [ править ]

Пусть G - аддитивная группа целых чисел, Z = ({..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}, +) и H - подгруппа (3 Z , +) = ({ ..., −6, −3, 0, 3, 6, ...}, +) . Тогда смежными классами H в G являются три множества 3 Z , 3 Z + 1 и 3 Z + 2 , где 3 Z + a = {..., −6 + a , −3 + a , a , 3 + а , 6 + а , ...}. Эти три множества разбивают множество Z , поэтому других правых смежных классов у H нет . В связи с commutivity сложения H + 1 = 1 + Н и Н + 2 = 2 + H . То есть каждый левый смежный класс группы H также является правым смежным классом, поэтому H - нормальная подгруппа. ^[5] (Тот же аргумент показывает, что каждая подгруппа абелевой группы нормальна. ^[6] )

Этот пример можно обобщить. Снова пусть G - аддитивная группа целых чисел, Z = ({..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}, +) , и пусть теперь H - подгруппа ( m Z , + ) = ({..., −2 m , - m , 0, m , 2 m , ...}, +) , где m - натуральное число. Тогда смежными классами H в G являются m множеств m Z , m Z + 1 , ..., m Z + ( m - 1) , гдеm Z + a = {..., −2 m + a , - m + a , a , m + a , 2 m + a , ... }. Есть не более м смежности, так как м Z + т = м ( Z + 1) = м Z . Смежный класс ( м Z + +) является классом конгруэнции из более по модулю т . ^[7]Подгруппа m Z нормальна в Z , поэтому ее можно использовать для образования фактор-группы Z / m Z - группы целых чисел mod m .

Векторы [ править ]

Другой пример смежного класса происходит из теории векторных пространств . Элементы (векторы) векторного пространства образуют абелеву группу при векторном сложении . В подпространстве векторного пространства являются подгруппами этой группы. Для векторного пространства V , подпространства W и фиксированного вектора a → в V множества

${\ displaystyle \ {{\ vec {x}} \ in V \ двоеточие {\ vec {x}} = {\ vec {a}} + {\ vec {w}}, {\ vec {w}} \ in W \}}$

называются аффинными подпространствами и являются смежными классами (как левыми, так и правыми, поскольку группа абелева). С точки зрения трехмерных геометрических векторов, эти аффинные подпространства - это все «прямые» или «плоскости», параллельные подпространству, которое является линией или плоскостью, проходящей через начало координат. Например, рассмотрим самолет R ² . Если m - прямая, проходящая через начало координат O , то m - подгруппа абелевой группы R ² . Если Р в R ² , то смежный класс Р + т является линия м 'параллельные м и проходящий через P . ^[8]

Матрицы [ править ]

Пусть G - мультипликативная группа матриц, ^[9]

${\ displaystyle G = \ left \ {{\ begin {bmatrix} a & 0 \\ b & 1 \ end {bmatrix}} \ двоеточие a, b \ in \ mathbb {R}, a \ neq 0 \ right \},}$

и подгруппа H группы G ,

${\ displaystyle H = \ left \ {{\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ c & 1 \ end {bmatrix}} \ двоеточие c \ in \ mathbb {R} \ right \}.}$

Для фиксированного элемента группы G рассмотрим левый класс смежности

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}H=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}\\=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b+c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}\\=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\d&1\end{bmatrix}}\colon d\in \mathbb {R} \right\}.\end{aligned}}}$

То есть левые смежные классы состоят из всех матриц в G, имеющих один и тот же левый верхний элемент. Эта подгруппа H нормальна в G , но подгруппа

${\displaystyle T=\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\0&1\end{bmatrix}}\colon a\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}}$

не является нормальным в G .

Как орбиты группового действия [ править ]

Подгруппа H из группы G может быть использован для определения действия с H на G в двух естественных путях. Правильное действие , G × H → G задается ( г , ч ) → GH или левое действие , Н × G → G задается ( ч , г ) → рт.ст. . Орбита в г под правильным действием является левым смежным классом Gh, а орбита под левым действием - правый смежный класс Hg . ^[10]

История [ править ]

Концепция смежного класса восходит к работам Галуа 1830–1831 годов. Он ввел обозначения, но не дал названия концепции. Термин «совокупность» впервые появляется в 1910 г. в статье Г. А. Миллера в « Ежеквартальном журнале математики» (том 41, стр. 382). Были использованы различные другие термины, включая немецкий Nebengruppen ( Weber ) и сопряженную группу ( Burnside ). ^[11]

Галуа занимается решением , когда данное полиномиальное уравнение было разрешимо в радикалах . Инструмент, который он разработал, заключался в том, что он заметил, что подгруппа H группы перестановок G индуцирует два разложения группы G (то, что мы теперь называем левым и правым смежными классами). Если эти разложения совпадали, то есть, если левые классы такие же , как правые смежные классы, то есть способ , чтобы свести задачу к одному из работающих над Н вместо G . Камиль Джордан в своих комментариях к работе Галуа в 1865 и 1869 годах развил эти идеи и определил нормальные подгруппы, как мы сделали выше, хотя он не использовал этот термин. ^[6]

Вызов смежный класс Gh левый смежный класс по г по отношению к H , в то время как наиболее распространенный сегодня, ^[10] не было универсально верно в прошлом. К примеру, Hall (1959) назвал бы Gh в правый смежный класс , подчеркивающий подгруппу будучи справа. harvtxt error: no target: CITEREFHall1959 (help)

Приложение из теории кодирования [ править ]

Двоичный линейный код является п - мерное подпространство С из м - мерное векторное пространство V над бинарным полем GF (2) . Поскольку V аддитивная абелева группа, C является подгруппой этой группы. Коды можно использовать для исправления ошибок, которые могут возникнуть при передаче. Когда передается кодовое слово (элемент C ), некоторые из его битов могут быть изменены в процессе, и задача приемника состоит в том, чтобы определить наиболее вероятное кодовое слово, с которого могло начаться искаженное принятое слово . Эта процедура называется декодированием.и если при передаче допущено лишь несколько ошибок, это может быть эффективно сделано с помощью всего лишь нескольких ошибок. Один метод, используемый для декодирования, использует расположение элементов V (полученное слово может быть любым элементом V ) в стандартный массив . Стандартный массив - это декомпозиция смежного класса V, определенным образом преобразованная в табличную форму. А именно, верхняя строка массива состоит из элементов C , записанных в любом порядке, за исключением того, что нулевой вектор должен быть записан первым. Затем выбирается элемент V с минимальным количеством единиц, который еще не появляется в верхней строке, и смежный класс Cсодержащий этот элемент, записывается как вторая строка (а именно, строка формируется путем взятия суммы этого элемента с каждым элементом C непосредственно над ним). Этот элемент называется лидером смежного класса, и при его выборе может быть какой-то выбор. Теперь процесс повторяется, новый вектор с минимальным количеством единиц, который еще не появился, выбирается в качестве нового лидера смежного класса, а содержащий его смежный класс C становится следующей строкой. Процесс заканчивается, когда все векторы V были отсортированы по смежным классам.

Пример стандартного массива для 2-мерного кода C = {00000, 01101, 10110, 11011} в 5-мерном пространстве V (с 32 векторами) выглядит следующим образом:

00000	01101	10110	11011
10000	11101	00110	01011
01000	00101	11110	10011
00100	01001	10010	11111
00010	01111	10100	11001
00001	01100	10111	11010
11000	10101	01110	00011
10001	11100	00111	01010

Декодирования процедуры , чтобы найти полученное слово в таблице , а затем добавить к нему лидеру смежного класса подряд он находится. Так как в двоичной арифметике добавления такой же операция , как вычитание, это всегда приводит в элементе С . В случае, если ошибки передачи возникли точно в ненулевых позициях лидера смежного класса, результатом будет правильное кодовое слово. В этом примере, если возникает единственная ошибка, метод всегда исправляет ее, поскольку в массиве появляются все возможные лидеры смежных классов с одной.

Расшифровка синдрома может быть использована для повышения эффективности этого метода. Это метод вычисления правильного смежного класса (строки), в котором будет полученное слово. Для n- мерного кода C в m- мерном двоичном векторном пространстве матрица проверки на четность представляет собой ( m - n ) × m матрицу Н , обладающее тем свойством , что х → Н ^Т = 0 → тогда и только тогда , когда х → находится в C . ^[12] Вектор x → H ^Tназываются синдром из й → , и по линейности , каждый вектор в одном смежном классе будет иметь тот же синдром. Для декодирования поиск теперь сводится к поиску лидера смежного класса, который имеет тот же синдром, что и полученное слово. ^[13]

Двойные классы [ править ]

Указанные две подгруппы, Н и К (которые не должны быть различными) группы G , то двойные классы из H и K в G являются множества вида HgK = { Hgk  : ч элемент H , K элемент K } . Это левые смежные классы по K и правые смежные классы по H, когда H = 1 и K = 1 соответственно. ^[14]

Два двойных смежных класса HxK и HyK либо не пересекаются, либо идентичны. ^[15] Множество всех двойных классов при фиксированном H и K образуют разбиение G .

Двойной смежный класс HxK содержит полные правые смежные классы H (в G ) вида Hxk , с к элемент из K и полных левых смежных классов K (в G ) вида hxK с ч в H . ^[15]

Обозначение [ править ]

Пусть G группа с подгруппами H и K . Некоторые авторы, работающие с этими наборами, разработали специальные обозначения для своей работы, где ^{[16] [17]}

• G / H обозначает множество левых смежных классов { Gh : г в G } из H в G .
• Н \ С обозначает множество правых смежных классов { Hg  : г в G } из H в G .
• K \ G / H обозначает набор двойных классов смежности { KgH  : g в G } для H и K в G , иногда называемый двойным пространством смежных классов .
• G // H обозначает пространство двойных смежных классов H \ G / H подгруппы H в G .

Другие приложения [ править ]

• Классы смежности Q в R используются при построении множеств Витали , типа неизмеримого множества .
• Классы смежных классов занимают центральное место в определении передачи .
• Классы смежности важны в вычислительной теории групп. Например, алгоритм Тистлтуэйта для решения кубика Рубика в значительной степени опирается на смежные классы.
• В геометрии форма Клиффорда – Клейна - это двойное пространство смежных классов Γ \ G / H , где G - редуктивная группа Ли , H - замкнутая подгруппа, а Γ - дискретная подгруппа (группы G ), которая действует должным образом разрывно на однородной пространство G / Н .

См. Также [ править ]

• Куча
• Перечисление смежных классов

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бертон, Дэвид М. (1988), Абстрактная алгебра , Wm. C. Brown Publishers, ISBN 0-697-06761-0
• Дин, Ричард А. (1990), Классическая абстрактная алгебра , Харпер и Роу, ISBN 0-06-041601-7
• Фрали, Джон Б. (1994), Первый курс абстрактной алгебры (5-е изд.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-53467-2
• Холл-младший, Маршалл (1959), Теория групп , компания Macmillan
• Джейкобсон, Натан (2009) [1985], Основная алгебра I (2-е изд.), Довер, ISBN 978-0-486-47189-1
• Джоши, К.Д. (1989), "§5.2 Классы смежных классов подгрупп", Основы дискретной математики , New Age International, стр. 322 и далее, ISBN 81-224-0120-1
• Миллер, GA (2012) [1916], Теория и приложения конечных групп , Applewood Books, ISBN 9781458500700
• Ротман, Джозеф Дж. (2006), Первый курс абстрактной алгебры с приложениями (3-е изд.), Прентис-Холл, ISBN 978-0-13-186267-8
• Скотт, WR (1987), «§1.7 Классы смежности и индекс», Теория групп , Courier Dover Publications, стр. 19 и далее, ISBN 0-486-65377-3

Дальнейшее чтение [ править ]

• Цассенхаус, Ханс Дж. (1999), «§1.4 Подгруппы», Теория групп , Courier Dover Publications, стр. 10 и далее, ISBN 0-486-40922-8

Внешние ссылки [ править ]

• Николас Брей. «Козет» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "Левый Козет" . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "Правый Козет" . MathWorld .
• Иванова, О.А. (2001) [1994], "Coset in a group" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Coset в PlanetMath .
• Иллюстрированные примеры
• «Козет» . группы . Вики-сайт по свойствам группы.