Теорема Ферма о прямоугольном треугольнике - это доказательство несуществования в теории чисел , опубликованное в 1670 году среди работ Пьера де Ферма вскоре после его смерти. Это единственное полное доказательство, данное Ферма. [1] У него есть несколько эквивалентных формулировок, одна из которых была сформулирована (но не доказана) в 1225 году Фибоначчи . В своих геометрических формах он гласит:
- Прямоугольный треугольник в евклидовой плоскости , для которых всех три боковых длин рациональных чисел не может иметь область , которая является квадратом рационального числа. Площадь прямоугольного треугольника с рациональными сторонами называется конгруэнтным числом , поэтому никакое конгруэнтное число не может быть квадратным.
- У прямоугольного треугольника и квадрата с равной площадью все стороны не могут быть соизмеримы друг с другом.
- Не существует двух прямоугольных треугольников с целыми сторонами, в которых два катета одного треугольника являются катетом и гипотенузой другого треугольника.
Более абстрактно, как результат о диофантовых уравнениях (целочисленные или рациональные решения полиномиальных уравнений), это эквивалентно утверждениям, что:
- Если три квадратных числа образуют арифметическую прогрессию , то промежуток между последовательными числами в прогрессии (называемый конгруумом ) сам по себе не может быть квадратом.
- Единственные рациональные точки на эллиптической кривой это три тривиальные точки с а также .
- Уравнение четвертой степени не имеет ненулевого целочисленного решения.
Непосредственным следствием последней из этих формулировок является то, что Великая теорема Ферма верна в частном случае, когда ее показатель равен 4.
Формулировка
Квадраты в арифметической прогрессии
В 1225 году император Фридрих II призвал математика Фибоначчи принять участие в математическом состязании с несколькими другими математиками с тремя задачами, поставленными его придворным философом Джоном Палермо. Первая из этих задач требовала трех рациональных чисел, квадраты которых были равномерно разнесены на пять единиц друг от друга, и была решена Фибоначчи с тремя числами., , а также . В «Книге квадратов» , опубликованной позже в том же году Фибоначчи, он решил более общую проблему поиска троек квадратных чисел, которые расположены на одинаковом расстоянии друг от друга, образуя арифметическую прогрессию . Фибоначчи назвал разрыв между этими числами конгруумом . [2] Один из способов описания решения Фибоначчи состоит в том , что возводимые в квадрат числа представляют собой разность катетов, гипотенузу и сумму катетов треугольника Пифагора , и что конгруум в четыре раза больше площади того же треугольника. [3] Фибоначчи заметил, что конгруум не может быть сам по себе квадратным числом, но не представил удовлетворительного доказательства этого факта. [4]
Если три квадрата , , а также мог образовывать арифметическую прогрессию, сравнение которой также было квадратом , то эти числа удовлетворяли бы диофантовым уравнениям
Площади прямоугольных треугольников
Поскольку конгруа - это в точности числа, которые в четыре раза больше площади треугольника Пифагора, а умножение на четыре не меняет, является ли число квадратным, существование квадратного конгруума эквивалентно существованию треугольника Пифагора с квадратной площадью. . Доказательство Ферма касается именно этого варианта проблемы: он показывает, что такого треугольника не существует. При рассмотрении этой проблемы Ферма был вдохновлен не Фибоначчи, а изданием « Арифметики » Диофанта , опубликованным в переводе на французский язык в 1621 году Клодом Гаспаром Баше де Мезириаком . [6] В этой книге описаны различные специальные прямоугольные треугольники , площади которых имеют форму квадратов, но не рассматривается случай площадей, которые сами по себе являются квадратными. [7]
Переставив уравнения для двух вышеупомянутых треугольников Пифагора, а затем умножив их вместе, можно получить одно диофантово уравнение
Другая эквивалентная формулировка той же проблемы включает конгруэнтные числа , числа, которые представляют собой площади прямоугольных треугольников, все три стороны которых являются рациональными числами . Умножая стороны на общий знаменатель, любое конгруэнтное число можно преобразовать в площадь треугольника Пифагора, из чего следует, что конгруэнтные числа - это в точности числа, образованные умножением конгруума на квадрат рационального числа. [8] Следовательно, существование квадратного конгруума эквивалентно утверждению, что число 1 не является конгруэнтным числом. [9] Другой, более геометрический способ сформулировать эту формулировку состоит в том, что квадрат (геометрическая форма) и прямоугольный треугольник не могут иметь равные площади и все стороны соизмеримы друг с другом. [10]
Эллиптическая кривая
Еще одна эквивалентная форма теоремы Ферма включает эллиптическую кривую, состоящую из точек, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению
Доказательство Ферма
В течение своей жизни Ферма бросил вызов нескольким другим математикам, чтобы доказать несуществование треугольника Пифагора с квадратной площадью, но сам не опубликовал это доказательство. Однако он написал доказательство в своем экземпляре « Арифметики » Диофанта , в том же экземпляре, в котором он написал, что может доказать Великую теорему Ферма . Сын Ферма Клемент-Самуэль опубликовал издание этой книги, включая заметки Ферма на полях с доказательством теоремы о прямоугольном треугольнике, в 1670 году [12].
Доказательство Ферма - это доказательство бесконечным спуском . Он показывает, что из любого примера треугольника Пифагора с квадратной площадью можно вывести меньший пример. Поскольку треугольники Пифагора имеют положительные целые площади и не существует бесконечной убывающей последовательности положительных целых чисел, не может существовать и треугольник Пифагора с квадратной площадью. [13]
Более подробно, предположим, что , , а также - целые стороны прямоугольного треугольника с квадратной площадью. Разделив на какие-либо общие множители, можно предположить, что этот треугольник примитивен [10], и из известной формы всех примитивных пифагоровых троек можно положить, , а также , с помощью которого задача трансформируется в поиск относительно простых целых чисел а также (один из которых четный) такой, что площадь квадратный. Чтобы это число было квадратом, его четыре линейных фактора, , , а также (которые являются относительно простыми) сами должны быть квадратами; позволять а также . Оба а также должно быть нечетным, поскольку ровно один из или же четное, а другое - нечетное. Таким образом, оба а также четны, и одно из них делится на 4. Деление на два дает еще два целых числа. а также , одно из которых даже по предыдущему предложению. Так как квадрат, а также являются катетами другого примитивного треугольника Пифагора, площадь которого равна . С сам по себе является квадратом, и поскольку даже, это квадрат. Таким образом, любой треугольник Пифагора с квадратной площадью приводит к меньшему треугольнику Пифагора с квадратной площадью, завершая доказательство. [14]
Заметки
- ^ Эдвардс (2000) . Многие последующие математики опубликовали доказательства, включая Готфрида Вильгельма Лейбница (1678 г.), Леонарда Эйлера (1747 г.) и Бернара Френикла де Бесси (до 1765 г.); см. Диксон (1920) и Голдштейн (1995) .
- ^ Брэдли (2006) .
- ^ Бейлер (1964) .
- ^ Руда (2012) ; Диксон (1920) .
- ^ Тот факт, что не может быть двух прямоугольных треугольников, имеющих две стороны, и связь между этой проблемой и проблемой квадратов в арифметической прогрессии, описывается Купером и Пуарелем как «хорошо известный» ( Cooper & Poirel, 2008).
- ^ Эдвардс (2000) .
- ^ а б Стиллвелл (1998) .
- ^ Конрад (2008) ; Коблиц (1993 , с. 3).
- ^ Конрад (2008) , теорема 2; Коблиц (1993) , Упражнение 3, стр. 5.
- ^ а б Диксон (1920) .
- ^ Коблиц (1993) , предложение 19, стр 46-47. Като и Сайто (2000) .
- ^ Эдвардс (2000) ; Диксон (1920) . Другие доказательства см. В Grant & Perella (1999) и Barbara (2007) .
- ^ Эдвардс (2000) ; Диксон (1920) .
- ^ Эдвардс (2000) ; Диксон (1920) ; Стиллвелл (1998) .
Рекомендации
- Барбара, Рой (июль 2007 г.), "91.33 Последняя теорема Ферма в случае ", Примечания, The Mathematical Gazette , 91 : 260–262, JSTOR 40378352
- Бейлер, Альберт Х. (1964), Развлечение в теории чисел: развлекает королева математики , Dover Books, стр. 153, ISBN 978-0-486-21096-4
- Брэдли, Майкл Джон (2006), Рождение математики: Древние времена до 1300 г. , Infobase Publishing, стр. 124, ISBN 978-0-8160-5423-7
- Конрад, Кейт (осень 2008 г.), «Проблема конгруэнтных чисел» (PDF) , Harvard College Mathematical Review , 2 (2): 58–73, заархивировано из оригинального (PDF) 20 января 2013 г.
- Купер, Джошуа; Пуарель, Крис (2008), Пифагорова регулярность разбиений и упорядоченные тройные системы со свойством суммы , arXiv : 0809.3478
- Диксон, Леонард Юджин (1920), «Сумма или разность двух биквадратов никогда не бывает квадратом; площадь рационального прямоугольного треугольника никогда не бывает квадратом» , История теории чисел, том II: диофантовый анализ , Вашингтонский институт Карнеги, стр. 615–620
- Эдвардс, Гарольд М. (2000), «1,6 Ферма одно доказательства» , Великая теорема Ферма: Генетическое введение в алгебраические теории чисел , Graduate тексты по математике, 50 , Springer, С. 10-14,. ISBN 978-0-387-95002-0
- Гольдштейн, Кэтрин (1995), Теорема Ферма и другие лекторы , Сен-Дени: Press Universaires de Vincennes
- Грант, Майк; Perella, Malcolm (июль 1999), "83,25 Убывание к иррациональному", отмечает, Математическая газета , 83 : 263-267, DOI : 10,2307 / 3619054 , JSTOR 3619054
- Като, Казуя; Сайто, Такеши (2000), Теория чисел: мечта Ферма , Переводы математических монографий, перевод Нобусиге Курокава, Американское математическое общество, стр. 17, ISBN 978-0-8218-0863-4
- Коблитц, Нил (1993), Введение в эллиптические кривые и модульные формы , Тексты для выпускников по математике, 97 (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-97966-2
- Оре, Эйстейн (2012), Теория чисел и ее история , Dover Books, стр. 202–203, ISBN 978-0-486-13643-1
- Стиллвелл, Джон (1998), «4.7 Область рациональных прямоугольных треугольников» , Числа и геометрия , Тексты для студентов по математике , Springer, стр. 131–133, ISBN 978-0-387-98289-2