Конечная геометрия

Конечная аффинная плоскость порядка 2, содержащая 4 «точки» и 6 «прямых». Линии одного цвета «параллельны». Центр фигуры не является «точкой» этой аффинной плоскости, поэтому две зеленые «линии» не «пересекаются».

Геометрия
Проецирование в сферу на плоскости
Контур История
ветви Евклидово Неевклидово Эллиптический Сферический Гиперболический Неархимедова геометрия Проективный Аффинный Синтетический Аналитический Алгебраический Арифметика Диофантин Дифференциальный Риманов Симплектический Дискретный дифференциал Сложный Конечный Дискретный / Комбинаторный Цифровой Выпуклый Вычислительная Фрактал Заболеваемость
Концепции Функции Измерение Конструкции линейки и компаса Угол Изгиб Диагональ Ортогональность ( перпендикулярность ) Параллельный Вершина Конгруэнтность Сходство Симметрия
Нульмерный Точка
Одномерный Линия сегмент луч Длина
Двумерный Самолет Площадь Многоугольник Треугольник Высота Гипотенуза теорема Пифагора Параллелограмм Квадрат Прямоугольник Ромб Ромбовидный Четырехугольник Трапеция летающий змей Круг Диаметр Длина окружности Площадь
Трехмерный Объем Куб кубовид Цилиндр Пирамида Сфера
Четырех- / другое измерение Тессеракт Гиперсфера
Геометры
по имени Аида Арьябхата Ахмес Альхазен Аполлоний Архимед Атья Баудхаяна Бойяи Брахмагупта Картан Coxeter Декарт Евклид Эйлер Гаусс Громов Гильберта Джиешхадева Катьяяна Хайям Кляйн Лобачевский Манава Минковский Минггату Паскаль Пифагор Парамешвара Пуанкаре Риман Сакабэ Sijzi ат-Туси Веблен Вирасена Ян Хуэй аль-Ясамин Чжан Список геометров
по периоду До н.э. Ахмес Баудхаяна Манава Пифагор Евклид Архимед Аполлоний 1–1400 Чжан Катьяяна Арьябхата Брахмагупта Вирасена Альхазен Sijzi Хайям аль-Ясамин ат-Туси Ян Хуэй Парамешвара 1400–1700 гг. Джиешхадева Декарт Паскаль Минггату Эйлер Сакабэ Аида 1700–1900-е гг. Гаусс Лобачевский Бойяи Риман Кляйн Пуанкаре Гильберта Минковский Картан Веблен Coxeter Сегодняшний день Атья Громов
v т е

Конечная геометрия является любой геометрической системой , которая имеет только конечное число точек . Знакомая евклидова геометрия не конечна, потому что евклидова прямая содержит бесконечно много точек. Геометрия, основанная на графике, отображаемой на экране компьютера, где пиксели считаются точками, будет конечной геометрией. Хотя существует много систем, которые можно было бы назвать конечными геометриями, внимание в основном уделяется конечным проективным и аффинным пространствам из-за их регулярности и простоты. Другими важными типами конечной геометрии являются конечные плоскости Мебиуса или инверсивные плоскости иПлоскости Лагерра , которые являются примерами общего типа, называемого плоскостями Бенца , и их многомерными аналогами, такими как высшие конечные инверсивные геометрии .

Конечная геометрия может быть построена с помощью линейной алгебры , начиная с векторных пространств над конечным полем ; Построенные таким образом аффинная и проективная плоскости называются геометриями Галуа . Конечная геометрия также может быть определена чисто аксиоматически. Наиболее распространенными конечными геометриями являются геометрии Галуа, поскольку любое конечное проективное пространство размерности три или больше изоморфно проективному пространству над конечным полем (то есть проективизации векторного пространства над конечным полем). Однако у размерности два есть аффинные и проективные плоскости, которые не изоморфны геометрии Галуа, а именно недезарговы плоскости.. Аналогичные результаты справедливы и для других типов конечной геометрии.

Конечные плоскости [ править ]

Следующие замечания относятся только к конечным плоскостям . Есть два основных вида геометрии конечных плоскостей: аффинная и проективная . В аффинной плоскости применяется нормальный смысл параллельных прямых. В проективной плоскости , напротив, любые две прямые пересекаются в единственной точке, поэтому параллельных прямых не существует. Как конечная аффинная плоская геометрия, так и конечная проективная плоская геометрия могут быть описаны довольно простыми аксиомами .

Конечные аффинные плоскости [ править ]

Геометрия аффинной плоскости - это непустое множество X (элементы которого называются «точками») вместе с непустым набором L подмножеств X (элементы которого называются «линиями»), такое что:

1. Для каждых двух различных точек есть ровно одна линия, содержащая обе точки.
2. Аксиома Playfair : даны линия и точка, не включенные , существует ровно одна строка, содержащая такую, что${\ displaystyle \ ell}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ ell}$${\ displaystyle \ ell '}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ ell \ cap \ ell '= \ varnothing.}$
3. Существует набор из четырех точек, никакие три из которых не принадлежат одной линии.

Последняя аксиома гарантирует, что геометрия не является тривиальной ( пустой или слишком простой, чтобы представлять интерес, например, одна линия с произвольным количеством точек на ней), в то время как первые две определяют характер геометрии.

Простейшая аффинная плоскость содержит всего четыре точки; она называется аффинной плоскостью порядка 2. (Порядок аффинной плоскости - это количество точек на любой прямой, см. ниже.) Поскольку никакие три не коллинеарны, любая пара точек определяет единственную прямую, и поэтому эта плоскость содержит шесть строк. Он соответствует тетраэдру, в котором непересекающиеся ребра считаются «параллельными», или квадрату, в котором «параллельными» считаются не только противоположные стороны, но и диагонали. В более общем смысле конечная аффинная плоскость порядка n имеет n ² точек и n ² + n прямых; каждая строка содержит n точек, и каждая точка находится на n + 1линий. Аффинная плоскость порядка 3 известна как конфигурация Гессе .

Конечные проективные плоскости [ править ]

Геометрия проективной плоскости - это непустое множество X (элементы которого называются «точками») вместе с непустым набором L подмножеств X (элементы которого называются «линиями»), такое что:

1. Для каждых двух различных точек есть ровно одна линия, содержащая обе точки.
2. Пересечение любых двух различных прямых содержит ровно одну точку.
3. Существует набор из четырех точек, никакие три из которых не принадлежат одной линии.

Изучение первых двух аксиом показывает, что они почти идентичны, за исключением того, что роли точек и линий поменялись местами. Это предполагает принцип двойственности для геометрий проективной плоскости, означающий, что любое истинное утверждение, действительное во всех этих геометриях, остается верным, если мы меняем точки на прямые, а прямые на точки. Наименьшая геометрия, удовлетворяющая всем трем аксиомам, содержит семь точек. В этой простейшей проективной плоскости также есть семь линий; каждая точка находится на трех линиях, и каждая линия содержит три точки.

Эту конкретную проективную плоскость иногда называют плоскостью Фано . Если какой - либо из линий удаляется из плоскости вместе с точками на этой линии, в результате чего геометрия является аффинная плоскость порядка плоскости 2. Фано называется на проективную плоскость порядка 2 , так как это единственный ( с точностью до изоморфизма) . В общем, проективная плоскость порядка n имеет n ²  +  n  + 1 точек и такое же количество прямых; каждая строка содержит n  + 1 точку, и каждая точка находится на n  + 1 строках.

Перестановка семи точек плоскости Фано, которая переносит коллинеарные точки (точки на одной прямой) в коллинеарные точки, называется коллинеарностью плоскости. Полная группа коллинеаций имеет порядок 168 и изоморфна группе PSL (2,7) ≈ PSL (3,2), которая в этом частном случае также изоморфна общей линейной группе GL (3,2) ≈ PGL ( 3,2) .

Порядок самолетов [ править ]

Конечная плоскость порядка n - это такая, что каждая прямая имеет n точек (для аффинной плоскости) или такая, что каждая прямая имеет n + 1 точку (для проективной плоскости). Один из основных открытых вопросов в конечной геометрии:

Всегда ли порядок конечной плоскости является степенью простых чисел?

Предполагается, что это правда.

Аффинные и проективные плоскости порядка n существуют, когда n - степень простого числа ( простое число, возведенное в положительный целочисленный показатель ), с помощью аффинных и проективных плоскостей над конечным полем с n = p ^k элементами. Плоскости, не полученные из конечных полей, также существуют (например, для ), но все известные примеры имеют порядок степени простого числа. ^[1]${\ displaystyle n = 9}$

Лучшим общим результатом на сегодняшний день является теорема Брука – Райзера 1949 года, которая гласит:

Если n является положительным целым числом в форме 4 k + 1 или 4 k + 2, и n не равно сумме двух целых квадратов , то n не встречается в порядке конечной плоскости.

Наименьшее целое число, которое не является степенью простого числа и не покрывается теоремой Брука – Райзера, равно 10; 10 имеет вид 4 k + 2 , но он равен сумме квадратов 1 ² + 3 ² . Несуществование конечной плоскости порядка 10 было доказано компьютерным доказательством , завершившимся в 1989 г. - см. ( Лам 1991 ) подробности.

Следующее наименьшее число, которое следует рассмотреть, - 12, для которого не было доказано ни положительного, ни отрицательного результата.

История [ править ]

Отдельные примеры можно найти в работе Томаса Пенингтона Киркмана (1847) и систематическом развитии конечной проективной геометрии, данном фон Штаудтом (1856).

Первый аксиоматический подход к конечной проективной геометрии был разработан итальянским математиком Джино Фано . В своей работе ^[2] на доказательство независимости множества аксиом для проективного п -пространства , что он разработал, ^[3] он рассматривал конечное трехмерное пространство с 15 точек, 35 линий и 15 плоскостей (см диаграммы), в которой на каждой линии было только три точки. ^[4]

В 1906 году Освальд Веблен и WH Bussey описали проективную геометрию, используя однородные координаты с элементами из поля Галуа GF ( q ). Когда используются n + 1 координаты, n -мерная конечная геометрия обозначается PG ( n, q ). ^[5] Он возникает в синтетической геометрии и имеет связанную группу преобразований .

Конечные пространства 3 или более размеров [ править ]

О некоторых важных различиях между геометрией конечной плоскости и геометрией многомерных конечных пространств см. Аксиоматическое проективное пространство . Обсуждение многомерных конечных пространств в целом см., Например, в работах JWP Hirschfeld . Изучение этих многомерных пространств ( n ≥ 3 ) имеет много важных приложений в продвинутых математических теориях.

Аксиоматическое определение [ править ]

Проективное пространство S может быть определенно аксиоматический как множества P (множество точек), вместе с набором L подмножеств P (множество линий), удовлетворяющим эти аксиомы: ^[6]

• Каждые две различные точки p и q находятся ровно на одной прямой.
• Аксиома Веблена : ^[7] Если a , b , c , d - разные точки и прямые, проходящие через ab и cd, пересекаются, то пересекаются прямые, проходящие через ac и bd .
• На любой линии должно быть не менее 3 точек.

Последняя аксиома исключает приводимые случаи, которые могут быть записаны как несвязное объединение проективных пространств вместе с двухточечными прямыми, соединяющими любые две точки в различных проективных пространствах. Более абстрактно, это может быть определено как структура инцидентности ( P , L , I ), состоящая из набора P точек, набора L прямых и отношения инцидентности I , определяющего, какие точки лежат на каких линиях.

Для получения конечного проективного пространства требуется еще одна аксиома:

• Множество точек P - конечное множество.

В любом конечном проективном пространстве каждая строка содержит одинаковое количество точек, а порядок пространства определяется как на единицу меньше этого общего числа.

Подпространство проективного пространства - это подмножество X , такое, что любая прямая, содержащая две точки X, является подмножеством X (то есть полностью содержится в X ). Полное пространство и пустое пространство всегда являются подпространствами.

Геометрическая размерность пространства называется п , если это наибольшее число , для которого существует строго возрастающая цепочка подпространств этой формы:

${\displaystyle \varnothing =X_{-1}\subset X_{0}\subset \cdots \subset X_{n}=P.}$

Алгебраическое построение [ править ]

Этим аксиомам удовлетворяет стандартная алгебраическая конструкция систем. Для тела D построить ( n + 1) -мерное векторное пространство над D (размерность векторного пространства - это количество элементов в базисе). Пусть P - одномерные (с одним образующим) подпространства, а L - 2-мерные (два независимых образующих) подпространства (замкнутые относительно векторного сложения) этого векторного пространства. Заболеваемость - это сдерживание. Если D конечно, то это должно быть конечное поле GF ( q ), поскольку по малой теореме Веддербернавсе конечные тела являются полями. В этом случае эта конструкция дает конечное проективное пространство. Более того, если геометрическая размерность проективного пространства не меньше трех, то существует тело, из которого это пространство может быть построено таким образом. Следовательно, все конечные проективные пространства геометрической размерности не менее трех определены над конечными полями. Конечное проективное пространство, определенное над таким конечным полем, имеет q + 1 точку на прямой, поэтому два понятия порядка совпадают. Такое конечное проективное пространство обозначается PG ( n , q ) , где PG обозначает проективную геометрию, n - геометрическое измерение геометрии, а q размер (порядок) конечного поля, используемого для построения геометрии.

В общем, количество k -мерных подпространств PG ( n , q ) дается произведением: ^[8]

${\displaystyle {{n+1} \choose {k+1}}_{q}=\prod _{i=0}^{k}{\frac {q^{n+1-i}-1}{q^{i+1}-1}},}$

который является гауссовским биномиальным коэффициентом , q аналогом биномиального коэффициента .

Классификация конечных проективных пространств по геометрической размерности [ править ]

• Размер 0 (без линий): пространство представляет собой одну точку и настолько вырождено, что обычно игнорируется.
• Размер 1 (ровно одна линия): все точки лежат на единственной прямой, называемой проективной линией .
• Размер 2: есть как минимум 2 линии, и любые две линии пересекаются. Проективное пространство при n = 2 - проективная плоскость . Их гораздо сложнее классифицировать, поскольку не все они изоморфны PG ( d , q ) . В дезарговы плоскостях (те , которые изоморфны с PG (2, д ) ) удовлетворяет теоремы Дезарг и проективные плоскости над конечными полями, но есть много недезарговых самолетов .
• Размер не менее 3: существуют две непересекающиеся линии. Теорема Веблена – Янга утверждает в конечном случае, что любое проективное пространство геометрической размерности n ≥ 3 изоморфно PG ( n , q ) , n -мерному проективному пространству над некоторым конечным полем GF ( q ).

Наименьшее проективное трехпространство [ править ]

Наименьшее 3-мерное проективное пространство находится над полем GF (2) и обозначается PG (3,2) . В нем 15 точек, 35 линий и 15 плоскостей. Каждая плоскость содержит 7 точек и 7 линий. Каждая строка содержит 3 точки. В геометрии, эти плоскости изоморфно к плоскости Фано .

Каждая точка содержится в 7 строках. Каждая пара различных точек содержится ровно в одной прямой, и каждая пара различных плоскостей пересекается ровно на одной прямой.

В 1892 году Джино Фано первым рассмотрел такую ​​конечную геометрию.

Проблема школьницы Киркмана [ править ]

PG (3,2) возникает как фон для решения проблемы школьницы Киркмана , которая гласит: «Пятнадцать школьниц ходят каждый день в пяти группах по три человека. Организуйте прогулку девочек в течение недели так, чтобы за это время каждая пара девочки гуляют вместе в группе только один раз ». Есть 35 различных комбинаций для прогулок девочек. Также есть 7 дней в неделю, по 3 девушки в каждой группе. Два из семи неизоморфных решений этой проблемы могут быть сформулированы в терминах структур в 3-пространстве Фано, PG (3,2), известных как упаковки . Распространение проективного пространства является разделточек на непересекающиеся линии, а упаковка - это разбиение линий на непересекающиеся развороты. В PG (3,2) разброс представляет собой разделение 15 точек на 5 непересекающихся линий (по 3 точки на каждой линии), что соответствует расположению школьниц в определенный день. Упаковка PG (3,2) состоит из семи непересекающихся разворотов и, таким образом, соответствует полной неделе аранжировок.

См. Также [ править ]

• Блочная конструкция - это обобщение конечной проективной плоскости.
• Обобщенный многоугольник
• Геометрия падения
• Линейное пространство (геометрия)
• Рядом с полигоном
• Частичная геометрия
• Полярное пространство

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Баттен, Линн Маргарет (1997), комбинаторика конечных геометрий , Cambridge University Press, ISBN 0521590140
• Бойтельшпахер, Альбрехт; Розенбаум, Юте (1998), Проективная геометрия: от основ до приложений , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-48364-3, Руководство по ремонту  1629468
• Коллино, Альберто; Конте, Альберто; Верра, Алессандро (2013). «О жизни и научной деятельности Джино Фано». arXiv : 1311.7177 .
• Дембовски, Питер (1968), Конечные геометрии , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, MR  0233275
• Ив, Ховард (1963), Обзор геометрии: Том первый , Бостон: Allyn and Bacon Inc.
• Холл, Маршалл (1943), "Проективные плоскости", Труды Американского математического общества , Американского математического общества, 54 (2): 229-277, DOI : 10,2307 / 1990331 , ISSN  0002-9947 , JSTOR  1990331 , MR  0008892
• Lam, CWH (1991), "В поисках конечной проективной плоскости порядка 10" , American Mathematical Monthly , 98 (4): 305-318, DOI : 10,2307 / 2323798

• Малькевич, Джо. "Конечная геометрия?" . Проверено 2 декабря 2013 года .
• Месерв, Брюс Э. (1983), Фундаментальные концепции геометрии , Нью-Йорк: Dover Publications
• Польстер, Буркард (1999). «Да, зачем пробовать ее сырую мокрую шляпу: тур по самому маленькому проективному пространству». Математический интеллект . 21 (2): 38–43. DOI : 10.1007 / BF03024845 .
• Сегре, Бениамино (1960), О геометриях Галуа (PDF) , Нью-Йорк: Cambridge University Press, стр. 488–499, заархивировано из оригинала (PDF) 30 марта 2015 г. , получено 2 июля 2015 г.

• Шулт, Эрнест Э. (2011), точки и линии , Universitext, Springer, DOI : 10.1007 / 978-3-642-15627-4 , ISBN 978-3-642-15626-7

• Болл, Симеон (2015), Конечная геометрия и комбинаторные приложения , Студенческие тексты Лондонского математического общества, Cambridge University Press, ISBN 978-1107518438.

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Конечная геометрия» . MathWorld .
• Геометрия падения Эрика Мурхауса
• Алгебраическая комбинаторная геометрия , Теренс Тао
• Очерк конечной геометрии Майкла Гринберга
• Конечная геометрия (сценарий)
• Ресурсы конечной геометрии
• JWP Hirschfeld , исследователь конечной геометрии
  • Книги Хиршфельда по конечной геометрии
• Колонка AMS: Конечная геометрия?
• Геометрия Галуа и обобщенные многоугольники , интенсив, 1998 г.
• Карнахан, Скотт (2007-10-27), «Малые конечные множества» , секретный семинар по ведению блогов , примечания к докладу Жан-Пьера Серра о канонических геометрических свойствах малых конечных множеств.
• «Проблема 31: проблема школьницы Киркмана» в Wayback Machine (архивировано 17 августа 2010 г.)
• Проективная плоскость порядка 12 на MathOverflow.