В теории вероятностей и статистике , то функция факториал генерирующего момента (FMGF) от распределения вероятностей в виде вещественной случайной величины X определяются как
![M_ {X} (t) = \ operatorname {E} {\ bigl [} t ^ {{X}} {\ bigr]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
для всех комплексных чисел t, для которых существует это ожидаемое значение . Это так, по крайней мере, для всех t на единичной окружности
, см. характеристическую функцию . Если X - дискретная случайная величина, принимающая значения только в наборе {0,1, ...} неотрицательных целых чисел , то
также называется вероятностно-производящей функцией (PGF) X и
корректно определено по крайней мере для всех t на замкнутом единичном круге
.
Факториала производящая функция моментов генерируют факторных моменты этого распределения вероятностей . При условии
существует в окрестностях от т = 1, п - я факторного момента задается [1]
![\ operatorname {E} [(X) _ {n}] = M_ {X} ^ {{(n)}} (1) = \ left. {\ frac {{\ mathrm {d}} ^ {n}} {{\ mathrm {d}} t ^ {n}}} \ right | _ {{t = 1}} M_ {X} (t),](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где символ Поххаммера ( x ) n - падающий факториал
![(x) _ {n} = x (x-1) (x-2) \ cdots (x-n + 1). \,](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(Многие математики, особенно в области специальных функций , используют ту же нотацию для представления возрастающего факториала .)
распределение Пуассона
Предположим, что X имеет распределение Пуассона с математическим ожиданием λ, тогда его производящая факторная функция момента равна
![M_{X}(t)=\sum _{{k=0}}^{\infty }t^{k}\underbrace {\operatorname {P}(X=k)}_{{=\,\lambda ^{k}e^{{-\lambda }}/k!}}=e^{{-\lambda }}\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {(t\lambda )^{k}}{k!}}=e^{{\lambda (t-1)}},\qquad t\in {\mathbb {C}},](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(используйте определение экспоненциальной функции ) и, таким образом, мы имеем
![\operatorname {E}[(X)_{n}]=\lambda ^{n}.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)