В математической логике , две теории являются equiconsistent , если консистенция одной теории предполагает согласованность другой теории, и наоборот . В этом случае они, грубо говоря, «согласованы друг с другом».
Вообще говоря, доказать абсолютную непротиворечивость теории T невозможно . Вместо этого мы обычно принимают теорию S , как полагают, быть последовательным, и попытаться доказать более слабое утверждение , что если S непротиворечива , то T также должен быть последовательным, если мы можем сделать это , мы говорим , что T является последовательным по отношению к S . Если S также соответствует относительно Т , то мы говорим , что S и T являются equiconsistent .
Последовательность [ править ]
В математической логике формальные теории изучаются как математические объекты . Поскольку некоторые теории достаточно сильны, чтобы моделировать различные математические объекты, естественно задаться вопросом об их собственной непротиворечивости .
В начале 20 века Гильберт предложил программу , конечной целью которой было показать с помощью математических методов непротиворечивость математики. Поскольку большинство математических дисциплин можно свести к арифметике , программа быстро превратилась в установление последовательности арифметики с помощью методов, формализуемых внутри самой арифметики.
Теоремы Гёделя о неполноте показывают, что программа Гильберта не может быть реализована: если непротиворечивая рекурсивно перечислимая теория достаточно сильна, чтобы формализовать свою собственную метаматематику (независимо от того, является ли что-то доказательством или нет), то есть достаточно сильна, чтобы смоделировать слабый фрагмент арифметики ( арифметика Робинсона)достаточно), то теория не может доказать свою непротиворечивость. Существуют некоторые технические предостережения относительно того, каким требованиям должно удовлетворять формальное утверждение, представляющее метаматематическое утверждение «Теория непротиворечива», но в результате, если (достаточно сильная) теория может доказать свою собственную непротиворечивость, то либо не существует вычислимого способа. определения того, является ли утверждение даже аксиомой теории или нет, или же сама теория непоследовательна (в этом случае она может доказать что угодно, включая ложные утверждения, такие как ее собственная непротиворечивость).
Учитывая это, вместо прямой согласованности обычно рассматривают относительную согласованность: пусть S и T - формальные теории. Предположим, что S - непротиворечивая теория. Следует ли из этого, что T непротиворечиво? Если это так, то T соответствует относительно S . Две теории равносогласованы, если каждая из них непротиворечива по отношению к другой.
Сила согласованности [ править ]
Если T соответствует относительно S , но S не известно , быть последовательным по отношению к Т , то мы говорим , что S имеет большую прочность консистенцию , чем Т . При обсуждении этих вопросов о силе согласованности необходимо тщательно рассмотреть метатеорию, в которой происходит обсуждение. Для теорий на уровне арифметики второго порядка , то обратная математика программа имеет много сказать. Проблемы устойчивости - обычная часть теории множеств , поскольку это рекурсивная теория, которая, безусловно, может моделировать большую часть математики. Наиболее широко используемый набор аксиом теории множеств называетсяZFC . Когда теоретико-множественное утверждение A называется равносогласованным другому B , утверждается, что в метатеории ( в данном случае арифметика Пеано ) можно доказать, что теории ZFC + A и ZFC + B равносогласованы. Обычно примитивная рекурсивная арифметика может быть принята в качестве рассматриваемой метатеории, но даже если метатеория является ZFC или ее расширением, это понятие имеет смысл. Метод принуждения позволяет показать, что теории ZFC, ZFC + CH и ZFC + ¬CH все равно согласованы (где CH обозначает гипотезу континуума ).
При обсуждении фрагментов ZFC или их расширений (например, ZF, теория множеств без аксиомы выбора или ZF + AD, теория множеств с аксиомой детерминированности ), описанные выше понятия адаптируются соответствующим образом. Таким образом, ZF равнозначно ZFC, как показал Гёдель.
Сила последовательности многочисленных комбинаторных утверждений может быть откалибрована крупными кардиналами . Например, отрицание гипотезы Kurepa в этом equiconsistent с недоступным кардиналом , несуществование специальных - дерева Ароншайна является equiconsistent с кардиналом Мало , и несуществование - Ароншайн дерев является equiconsistent с слабо компактным кардиналом . [1]
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ * Кунен, Кеннет (2011), теория множеств , Исследования в области логики, 34 , Лондон: College Publications, стр. 225, ISBN 978-1-84890-050-9, Zbl 1262,03001
- Акихиро Канамори (2003). Высшее Бесконечное . Springer. ISBN 3-540-00384-3
