Парадокс Фарадея

Майкл Фарадей

Парадокс Фарадея или парадокс Фарадея является любым экспериментом , в котором Майкл Фарадей закон «s из электромагнитной индукции появляется предсказать неправильный результат. Парадоксы делятся на два класса:

• Похоже, что закон Фарадея предсказывает, что ЭДС будет нулевая, но есть ненулевая ЭДС.
• Похоже, что закон Фарадея предсказывает, что ЭДС будет отличной от нуля, но будет нулевая ЭДС.

Фарадей вывел свой закон индукции в 1831 году, после изобретения первого электромагнитного генератора или динамо-машины , но никогда не был удовлетворен собственным объяснением парадокса.

Закон Фарадея в сравнении с уравнением Максвелла – Фарадея [ править ]

Закон Фарадея (также известный как закон Фарадея-Ленца ) утверждает, что электродвижущая сила (ЭДС) определяется полной производной магнитного потока по времени t :

${\ displaystyle {\ mathcal {E}} = - {d \ Phi _ {B} \ over dt}, \}$

где - ЭДС, а Φ _B - магнитный поток . Направление электродвижущей силы задается законом Ленца . Часто упускают из виду тот факт, что закон Фарадея основан на полной производной, а не на частной производной магнитного потока. ^[1] Это означает, что ЭДС может возникать, даже если общий поток через поверхность постоянен. Чтобы решить эту проблему, можно использовать специальные методы. См. Ниже раздел об использовании специальных техник с законом Фарадея . Однако наиболее распространенная интерпретация закона Фарадея такова:${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$

Индуцированная электродвижущая сила в любой замкнутой цепи равна отрицательной скорости изменения магнитного потока, заключенного в цепи. ^{[2] [3]}

Эта версия закона Фарадея строго соблюдается только тогда, когда замкнутая цепь представляет собой петлю из бесконечно тонкой проволоки ^[4], и не действует в других обстоятельствах. Он игнорирует тот факт, что закон Фарадея определяется полной, а не частной производной магнитного потока, а также тот факт, что ЭДС не обязательно ограничивается замкнутым контуром, но также может иметь радиальные компоненты, как обсуждается ниже. Другая версия, уравнение Максвелла – Фарадея (обсуждается ниже), действительна во всех обстоятельствах, и при использовании в сочетании с законом силы Лоренца это согласуется с правильным применением закона Фарадея.

Схема доказательства закона Фарадея из уравнений Максвелла и закона силы Лоренца.

Рассмотрим производную по времени потока через возможно движущийся контур с площадью :${\ Displaystyle \ Sigma (т)}$ ${\ displaystyle {\ frac {d \ Phi _ {B}} {dt}} = {\ frac {d} {dt}} \ int _ {\ Sigma (t)} \ mathbf {B} (t) \ cdot г \ mathbf {A}}$ Интеграл может изменяться со временем по двум причинам: подынтегральное выражение может измениться или область интегрирования может измениться. Следовательно, они складываются линейно: ${\displaystyle \left.{\frac {d\Phi _{B}}{dt}}\right|_{t=t_{0}}=\left(\int _{\Sigma (t_{0})}\left.{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right|_{t=t_{0}}\cdot d\mathbf {A} \right)+\left({\frac {d}{dt}}\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (t_{0})\cdot d\mathbf {A} \right)}$ где t 0 - любое заданное фиксированное время. Покажем, что первое слагаемое в правой части соответствует ЭДС трансформатора, второе - ЭДС движения. Первый член в правой части можно переписать, используя интегральную форму уравнения Максвелла – Фарадея: ${\displaystyle \int _{\Sigma (t_{0})}\left.{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right|_{t=t_{0}}\cdot d\mathbf {A} =-\oint _{\partial \Sigma (t_{0})}\mathbf {E} (t_{0})\cdot d{\boldsymbol {\ell }}}$ Область, заметаемая векторным элементом d ℓ кривой ∂Σ за время dt при движении со скоростью v . Далее мы анализируем второй член в правой части: ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (t_{0})\cdot d\mathbf {A} }$ Это самая трудная часть доказательства; более подробную информацию и альтернативные подходы можно найти в справочных материалах. [5] [6] [7] По мере того, как петля перемещается и / или деформируется, она выметает поверхность (см. Рисунок справа). Магнитный поток через эту вытянутую поверхность соответствует магнитному потоку, который либо входит, либо выходит из контура, и, следовательно, это магнитный поток, который влияет на производную по времени. (На этом шаге неявно используется закон Гаусса для магнетизма : поскольку силовые линии не имеют начала и конца, они могут попасть в петлю, только будучи прорезанными проволокой.) Поскольку небольшая часть петли движется со скоростью v на короткое время. время , он выметает вектор области вектора${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}}$${\displaystyle dt}$${\displaystyle d\mathbf {A} =\mathbf {v} \,dt\times d{\boldsymbol {\ell }}}$. Следовательно, изменение магнитного потока через петлю здесь равно ${\displaystyle \mathbf {B} \cdot (\mathbf {v} \,dt\times d{\boldsymbol {\ell }})=-dt\,d{\boldsymbol {\ell }}\cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}$ Следовательно: ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (t_{0})\cdot d\mathbf {A} =-\oint _{\partial \Sigma (t_{0})}(\mathbf {v} (t_{0})\times \mathbf {B} (t_{0}))\cdot d{\boldsymbol {\ell }}}$ где v - скорость точки на петле .${\displaystyle \partial \Sigma }$ Собирая их вместе, ${\displaystyle \left.{\frac {d\Phi _{B}}{dt}}\right|_{t=t_{0}}=\left(-\oint _{\partial \Sigma (t_{0})}\mathbf {E} (t_{0})\cdot d{\boldsymbol {\ell }}\right)+\left(-\oint _{\partial \Sigma (t_{0})}(\mathbf {v} (t_{0})\times \mathbf {B} (t_{0}))\cdot d{\boldsymbol {\ell }}\right)}$ Между тем, ЭДС определяется как энергия, доступная на единицу заряда, которая проходит один раз по проволочной петле. Следовательно, по закону силы Лоренца , ${\displaystyle EMF=\oint \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {\ell }}}$ Объединяя их,${\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}}{dt}}=-EMF}$

Уравнение Максвелла – Фарадея является обобщением закона Фарадея, который гласит, что изменяющееся во времени магнитное поле всегда сопровождается изменяющимся в пространстве неконсервативным электрическим полем, и наоборот. Уравнение Максвелла – Фарадея:

(в единицах СИ ), где - оператор частной производной , - оператор ротора, и снова E ( r , t ) - электрическое поле, а B ( r , t ) - магнитное поле . Эти поля обычно могут быть функциями позиции r и времени t .${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle \nabla \times }$

Уравнение Максвелла – Фарадея является одним из четырех уравнений Максвелла и поэтому играет фундаментальную роль в теории классического электромагнетизма . Его также можно записать в интегральной форме по теореме Кельвина – Стокса . ^[8]

Парадоксы, в которых закон индукции Фарадея, кажется, предсказывает нулевую ЭДС, но на самом деле предсказывает ненулевую ЭДС [ править ]

Эти парадоксы обычно разрешаются тем фактом, что ЭДС может создаваться изменением потока в цепи, как объяснено в законе Фарадея, или движением проводника в магнитном поле. Это объясняется Фейнманом, как указано ниже. См. Также A. Sommerfeld, Vol III Electrodynamics Academic Press, стр. 362.

Оборудование [ править ]

Для эксперимента требуется несколько простых компонентов (см. Рисунок 1): цилиндрический магнит , проводящий диск с проводящим ободом, проводящая ось, некоторые провода и гальванометр . Диск и магнит установлены на небольшом расстоянии друг от друга на оси, на которой они могут свободно вращаться вокруг своих осей симметрии. Электрическая цепь образуется подключением скользящих контактов: один к оси диска, другой к его ободу. В схему можно вставить гальванометр для измерения силы тока.

Процедура [ править ]

Эксперимент проходит в три этапа:

1. Магнит удерживают, чтобы предотвратить его вращение, в то время как диск вращается вокруг своей оси. В результате гальванометр регистрирует постоянный ток . Поэтому устройство действует как генератор , по- разному называется генератором Фарадея, на диске Фарадея , или гомеополярные (или) однополярный генератор .
2. Диск удерживается неподвижно, в то время как магнит вращается вокруг своей оси. В результате гальванометр не регистрирует ток.
3. Диск и магнит вращаются вместе. Гальванометр регистрирует ток, как это было на шаге 1.

Почему это парадоксально? [ редактировать ]

Эксперимент описывается некоторыми как «парадокс», поскольку на первый взгляд кажется, что он нарушает закон электромагнитной индукции Фарадея, поскольку поток через диск кажется одинаковым независимо от того, что вращается. Следовательно, прогнозируется, что ЭДС будет равна нулю во всех трех случаях вращения. Обсуждение ниже показывает, что эта точка зрения проистекает из неправильного выбора поверхности для расчета потока.

Парадокс появляется немного отличается от линий потока точки зрения: в модели Фарадея электромагнитной индукции, А магнитное поле , состоит из воображаемых линий от магнитного потока , аналогичны линиям , которые появляются , когда железные опилки посыпают на бумаге , и выдерживают около магнита. Предполагается, что ЭДС пропорциональна скорости резания линий потока. Если представить себе, что силовые линии возникают в магните, то они будут стационарными в рамке магнита, и вращение диска относительно магнита, будь то вращение магнита или диска, должно создавать ЭДС, но вращение они оба вместе не должны.

Объяснение Фарадея [ править ]

В модели электромагнитной индукции Фарадея цепь получает индуцированный ток, когда она разрезает линии магнитного потока. Согласно этой модели, диск Фарадея должен был работать, когда вращался либо диск, либо магнит, но не оба вместе. Фарадей попытался объяснить несогласие с наблюдениями, предположив, что поле магнита, вместе с его линиями потока, оставалось неподвижным при вращении магнита (полностью точная картина, но, возможно, не интуитивно понятная в модели линий потока). Другими словами, у линий потока есть своя собственная система отсчета. Как мы увидим в следующем разделе, современная физика (с момента открытия электрона ) не нуждается в картине потоков и рассеивает парадокс.

Современные объяснения [ править ]

Принимая во внимание обратный путь [ править ]

На этапе 2 , поскольку ток не наблюдается, можно сделать вывод, что магнитное поле не вращалось вместе с вращающимся магнитом. (Действует или не действует эффективно или относительно, сила Лоренца равна нулю, поскольку vравна нулю относительно лабораторной системы отсчета. Таким образом, измерения тока с помощью лабораторных рамок нет.) Использование уравнения Лоренца для объяснения этого парадокса привело к дискуссии в литературе относительно того, вращается ли магнитное поле вместе с магнитом. Поскольку сила, действующая на заряды, выраженная уравнением Лоренца, зависит от относительного движения магнитного поля (т. Е. Лабораторной рамы) к проводнику, где расположена ЭДС, предполагалось, что в случае, когда магнит вращается вместе с диском, но напряжение все еще развивается, магнитное поле (то есть лабораторная рамка) не должно поэтому вращаться вместе с магнитным материалом (конечно, поскольку это лабораторная рамка), в то время как эффективное определение рамки магнитного поля или «эффективное / относительное вращение поля»поворачивается без относительного движения относительно проводящего диска.

Тщательное размышление показало, что если предположить, что магнитное поле вращается вместе с магнитом, а магнит вращается вместе с диском, ток все равно должен создаваться, а не за счет ЭДС в диске (нет относительного движения между диском и магнитом) но во внешней цепи, соединяющей щетки ^[9], которая фактически движется относительно вращающегося магнита. (Кисти находятся в лабораторной раме.)

Этот механизм согласуется с наблюдениями, касающимися обратных путей: ЭДС генерируется всякий раз, когда диск движется относительно обратного пути, независимо от вращения магнита. Фактически было показано, что до тех пор, пока токовая петля используется для измерения наведенных ЭДС от движения диска и магнита, невозможно определить, вращается ли магнитное поле вместе с магнитом или нет. (Это зависит от определения, движение поля может быть определено только эффективно / относительно. Если вы придерживаетесь точки зрения, что поток поля является физическим объектом, он вращается или зависит от того, как он генерируется. Но это не меняет что используется в формуле Лоренца, особенно v, скорость носителя заряда относительно системы отсчета, в которой происходит измерение, и напряженность поля изменяется согласно теории относительности в любой точке пространства-времени.)

Было предложено несколько экспериментов с использованием электростатических измерений или электронных лучей для решения этой проблемы, но, по-видимому, ни один из них до сих пор не был успешно проведен. ^{[ необходима цитата ]}

Использование силы Лоренца [ править ]

Сила F, действующая на частицу с электрическим зарядом q с мгновенной скоростью v из-за внешнего электрического поля E и магнитного поля B , задается силой Лоренца: ^[10]

где × - векторное произведение. Все величины, выделенные жирным шрифтом, являются векторами. Релятивистский-правильное электрическое поле точечного заряда изменяется в зависимости от скорости , как: ^[11]

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1-v^{2}/c^{2}}{(1-v^{2}\sin ^{2}\theta /c^{2})^{3/2}}}{\frac {\mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf {r} '|^{2}}}}$

где - единичный вектор, указывающий от текущего (не запаздывающего) положения частицы до точки, в которой измеряется поле, а θ - угол между и . Магнитное поле заряда B равно: ^[11]${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} '}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {r} '}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} }$

На самом нижнем уровне полная сила Лоренца является совокупным результатом электрических полей E и магнитных полей B каждого заряда, действующих на каждый другой заряд.

Когда магнит вращается, но силовые линии неподвижны, а проводник неподвижен [ править ]

Рассмотрим частный случай, когда цилиндрический проводящий диск неподвижен, а цилиндрический магнитный диск вращается. В такой ситуации средняя скорость v зарядов в проводящем диске изначально равна нулю, и, следовательно, магнитная сила F = q v × B равна 0, где v - средняя скорость заряда q контура относительно корпуса. где производятся измерения, а q - заряд электрона.

Когда магнит и силовые линии неподвижны, а проводник вращается [ править ]

После открытия электрона и влияющих на него сил стало возможным микроскопическое разрешение парадокса. См. Рисунок 1. Металлические части устройства являются проводящими и ограничивают ток из-за электронного движения внутри металлических границ. Все электроны , которые двигаются в опыте магнитного поля силы Лоренца из F = Q об × B , где V есть скорость электронов относительно рамы , где проводятся измерения, и д- заряд электрона. Помните, не существует такой рамки, как «рамка электромагнитного поля». Кадр устанавливается на конкретную точку пространства-времени, а не на расширяющееся поле или линию потока как математический объект. Это другая проблема, если вы рассматриваете поток как физическую сущность (см. Квант магнитного потока ) или рассматриваете эффективное / относительное определение движения / вращения поля (см. Ниже). Эта заметка помогает разрешить парадокс.

Сила Лоренца перпендикулярна как скорости электронов, которая находится в плоскости диска, так и магнитному полю, которое перпендикулярно ( нормали к поверхности ) к диску. Электрон, находящийся в состоянии покоя в рамке диска, движется по кругу вместе с диском относительно B-поля (то есть оси вращения или лабораторной рамки, помните примечание выше), и поэтому испытывает радиальную силу Лоренца. На рис. 1 эта сила (действующая на положительный заряд, а не на электрон) направлена ​​наружу к ободу в соответствии с правилом правой руки.

Конечно, эта радиальная сила, которая является причиной тока, создает радиальную составляющую скорости электронов, генерируя, в свою очередь, свою собственную составляющую силы Лоренца, которая противодействует круговому движению электронов, стремясь замедлить вращение диска, но электроны сохраняют компонент кругового движения, который продолжает управлять током за счет радиальной силы Лоренца.

Использование специальных приемов с законом Фарадея [ править ]

Поток через часть пути от щетки на ободе, через внешнюю петлю и ось к центру диска всегда равен нулю, потому что магнитное поле находится в плоскости этого пути (не перпендикулярно ему), нет независимо от того, что вращается, поэтому интегрированная ЭДС вокруг этой части пути всегда равна нулю. Поэтому внимание сосредоточено на участке пути от оси через диск до щетки на ободе.

Закон индукции Фарадея можно выразить словами: ^[12]

Индуцированная электродвижущая сила или ЭДС в любой замкнутой цепи равна скорости изменения магнитного потока через цепь во времени.

Математически закон формулируется:

${\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {d\Phi _{B}}{dt}}=-{\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}d{\boldsymbol {A}}\cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t)\ ,}$

где Φ _B - поток, а d A - векторный элемент площади движущейся поверхности Σ ( t ), ограниченной петлей, вокруг которой должна быть найдена ЭДС.

Как этот закон может быть связан с генератором дисков Фарадея, где магнитная связь представляет собой просто B-поле, умноженное на площадь диска?

Один из подходов состоит в том, чтобы определить понятие «скорость изменения потокосцепления», проведя гипотетическую линию поперек диска от щетки к оси и спросив, сколько потокосцеплений проходит мимо этой линии в единицу времени. См. Рисунок 2. Предполагая радиус R для диска, сектор диска с центральным углом θ имеет площадь:

${\displaystyle A={\frac {\theta }{2\pi }}\pi R^{2}\ ,}$

так что скорость прохождения потока мимо воображаемой линии равна

${\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {d\Phi _{B}}{dt}}=B{\frac {dA}{dt}}=B\ {\frac {R^{2}}{2}}\ {\frac {d\theta }{dt}}=B\ {\frac {R^{2}}{2}}\omega \ ,}$

при ω = dθ / dt угловая скорость вращения. Знак выбирается на основании закона Ленца : поле, создаваемое движением, должно противодействовать изменению потока, вызванному вращением. Например, схема с радиальным сегментом на Рисунке 2 согласно правилу правой руки добавляет к приложенному B-полю, стремясь увеличить потокосцепление. Это говорит о том, что поток через этот путь уменьшается из-за вращения, поэтому dθ / dt отрицательно.

Этот результат отсечения магнитного потока для ЭДС можно сравнить с расчетом работы, совершаемой на единицу заряда, заставляющую бесконечно малый пробный заряд пересечь гипотетическую линию, с использованием силы Лоренца на единицу заряда на радиусе r , а именно | v × B | = Bv = Brω :

${\displaystyle {\mathcal {E}}=\int _{0}^{R}drBr\omega ={\frac {R^{2}}{2}}B\omega \ ,}$

что и есть тот же результат.

Вышеупомянутая методика нахождения потока, отсекаемого схемой, формализована в законе потока путем надлежащего рассмотрения производной по времени ограничивающей поверхности Σ ( t ). Конечно, производная по времени интеграла с ограничениями, зависящими от времени, - это не просто производная по времени одного подынтегрального выражения, о чем часто забывают; см. интегральное правило Лейбница и силу Лоренца .

При выборе поверхности Σ ( t ) ограничения заключаются в том, что (i) она должна быть ограничена замкнутой кривой, вокруг которой должна быть найдена ЭДС, и (ii) она должна фиксировать относительное движение всех движущихся частей схема. Категорически не требуется, чтобы ограничивающая кривая соответствовала физической линии протекания тока. С другой стороны, индукция - это относительное движение, и путь категорически должензафиксировать любое относительное движение. В случае, подобном Рисунку 1, где часть пути тока распределена по области в пространстве, ЭДС, управляющая током, может быть найдена с использованием множества путей. На рисунке 2 показаны две возможности. Все пути включают очевидную петлю возврата, но на диске показаны два пути: один - геометрически простой путь, другой - извилистый. Мы можем выбирать любой путь, который нам нравится, но часть любого приемлемого пути фиксируется в самом диске и вращается вместе с диском. Поток вычисляется через весь путь, обратный контур плюс дисковый сегмент, и определяется скорость его изменения.

В этом примере все эти пути приводят к одинаковой скорости изменения магнитного потока и, следовательно, к одной и той же ЭДС. Чтобы дать некоторое представление об этой независимости пути, на рисунке 3 диск Фарадея развернут на полосу, что делает его похожим на задачу скользящего прямоугольника. В случае скользящего прямоугольника становится очевидным, что характер протекания тока внутри прямоугольника не зависит от времени и, следовательно, не имеет отношения к скорости изменения магнитного потока, соединяющего цепь. Нет необходимости точно учитывать, как ток проходит через прямоугольник (или диск). Любой выбор пути, соединяющего верх и низ прямоугольника (ось-щетку на диске) и перемещающийся с прямоугольником (вращающийся вместе с диском), обеспечивает одинаковую скорость изменения магнитного потока и предсказывает ту же ЭДС. . Для дискаэта оценка скорости изменения магнитного потока такая же, как и оценка, сделанная выше, на основе вращения диска мимо линии, соединяющей щетку с осью.

Конфигурация с обратным путем [ править ]

"Движется" ли магнит, не имеет значения в этом анализе из-за потока, индуцированного в обратном пути. Важнейшее относительное движение - это движение диска и обратного пути, а не диска и магнита. Это становится более ясным, если использовать модифицированный диск Фарадея, в котором обратным путем является не провод, а другой диск. То есть установите два токопроводящих диска рядом друг с другом на одной оси и дайте им скользящий электрический контакт в центре и по окружности. Ток будет пропорционален относительному вращению двух дисков и не зависит от вращения магнита.

Конфигурация без обратного пути [ править ]

Диск Фарадея также может работать без гальванометра или обратного пути. Когда диск вращается, электроны собираются вдоль обода и оставляют дефицит около оси (или наоборот). В принципе возможно измерить распределение заряда, например, с помощью электродвижущей силы, создаваемой между ободом и осью (хотя это не обязательно легко). Это разделение зарядов будет пропорционально относительной скорости вращения диска и магнита.

Парадоксы, в которых закон индукции Фарадея, кажется, предсказывает ненулевую ЭДС, но фактически предсказывает нулевую ЭДС [ править ]

Эти парадоксы обычно разрешаются путем определения того, что кажущееся движение контура на самом деле представляет собой деконструкцию контура с последующей реконструкцией контура на другом пути.

Дополнительное правило [ править ]

В том случае, когда вращается только диск, поток через контур не изменяется, однако возникает электродвижущая сила, индуцированная вопреки закону Фарадея. Мы также можем показать пример, когда есть изменение потока, но нет индуцированного напряжения. На рисунке 5 (справа) показана установка, использованная в эксперименте Тилли. ^[13]Это схема с двумя петлями или сетками. Гальванометр подключен к правому шлейфу, магнит в центре левого шлейфа, переключатель в левом шлейфе и переключатель между шлейфами. Начнем с того, что переключатель слева открыт, а переключатель справа - закрыт. Когда переключатель слева замкнут, а переключатель справа разомкнут, поле магнита не изменяется, но изменяется площадь цепи гальванометра. Это означает, что есть изменение потока. Однако гальванометр не отклонялся, что означает отсутствие наведенного напряжения, и закон Фарадея в этом случае не работает. Согласно А.Г. Келли, это говорит о том, что индуцированное напряжение в эксперименте Фарадея возникает из-за «разрезания» цепи магнитными линиями, а не из-за «индукционной связи».или фактическое изменение потока. Это следует из эксперимента Тилли, потому что силовые линии в цепи не перемещаются и, следовательно, не индуцируется ток, хотя поток через цепь изменяется. Нуссбаум предполагает, что для того, чтобы закон Фарадея имел силу, необходимо проделать работу по изменению потока.^[14]
Чтобы понять эту идею, мы рассмотрим аргумент Нуссбаума. ^[14] Начнем с расчета силы между двумя токоведущими проводами. Усилие на проводе 1, создаваемое проводом 2, определяется по формуле:

${\displaystyle \mathbf {F} _{21}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I_{1}I_{2}\oint _{C_{1}}\oint _{C_{2}}{\frac {d\mathbf {l_{1}} \ \mathbf {\times } \ (d\mathbf {l_{2}} \ \mathbf {\times } \ {\hat {\mathbf {r} }}_{21})}{r_{21}^{2}}}\ }$

Магнитное поле от второго провода определяется выражением:

${\displaystyle \mathbf {B} _{2}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I_{2}\oint _{C_{2}}{\frac {(d\mathbf {l_{2}} \ \mathbf {\times } \ {\hat {\mathbf {r} }}_{21})}{r_{21}^{2}}}\ }$

Таким образом, мы можем переписать силу на проводе 1 как:

${\displaystyle \mathbf {F} _{21}=I_{1}\oint _{C_{1}}d\mathbf {l_{1}} \ \mathbf {\times } \mathbf {B} _{2}}$

Теперь рассмотрим отрезок проводника, перемещаемый в постоянном магнитном поле. Информация о проделанной работе:${\displaystyle d\mathbf {l} }$${\displaystyle d\mathbf {r} }$

${\displaystyle dW=d\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} }$

Если мы подключим то, что нашли ранее, мы получим:${\displaystyle d\mathbf {F} }$

${\displaystyle dW=(Id\mathbf {l} \mathbf {\times } \mathbf {B} )\cdot d\mathbf {r} }$

Площадь, охватываемая смещением проводника:

${\displaystyle d\mathbf {S} =d\mathbf {r} \mathbf {\times } d\mathbf {l} }$

Следовательно:

${\displaystyle dW=I\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} =Id\Phi _{B}}$

Дифференциальная работа также может быть выражена через заряд и разность потенциалов :${\displaystyle dq}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle dW=Vdq=VIdt}$

Уравнивая два уравнения для дифференциальной работы, мы приходим к закону Фарадея.

${\displaystyle d\Phi _{B}=Vdt}$

Кроме того, теперь мы видим, что это верно только в том случае, если не обращается в нуль. Это означает, что закон Фарадея действителен только в том случае, если выполняется работа по изменению потока.${\displaystyle dW}$

Математический способ подтвердить закон Фарадея в подобных ситуациях - это обобщить определение ЭДС, как в доказательстве закона индукции Фарадея :

${\displaystyle EMF=\oint \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {\ell }}}$

Гальванометр обычно измеряет только первый член в ЭДС, который вносит вклад в ток в цепи, хотя иногда он может измерять включение второго члена, например, когда второй член вносит часть тока, который гальванометр измеряет как ЭДС движения, например, в эксперимент с диском Фарадея. В приведенной выше ситуации первый член равен нулю, и только первый член ведет ток, который измеряет гальванометр, поэтому наведенное напряжение отсутствует. Однако закон Фарадея по-прежнему остается в силе, поскольку очевидное изменение магнитного потока относится ко второму члену в приведенном выше обобщении ЭДС. Но гальванометром это не измеряется. Помните${\displaystyle \mathbf {v} }$- это локальная скорость точки в цепи, а не носитель заряда. В конце концов, обе / все эти ситуации согласуются с заботой об относительности и микроструктуре материи и / или полнотой уравнения Максвелла и формулы Лоренца, или их комбинации, гамильтоновой механики .

См. Также [ править ]

• Закон индукции Фарадея
• Сила Лоренца
• Проблема с подвижным магнитом и проводником
• Электрическое поле коротации

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Майкл Фарадей, «Экспериментальные исследования электричества», том I, первая серия, 1831 г. в «Великих книгах западного мира», том 45, Р.М. Хатчинс, изд., Encyclopdia Britannica, Inc., Чикагский университет, 1952 г. [1]
• «Электромагнитная индукция: физика и воспоминания» (PDF) Джузеппе Джулиани - подробности силы Лоренца в диске Фарадея
• «Униполярное электрическое динамо» - содержит вывод уравнения для ЭДС диска Фарадея.
• Колонка Дона Ланкастера "Tech Musings", февраль 1998 г. - о практической неэффективности диска Фарадея
• "Последняя загадка Фарадея: вращается ли поле с помощью магнита?" (PDF) - противоположная теория, но содержит полезные ссылки на эксперименты Фарадея.
• PJ Scanlon, RN Henriksen и JR Allen, "Подходы к электромагнитной индукции", Am. J. Phys. 37, 698–708 (1969). - описывает, как применить закон Фарадея к диску Фарадея
• Хорхе Гуала-Вальверде, Педро Маццони, Рикардо Ахиллес "Униполярный двигатель: настоящий релятивистский двигатель", Am. J. Phys. 70 (10), 1052–1055 (октябрь 2002 г.). - утверждает, что только сила Лоренца может объяснить диск Фарадея, и описывает некоторые экспериментальные доказательства этого
• Фрэнк Манли, вызовы правилу потока Фарадея, Am. J. Phys. 72, 1478 (2004). - обновленное обсуждение концепций в ссылке Scanlon выше.
• Ричард Фейнман, Роберт Лейтон, Мэтью Сэндс, «Лекции Фейнмана по физике, том II», глава 17 - В дополнение к «парадоксу» Фарадея (где связанный поток не изменяется, но индуцируется ЭДС), он описывает «качающиеся пластины. «эксперимент, в котором связанный поток изменяется, но не индуцируется ЭДС. Он показывает, что правильная физика всегда дается комбинацией силы Лоренца с уравнением Максвелла – Фарадея (см. Рамку для цитат), и представляет эти два собственных «парадокса».
• Вращение магнитного поля Ваня Янезич - описывает простой эксперимент, который может сделать каждый. Поскольку в нем участвуют только два тела, его результат менее неоднозначен, чем эксперименты Фарадея, Келли и Гуала-Вальверде с тремя телами.
• У. Ф. Хьюз и Ф. Дж. Янг, Электромагнитодинамика жидкостей, John Wiley & Sons (1965) LCCC # 66-17631. Главы 1. Основы специальной теории относительности и 2. Электродинамика движущихся сред. Из этих глав можно проработать все проблемы наведенной ЭДС и объяснить все связанные с ними парадоксы, обнаруженные в литературе.