В геометрии , то конфигурация Дезарг является конфигурация из десяти точек и десять строк, с тремя точками на линии и трех линий на одну точку. Он назван в честь Жирара Дезарга и тесно связан с теоремой Дезарга , которая доказывает существование конфигурации.
Конструкции
Два измерения
Говорят, что два треугольника ABC и abc находятся в перспективе по центру, если прямые Aa , Bb и Cc пересекаются в общей точке, называемой центром перспективы . Они находятся в перспективе в осевом направлении, если точки пересечения соответствующих сторон треугольника X = AB ∩ ab , Y = AC ∩ ac и Z = BC ∩ bc лежат на общей линии, оси перспективы . Теорема Дезарга в геометрии утверждает, что эти два условия эквивалентны: если два треугольника находятся в перспективе по центру, то они также должны быть в перспективе в осевом направлении, и наоборот. Когда это происходит, десять точек и десять линий двух перспективностей (шесть вершин треугольника, три точки пересечения и центр перспективы, а также шесть сторон треугольника, три линии, проходящие через соответствующие пары вершин и ось перспективности) вместе образуют экземпляр конфигурации Дезарга.
Три измерения
Хотя конфигурация Дезарга может быть встроена в двух измерениях, она имеет очень простую конструкцию в трех измерениях: для любой конфигурации из пяти плоскостей в общем положении в евклидовом пространстве десять точек, где встречаются три плоскости, и десять линий, образованных пересечением двух плоскостей. две плоскости вместе образуют экземпляр конфигурации ( Barnes 2012 ). Эта конструкция тесно связана с тем свойством, что каждая проективная плоскость, которую можно вложить в трехмерное проективное пространство, подчиняется теореме Дезарга. Эта трехмерная реализация конфигурации Дезарга также называется полным пентаэдром ( Barnes 2012 ).
Четыре измерения
5-клеток или пентатопа (регулярный симплекс в четырех измерениях) имеет пять вершин , десять ребер , десять треугольных выступов (2-мерных граней), и пять тетраэдрических граней ; края и выступы соприкасаются друг с другом по той же схеме, что и в конфигурации Дезарга. Продлите каждое из ребер 5-ячейки до линии, которая его содержит (ее аффинная оболочка ), аналогичным образом продлите каждый треугольник 5-ячейки до 2-мерной плоскости, которая его содержит, и пересеките эти прямые и плоскости тремя -мерная гиперплоскость, которая не содержит и не параллельна какой-либо из них. Каждая линия пересекает гиперплоскость в точке, а каждая плоскость пересекает гиперплоскость по линии; эти десять точек и линий образуют пример конфигурации Дезарга ( Barnes 2012 ).
Симметрии
Хотя теорема Дезарга выбирает разные роли для своих десяти прямых и точек, сама конфигурация Дезарга более симметрична : любая из десяти точек может быть выбрана в качестве центра перспективы, и этот выбор определяет, какие шесть точек будут вершинами треугольников. и какая линия будет осью перспективности. Конфигурация Дезарга имеет группу симметрии S 5 порядка 120; то есть существует 120 различных способов перестановки точек и линий конфигурации таким образом, чтобы сохранить ее угловые точки ( Stroppel & Stroppel 2013 ). Трехмерная конструкция конфигурации Дезарга делает эти симметрии более очевидными: если конфигурация создается из пяти плоскостей в общем положении в трех измерениях, то каждая из 120 различных перестановок этих пяти плоскостей соответствует симметрии конфигурации ( Барнс 2012 ).
Конфигурация Дезарга является самодвойственной, что означает, что можно найти соответствие от точек одной конфигурации Дезарга к линиям второй конфигурации и от линий первой конфигурации к точкам второй конфигурации таким образом, что все инцидентов конфигурации сохраняются ( Coxeter 1964 ).
Графики
Граф Леви конфигурации Дезарга, граф, имеющий по одной вершине для каждой точки или линии в конфигурации, известен как граф Дезарга . Из-за симметрии и самодуальности конфигурации Дезарга граф Дезарга является симметричным графом .
Кемпе (1886) рисует другой граф для этой конфигурации, с десятью вершинами, представляющими его десять прямых, и с двумя вершинами, соединенными ребром, когда соответствующие две прямые не пересекаются в одной из точек конфигурации. В качестве альтернативы, вершины этого графа можно интерпретировать как представляющие точки конфигурации Дезарга, и в этом случае ребра соединяют пары точек, для которых соединяющая их линия не является частью конфигурации. Эта публикация знаменует собой первое известное появление графа Петерсена в математической литературе за 12 лет до того, как Юлиус Петерсен использовал тот же граф в качестве контрпримера к проблеме раскраски ребер .
Связанные конфигурации
В качестве проективной конфигурации конфигурация Дезарга имеет обозначение (10 3 10 3 ), означающее, что каждая из ее десяти точек инцидентна трем линиям, а каждая из ее десяти линий инцидентна трем точкам. Его десять точек можно уникальным образом рассматривать как пару вписанных друг в друга пятиугольников или как самовписанный десятиугольник ( Hilbert & Cohn-Vossen 1952 ). Граф Дезарга , двудольный симметричный кубический граф с 20 вершинами , называется так потому, что его можно интерпретировать как граф Леви конфигурации Дезарга, с вершиной для каждой точки и линии конфигурации и ребром для каждой инцидентной точечной линии. пара.
Также существует восемь других (10 3 10 3 ) конфигураций (то есть наборов точек и линий на евклидовой плоскости с тремя линиями на точку и тремя точками на линию), которые не изоморфны по инцидентности конфигурации Дезарга, одна из которых показан справа. Во всех этих конфигурациях у каждой точки есть еще три точки, которые ей не коллинеарны. Но в конфигурации Дезарга эти три точки всегда коллинеарны друг другу (если выбранная точка является центром перспективы, тогда три точки образуют ось перспективы), в то время как в другой конфигурации, показанной на иллюстрации, эти три точки образуют треугольник из трех линий. Как и в случае с конфигурацией Дезарга, другую изображенную конфигурацию можно рассматривать как пару взаимно вписанных пятиугольников.
Рекомендации
- Барнс, Джон (2012), «Двойственность в трех измерениях» , Gems of Geometry , Springer, стр. 95–97, ISBN 9783642309649
- Кокстер, HSM (1964), Проективная геометрия , Нью-Йорк: Блейсделл, стр. 26–27.
- Гильберт, Дэвид ; Кон-Фоссен, Стефан (1952), Геометрия и воображение (2-е изд.), Нью-Йорк: Челси, стр. 119–128, ISBN 0-8284-1087-9
- Кемпе, А.Б. (1886), «Мемуары по теории математической формы», Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 177 : 1–70, doi : 10.1098 / rstl.1886.0002
- Строппель, Бернхильд; Строппель, Маркус (2013), «Дезарг, салфетка, дуальности и исключительные изоморфизмы» (PDF) , Австралазийский журнал комбинаторики , 57 : 257
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Конфигурация Дезарга» . MathWorld .