История геометрии

Часть « Tab.Geometry. » (Таблица геометрии) от 1728 Cyclopaedia .

Геометрия
Проецирование в сферу на плоскости
Контур История
ветви Евклидово Неевклидово Эллиптический Сферический Гиперболический Неархимедова геометрия Проективный Аффинный Синтетический Аналитический Алгебраический Арифметика Диофантин Дифференциальный Риманов Симплектический Дискретный дифференциал Сложный Конечный Дискретный / Комбинаторный Цифровой Выпуклый Вычислительная Фрактал Заболеваемость
Концепции Функции Измерение Конструкции линейки и компаса Угол Изгиб Диагональ Ортогональность ( перпендикулярность ) Параллельный Вершина Конгруэнтность Сходство Симметрия
Нульмерный Точка
Одномерный Линия сегмент луч Длина
Двумерный Самолет Площадь Многоугольник Треугольник Высота Гипотенуза теорема Пифагора Параллелограмм Квадрат Прямоугольник Ромб Ромбовидный Четырехугольник Трапеция летающий змей Круг Диаметр Длина окружности Площадь
Трехмерный Объем Куб кубовид Цилиндр Пирамида Сфера
Четырех- / многомерный Тессеракт Гиперсфера
Геометры
по имени Аида Арьябхата Ахмес Альхазен Аполлоний Архимед Атья Баудхаяна Бойяи Брахмагупта Картан Coxeter Декарт Евклид Эйлер Гаусс Громов Гильберта Джишхадева Катьяяна Хайям Кляйн Лобачевский Манава Минковский Минггату Паскаль Пифагор Парамешвара Пуанкаре Риман Сакабэ Sijzi ат-Туси Веблен Вирасена Ян Хуэй аль-Ясамин Чжан Список геометров
по периоду До н.э. Ахмес Баудхаяна Манава Пифагор Евклид Архимед Аполлоний 1–1400 Чжан Катьяяна Арьябхата Брахмагупта Вирасена Альхазен Sijzi Хайям аль-Ясамин ат-Туси Ян Хуэй Парамешвара 1400–1700 гг. Джишхадева Декарт Паскаль Минггату Эйлер Сакабэ Аида 1700–1900-е гг. Гаусс Лобачевский Бойяи Риман Кляйн Пуанкаре Гильберта Минковский Картан Веблен Coxeter Сегодняшний день Атья Громов
v т е

Геометрия (от древнегреческого : γεωμετρία ; гео- «земля», -метрон «измерение») возникла как область знаний о пространственных отношениях. Геометрия была одной из двух областей досовременной математики , другой - изучением чисел ( арифметикой ).

Классическая геометрия была сосредоточена на конструкциях циркуля и линейки . Геометрия произвела революцию благодаря Евклиду , который ввел математическую строгость и аксиоматический метод, который используется до сих пор. Его книга «Элементы» считается самым влиятельным учебником всех времен и была известна всем образованным людям Запада до середины 20 века. ^[1]

В наше время геометрические концепции были обобщены до высокого уровня абстракции и сложности и были подвергнуты методам исчисления и абстрактной алгебры, так что многие современные отрасли области едва узнаваемы как потомки ранней геометрии. (См. Разделы математики и алгебраической геометрии .)

Ранняя геометрия [ править ]

Самые ранние зарегистрированные истоки геометрии можно проследить до первых народов, которые обнаружили тупые треугольники в древней долине Инда (см. Математику Хараппы ) и древней Вавилонии (см. Вавилонскую математику ) примерно с 3000 г. до н.э. Ранняя геометрия представляла собой набор эмпирически открытых принципов, касающихся длины, углов, площадей и объемов, которые были разработаны для удовлетворения некоторых практических потребностей в геодезии , строительстве , астрономии и различных ремеслах. Среди них были некоторые удивительно сложные принципы, и современному математику может быть трудно вывести некоторые из них без использования исчисления.и алгебра. Например, и египтяне, и вавилоняне знали о версиях теоремы Пифагора примерно за 1500 лет до Пифагора, а индийские сутры Сульбы около 800 г. до н.э. содержали первые утверждения теоремы; у египтян была правильная формула объема усеченной пирамиды.

Египетская геометрия [ править ]

Древние египтяне знали, что они могли приблизительно определить площадь круга следующим образом: ^[2]

Площадь круга ≈ [(Диаметр) x 8/9] ² .

В задаче 30 папируса Ахмеса эти методы используются для вычисления площади круга в соответствии с правилом, согласно которому площадь равна квадрату 8/9 диаметра круга. Это предполагает, что π равно 4 × (8/9) ² (или 3,160493 ...) с ошибкой чуть более 0,63 процента. Это значение было немного менее точным, чем вычисления вавилонян (25/8 = 3,125, в пределах 0,53 процента), но не было превзойдено иначе до приближения Архимеда 211875/67441 = 3,14163, которое имело ошибку чуть более 1 из 10000. .

Ахмес знал современное 22/7 как приближение к π и использовал его, чтобы разделить хекат, хекат х 22 / хх 7/22 = хекат; ^{[ необходима цитата ],} однако, Ахмес продолжал использовать традиционное значение 256/81 для π для вычисления своего объема в гекате, найденного в цилиндре.

Задача 48 связана с использованием квадрата со стороной 9 единиц. Этот квадрат был разрезан на сетку 3x3. Из диагонали угловых квадратов получился неправильный восьмиугольник площадью 63 единицы. Это дало второе значение π, равное 3,111 ...

Две задачи вместе указывают диапазон значений π от 3,11 до 3,16.

Задача 14 Московского математического папируса дает единственный древний пример определения объема усеченной пирамиды, описывающий правильную формулу:

${\ displaystyle V = {\ frac {1} {3}} h (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}$

где a и b - длина основания и верхней стороны усеченной пирамиды, а h - высота.

Вавилонская геометрия [ править ]

Вавилоняне могли знать общие правила измерения площадей и объемов. Они измерили длину окружности как три диаметра, а площадь - как одну двенадцатую квадрата окружности, что было бы правильно, если π было оценено как 3. Объем цилиндра был взят как произведение основания и высота, однако, объем усеченного конуса или квадратной пирамиды ошибочно принималась как произведение высоты на половину суммы оснований. Теорема Пифагора была также известна вавилонянам. Кроме того, было недавнее открытие, в котором на планшете использовалось πкак 3 и 1/8. Вавилоняне также известны вавилонской милей, которая была мерой расстояния, равной примерно семи милям сегодня. Это измерение расстояний в конечном итоге было преобразовано в милю времени, используемую для измерения пути Солнца, следовательно, представляющую время. ^[3] Недавно были сделаны открытия, показывающие, что древние вавилоняне могли открыть астрономическую геометрию почти на 1400 лет раньше европейцев. ^[4]

Ведическая Индия [ править ]

Индийский ведический период имел традицию геометрии, выражавшуюся в основном в строительстве сложных алтарей. Ранние индийские тексты (1-е тысячелетие до нашей эры) на эту тему включают Сатапатха Брахмана и Шульба Сутры . ^{[5] [6] [7]}

Согласно ( Hayashi 2005 , p. 363), Шульба-сутры содержат «самое раннее сохранившееся словесное выражение теоремы Пифагора в мире, хотя оно уже было известно древним вавилонянам».

Диагональная веревка ( akṣṇayā-rajju ) продолговатого (прямоугольника) образует как боковые ( pārśvamāni ), так и горизонтальные ( tiryamānī ) <веревки> по отдельности » ^[8].

Они содержат списки пифагорейских троек , ^[9] , которые являются частными случаями диофантовых уравнений . ^[10] Они также содержат утверждения (которые задним числом мы знаем как приблизительные) о квадрате круга и «обводе квадрата». ^[11]

Baudhayana Sulba Сутра , самый известный и самый старый из Sulba сутр (датирована 8 или 7 -го века до н.э.) содержит примеры простых пифагорейских троек, такие как: , , , , и ^[12] , а также заявление о Теорема Пифагора для сторон квадрата: «Веревка, натянутая по диагонали квадрата, дает площадь, вдвое превышающую размер исходного квадрата». ^[12] Он также содержит общее утверждение теоремы Пифагора (для сторон прямоугольника): «Веревка, натянутая по длине диагонали прямоугольника, образует область, которую вертикальная и горизонтальная стороны составляют вместе». ^[12]${\ displaystyle (3,4,5)}$${\ Displaystyle (5,12,13)}$${\ displaystyle (8,15,17)}$${\displaystyle (7,24,25)}$${\displaystyle (12,35,37)}$

По словам математика С.Г. Дани, вавилонская клинопись Плимптон 322, написанная ок. 1850 г. до н.э. ^[13] «содержит пятнадцать пифагорейских троек с довольно большими записями, в том числе (13500, 12709, 18541), которая является примитивной тройкой ^[14], что, в частности, указывает на то, что существовало сложное понимание этой темы» в Месопотамии в 1850 г. ДО Н.Э. «Поскольку эти таблички предшествуют периоду Сульбасутры на несколько столетий, принимая во внимание контекстуальное появление некоторых троек, разумно ожидать, что подобное понимание было бы там и в Индии». ^[15] Дэни продолжает:

"Поскольку основная цель Сульвасутр заключалась в описании конструкций алтарей и геометрических принципов, связанных с ними, предмет пифагорейских троек, даже если он был хорошо понят, все еще не фигурировал в Сульвасутрах . Возникновение троек в Сульвасутрах можно сравнить с математикой, которую можно встретить во вводной книге по архитектуре или другой подобной прикладной области, и она не соответствовала бы непосредственно общим знаниям по этой теме в то время. Поскольку, к сожалению, не было найдено никаких других одновременных источников возможно, никогда не удастся разрешить этот вопрос удовлетворительным образом ». ^[15]

Всего было составлено три Сульба-сутры . Остальные две, Манава Сульба Сутра, составленная Манавой ( 750-650 гг . До н.э.), и Сутра Апастамба Сульба , составленная Апастамбой (около 600 г. до н.э.), содержали результаты, аналогичные Баудхаяна Сульба Сутре .

Греческая геометрия [ править ]

Классическая греческая геометрия [ править ]

Для древнегреческих математиков геометрия была жемчужиной их наук, достигнув полноты и совершенства методологии, которых не достигала никакая другая отрасль их знаний. Они расширили диапазон геометрии до многих новых видов фигур, кривых, поверхностей и твердых тел; они изменили его методологию с метода проб и ошибок на логический вывод; они признали, что геометрия изучает «вечные формы» или абстракции, физические объекты которых являются лишь приближением; и они развили идею «аксиоматического метода» , используемого до сих пор.

Фалес и Пифагор [ править ]

Фалес (635-543 до н.э.) из Милета (ныне на юго-западе Турции) был первым, кому приписывают дедукцию в математике. Есть пять геометрических утверждений, для которых он написал дедуктивные доказательства, хотя его доказательства не сохранились. Пифагор (582-496 гг. До н.э.) из Ионии, а затем Италии, колонизированной греками, возможно, был учеником Фалеса и путешествовал в Вавилон и Египет.. Теорема, носящая его имя, возможно, не была его открытием, но он, вероятно, был одним из первых, кто дал ее дедуктивное доказательство. Он собрал вокруг себя группу студентов, чтобы изучать математику, музыку и философию, и вместе они открыли для себя большую часть того, что школьники изучают сегодня на своих курсах геометрии. Кроме того, они сделали глубокое открытие несоизмеримых длин и иррациональных чисел .

Платон [ править ]

Платон (427–347 гг. До н.э.) был философом, очень уважаемым греками. Есть история, которую он написал над входом в свою знаменитую школу: «Пусть сюда не входит никто, незнакомый с геометрией». Однако эта история считается неправдой. ^[16] Хотя он сам не был математиком, его взгляды на математику оказали большое влияние. Таким образом, математики согласились с его убеждением, что в геометрии не должны использоваться никакие инструменты, кроме циркуля и линейки - и никогда не должны использоваться измерительные инструменты, такие как линейка с отметками или транспортир , потому что это были инструменты рабочего, не достойные ученого. Это изречение привело к глубокому изучению возможных конструкций компаса и линейки , а также к трем классическим конструктивным проблемам: как использовать эти инструменты дляразрезать угол пополам , чтобы построить куб, вдвое превышающий объем данного куба, и построить квадрат, равный по площади данному кругу. Доказательства невозможности этих построений, наконец достигнутые в XIX веке, привели к важным принципам, касающимся глубокой структуры системы действительных чисел. Аристотель (384–322 гг. До н.э.), величайший ученик Платона, написал трактат о методах рассуждения, используемых в дедуктивных доказательствах (см. « Логика» ), который не был существенно улучшен до 19 века.

Эллинистическая геометрия [ править ]

Евклид [ править ]

Евклид (ок. 325-265 до н. Э.) Из Александрии , вероятно, студент Академии, основанной Платоном, написал трактат в 13 книгах (главах) под названием «Элементы геометрии» , в котором он представил геометрию в идеальной аксиоматической форме. которая стала известна как евклидова геометрия . Трактат не является сборником всего, что эллинистические математики знали в то время о геометрии; Сам Евклид написал еще восемь продвинутых книг по геометрии. Мы знаем из других источников, что Евклид не был первым учебником элементарной геометрии, но он был настолько лучше, что другие вышли из употребления и были потеряны. Он был доставлен в университет в Александрии Птолемеем I, Царь Египта.

Элементы начинались с определений терминов, фундаментальных геометрических принципов (называемых аксиомами или постулатами ) и общих количественных принципов (называемых общими понятиями ), из которых можно было логически вывести всю остальную геометрию. Ниже приведены его пять аксиом, несколько перефразированных, чтобы облегчить чтение по-английски.

1. Любые две точки можно соединить прямой линией.
2. Любую конечную прямую можно продолжить в прямую.
3. Круг можно нарисовать с любым центром и любым радиусом.
4. Все прямые углы равны друг другу.
5. Если две прямые в плоскости пересекаются другой прямой линией (называемой поперечной), а внутренние углы между двумя линиями и поперечной линией, лежащей на одной стороне поперечной, в сумме составляют менее двух прямых углов, то на этой стороне трансверсали две вытянутые прямые пересекутся (также называемый постулатом параллельности ).

Концепции, которые теперь понимаются как алгебра , были геометрически выражены Евклидом, методом, называемым греческой геометрической алгеброй .

Архимед [ править ]

Архимед (287-212 до н.э.) из Сиракуз , Сицилия , когда он был греческим городом-государством , часто считается величайшим из греческих математиков, а иногда даже упоминается как один из трех величайших математиков всех времен (наряду с Исаак Ньютон и Карл Фридрих Гаусс ). Если бы он не был математиком, его все равно вспоминали бы как великого физика, инженера и изобретателя. В своей математике он разработал методы, очень похожие на системы координат аналитической геометрии и предельный процесс интегрального исчисления. Единственный элемент , не хватает для создания этих полей является эффективным алгебраические обозначения , в котором выразить свои понятия ^{[ править]} .

После Архимеда [ править ]

После Архимеда эллинистическая математика начала приходить в упадок. Впереди было еще несколько второстепенных звезд, но золотой век геометрии закончился. Прокл (410–485), автор комментария к первой книге Евклида , был одним из последних важных игроков в эллинистической геометрии. Он был компетентным геометром, но, что более важно, превосходным комментатором предшествовавших ему работ. Большая часть этих работ не сохранилась до наших дней и известна нам только благодаря его комментариям. Римская республика и империя, которые унаследовали и поглотили греческие города-государства, дали прекрасных инженеров, но не выдающихся математиков.

Позднее была сожжена большая Александрийская библиотека . Среди историков растет консенсус в отношении того, что Александрийская библиотека, вероятно, пострадала от нескольких разрушительных событий, но что разрушение языческих храмов Александрии в конце 4-го века было, вероятно, самым серьезным и окончательным. Доказательства этого разрушения являются наиболее окончательными и надежными. Вторжение Цезаря вполне могло привести к потере примерно 40 000-70 000 свитков на складе, прилегающем к порту (как утверждает Лучано Канфора , скорее всего, это были копии, произведенные Библиотекой, предназначенные для экспорта), но вряд ли это повлияло на Библиотеку. или музей, учитывая, что существует достаточно свидетельств того, что оба существовали позже. ^[17]

Гражданские войны, сокращение инвестиций в обслуживание и приобретение новых свитков и в целом снижение интереса к нерелигиозным занятиям, вероятно, способствовали сокращению объема материалов, доступных в Библиотеке, особенно в 4 веке. Серапеум, несомненно, был разрушен Феофилом в 391 году, и музей и библиотека, возможно, стали жертвами той же кампании.

Классическая индийская геометрия [ править ]

В рукописи Бахшали есть несколько геометрических задач (включая задачи об объемах нерегулярных тел). В рукописи Бахшали также «используется десятичная система значений с точкой вместо нуля». ^[18] Ариабхаты «S Aryabhatiya (499) включает в себя вычисление площадей и объемов.

Брахмагупта написал свой астрономический труд Brāhma Sphuṭa Siddhānta в 628 году. Глава 12, содержащая 66 санскритских стихов, была разделена на два раздела: «основные операции» (включая кубические корни, дроби, соотношение и пропорции и бартер) и «практическая математика» (включая смесь, математические ряды, плоские фигуры, укладка кирпичей, распиловка древесины, укладка зерна). ^[19] В последнем разделе он сформулировал свою знаменитую теорему о диагоналях вписанного четырехугольника : ^[19]

Теорема Брахмагупты: если вписанный четырехугольник имеет диагонали, перпендикулярные друг другу, то перпендикулярная линия, проведенная от точки пересечения диагоналей к любой стороне четырехугольника, всегда делит противоположную сторону пополам.

Глава 12 также включала формулу площади вписанного четырехугольника (обобщение формулы Герона ), а также полное описание рациональных треугольников ( т. Е. Треугольников с рациональными сторонами и рациональными площадями).

Формула Брахмагупты: Площадь A вписанного четырехугольника со сторонами длиной a , b , c , d соответственно определяется выражением

${\displaystyle A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$

где s - полупериметр , определяемый по формуле :${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}.}$

Теорема Брахмагупты о рациональных треугольниках: треугольник с рациональными сторонами и рациональной площадью имеет вид:${\displaystyle a,b,c}$

${\displaystyle a={\frac {u^{2}}{v}}+v,\ \ b={\frac {u^{2}}{w}}+w,\ \ c={\frac {u^{2}}{v}}+{\frac {u^{2}}{w}}-(v+w)}$

для некоторых рациональных чисел и . ^[20]${\displaystyle u,v,}$${\displaystyle w}$

Китайская геометрия [ править ]

Первым окончательным трудом (или, по крайней мере, самым старым из существующих) по геометрии в Китае был Мо Цзин , моистский канон раннего философа Мози (470–390 до н.э.). Он был составлен через годы после его смерти его последователями примерно в 330 году до нашей эры. ^[21] Хотя Мо Цзин - самая старая из существующих книг по геометрии в Китае, есть вероятность, что существовали даже более старые письменные материалы. Однако из-за печально известного сожжения книг в результате политического маневра правителя династии Цинь Цинь Шихуана ( годы правления 221–210 до н.э.), множество письменной литературы, созданной до его времени, было уничтожено. Кроме того, Мо Цзинпредставляет геометрические концепции в математике, которые, возможно, слишком продвинуты, чтобы не иметь предшествующей геометрической основы или математического фона, над которыми можно было бы работать.

Мо Цзин описаны различных аспектов многих областей , связанных с физической наукой, и при условии небольшого объема информации по математике , а также. Он предоставил «атомарное» определение геометрической точки, заявив, что линия разделена на части, а часть, у которой нет оставшихся частей (т.е. не может быть разделена на более мелкие части) и, таким образом, образует крайний конец линии, является точкой. . ^[21] Подобно первому и третьему определению Евклида и «началу линии» Платона , Мо Цзин утверждал, что «точка может стоять в конце (линии) или в ее начале, как представление головы. при родах. (Что касается его незаметности) нет ничего похожего на него ».^[22] Подобноатомщики из Демокрита , то Мо Цзин заявил , что точка является наименьшей единицей, и не может быть разрезать пополам, так как не может быть в два раза «ничего». ^[22] Он заявил, что две строки равной длины всегда будут заканчиваться в одном и том же месте, ^[22] при этом приводятся определения для сравнения длин и параллелей , ^[23] наряду с принципами пространства и ограниченного пространства. ^[24] В нем также описан тот факт, что плоскости без качества толщины не могут складываться в стопку, поскольку они не могут соприкасаться друг с другом. ^[25] В книге даны определения окружности, диаметра и радиуса, а также определения объема.^[26]

Период династии Хань (202 г. до н.э. - 220 г. н.э.) в Китае стал свидетелем нового расцвета математики. Одним из старейших китайских математических текстов, представляющих геометрическую прогрессию, был Суан шо шу 186 г. до н.э., в эпоху Западной Хань. Математик, изобретатель и астроном Чжан Хэн (78–139 гг. Н.э.) использовал геометрические формулы для решения математических задач. Хотя приблизительные оценки pi ( π ) были даны в Чжоу Ли (составленном во 2 веке до нашей эры) ^[27]именно Чжан Хэн был первым, кто приложил совместные усилия для создания более точной формулы для числа пи. Чжан Хэн аппроксимировал число Пи как 730/232 (или приблизительно 3,1466), хотя он использовал другую формулу числа Пи для определения сферического объема, используя вместо этого квадратный корень из 10 (или приблизительно 3,162). Цзу Чунчжи (429-500 гг. Н.э.) повысил точность приближения числа пи до 3,1415926–3,1415927, причем 355 ⁄ 113 (率, Милю, подробное приближение) и 22 ⁄ 7 (约 率, Юэлю, грубое приближение) были другое примечательное приближение. ^[28] По сравнению с более поздними работами, формула для числа Пи, данная французским математиком Франциском Виета (1540–1603) попал на полпути между приближениями Зу.

Девять глав математического искусства [ править ]

Девять глав математического искусства , название которых впервые появилось в 179 году нашей эры на бронзовой надписи, были отредактированы и прокомментированы математиком III века Лю Хуэем из Королевства Цао Вэй . В эту книгу вошло множество задач, связанных с применением геометрии, таких как определение площадей поверхности для квадратов и кругов, объемов твердых тел в различных трехмерных формах, а также использование теоремы Пифагора . Книга представила иллюстрированное доказательство теоремы Пифагора, ^[29] содержала письменный диалог между ранним герцогом Чжоу и Шан Гао о свойствах прямоугольного треугольника и теоремы Пифагора, а также относился к астрономическимгномон , круг и квадрат, а также измерения высот и расстояний. ^[30] Редактор Лю Хуэй указал пи как 3,141014, используя 192-сторонний многоугольник , а затем вычислил пи как 3,14159, используя 3072-сторонний многоугольник. Это было точнее, чем современник Лю Хуэя Ван Фань , математик и астроном из Восточного У , представил пи как 3,1555, используя ¹⁴² ⁄ ₄₅ . ^[31] Лю Хуэй также писал о математических исследованиях.для расчета расстояния, измеряемого глубиной, высотой, шириной и площадью поверхности. Что касается твердой геометрии, он выяснил, что клин с прямоугольным основанием и наклонными сторонами с обеих сторон можно разбить на пирамиду и четырехгранный клин. ^[32] Он также выяснил, что клин с трапециевидным основанием и скошенными сторонами с обеих сторон можно сделать так, чтобы образовались два четырехгранных клина, разделенных пирамидой. ^[32] Кроме того, Лю Хуэй описал принцип Кавальери относительно объема, а также метод исключения Гаусса . Из Девяти глав в нем перечислены следующие геометрические формулы, которые были известны во времена бывшей династии Хань (202 г. до н. Э. - 9 г. н. Э.).

Площадки для ^[33]

Объемы для ^[32]

Продолжая геометрическую наследие древнего Китая, было много фигур позже прийти, в том числе знаменитый астроном и математик Шен Куо (1031-1095 н.э.), Ян Хуэй (1238-1298) , который обнаружил треугольник Паскаля , Сюй Guangqi (1562-1633) , и много других.

Золотой век ислама [ править ]

К началу IX века наступил « золотой век ислама », основание Дома мудрости в Багдаде стало отдельной научной традицией средневекового исламского мира , основанной не только на эллинистических, но и на индийских источниках.

Хотя исламские математики наиболее известны своими работами по алгебре , теории чисел и системам счисления , они также внесли значительный вклад в геометрию, тригонометрию и математическую астрономию и были ответственны за развитие алгебраической геометрии .

Аль-Махани (родился в 820 году) задумал свести геометрические задачи, такие как копирование куба, к задачам по алгебре. Аль-Караджи (родился в 953 г.) полностью освободил алгебру от геометрических операций и заменил их операциями арифметического типа, которые сегодня лежат в основе алгебры.

Табит ибн Курра (известный по- латыни как Thebit ) (родился в 836 г.) внес вклад в ряд областей математики, где он сыграл важную роль в подготовке пути к таким важным математическим открытиям, как распространение понятия числа на ( положительное ) действительные числа , интегральное исчисление , теоремы сферической тригонометрии , аналитической геометрии и неевклидовой геометрии . В астрономии Табит был одним из первых реформаторов системы Птолемея , а в механике он был основателем статики.. Важным геометрическим аспектом работы Табита была его книга о композиции отношений. В этой книге Табит имеет дело с арифметическими операциями, применяемыми к отношениям геометрических величин. Греки имели дело с геометрическими величинами, но не думали о них так же, как о числах, к которым можно применить обычные правила арифметики. Введя арифметические операции с величинами, которые ранее считались геометрическими и нечисловыми, Табит положил начало тенденции, которая в конечном итоге привела к обобщению концепции чисел.

В некоторых отношениях Табит критически относится к идеям Платона и Аристотеля, особенно в отношении движения. Казалось бы, здесь его идеи основаны на признании использования аргументов относительно движения в его геометрических аргументах. Другим важным вкладом Табита в геометрию было его обобщение теоремы Пифагора , которое он распространил со специальных прямоугольных треугольников на все треугольники в целом, вместе с общим доказательством . ^[34]

Ибрагим ибн Синан ибн Сабит (родился в 908 году), который представил метод интеграции, более общий, чем у Архимеда , и аль-Кухи (родился в 940 году) были ведущими фигурами в возрождении и продолжении греческой высшей геометрии в исламском мире. Эти математики, и в частности Ибн аль-Хайтам , изучали оптику и исследовали оптические свойства зеркал, сделанных из конических сечений .

Астрономия, хронометраж и география послужили еще одной мотивацией для геометрических и тригонометрических исследований. Например, Ибрагим ибн Синан и его дед Сабит ибн Курра изучали кривые, необходимые для изготовления солнечных часов. И Абу'л-Вафа, и Абу Наср Мансур применили сферическую геометрию в астрономии.

В статье 2007 года в журнале Science было высказано предположение, что плитки гириха обладают свойствами, соответствующими самоподобным фрактальным квазикристаллическим мозаикам, таким как мозаики Пенроуза . ^{[35] [36]}

Возрождение [ править ]

Передача греческой классики до средневековой Европы через арабскую литературу 9 - го до 10 - го века « Исламский Золотой век » началась в 10 - м века и завершилась в латинском переводе 12 - го века . Копия Птолемея «s Альмагест был доставлен обратно в Сицилию Генри Аристиппом (ум. 1162), в качестве подарка от императора до короля Вильгельма I (г. 1154-1166). Анонимный студент из Салерно поехал на Сицилию и перевел Альмагест, а также несколько работ Евклида с греческого на латынь. ^[37] Хотя сицилийцы обычно переводили прямо с греческого, когда греческие тексты были недоступны, они переводили с арабского. Евгений Палермский (ум. 1202) перевел « Оптику» Птолемея на латынь, опираясь на свои знания всех трех языков в этой задаче. ^[38] Строгие дедуктивные методы геометрии, найденные в « Элементах геометрии» Евклида, были заново изучены, и дальнейшее развитие геометрии в стилях Евклида ( евклидова геометрия ) и Хайяма ( алгебраическая геометрия ) продолжалось, что привело к появлению множества новых теорем и концепций. , многие из них очень глубокие и элегантные.

Прогресс в лечении перспективе были сделаны в искусстве эпохи Возрождения 14 - го до 15 - го века , который выходит за рамки того , что было достигнуто в древности. В архитектуре Возрождения в кватроченто , концепции архитектурного порядка были изучены и были сформулированы правила. Ярким примером является базилика Сан - Лоренцо во Флоренции с Филиппо Брунеллески (1377-1446). ^[39]

В c. 1413 Филиппо Брунеллески продемонстрировал геометрический метод перспективы, используемый сегодня художниками, нарисовав контуры различных флорентийских зданий на зеркале. Вскоре после этого почти все художники во Флоренции и Италии использовали геометрическую перспективу в своих картинах ^[40], особенно Мазолино да Паникале и Донателло . Мелоццо да Форли впервые применил технику восходящего ракурса (в Риме, Лорето , Форли и др.) И прославился этим. Перспектива была не только способом показать глубину, но и новым методом композиции.рисование. Картины стали изображать одну единую сцену, а не комбинацию нескольких.

Как показывает быстрое распространение точных перспективных картин во Флоренции, Брунеллески, вероятно, понял (с помощью своего друга, математика Тосканелли ) ^[41], но не опубликовал математику, лежащую в основе перспективы. Спустя десятилетия его друг Леон Баттиста Альберти написал De pictura (1435/1436), трактат о правильных методах отображения расстояния в живописи, основанный на евклидовой геометрии. Альберти также обучался оптике в школе Падуи и под влиянием Бьяджо Пелакани да Парма , изучавшего оптику Альхазена ».

Пьеро делла Франческа подробно остановился на Делла Питтура в своей книге De Prospectiva Pingendi в 1470-х годах. Альберти ограничился фигурами на плоскости земли и дал общую основу для перспективы. Делла Франческа конкретизировала это, явно охватив твердые тела в любой области картинной плоскости. Делла Франческа также начала широко распространенную практику использования иллюстрированных фигур для объяснения математических концепций, что сделало его трактат более понятным, чем трактат Альберти. Делла Франческа также была первой, кто точно нарисовал Платоновы твердые тела, как они выглядят в перспективе.

Перспектива какое-то время оставалась сферой Флоренции. Ян ван Эйк , среди прочих, не смог создать последовательную структуру сходящихся линий на картинах, как в лондонском « Портрете Арнольфини» , потому что не знал о теоретическом прорыве, который только что произошел в Италии. Однако он достиг очень тонких эффектов, манипулируя масштабом в своих интерьерах. Постепенно, отчасти благодаря движению академий искусств, итальянские техники стали частью обучения художников по всей Европе, а позже и в других частях мира. Кульминация традиций эпохи Возрождения находит свое окончательное воплощение в исследованиях архитектора, геометра и оптика Жирара Дезарга в области перспективы, оптики и проективной геометрии.

Витрувианский человек по Леонардо да Винчи (с. 1490) ^[42] изображает человека в двух наложенных друг на друга позиции со своими руками и ногами и вписанных в круг и квадрат. Рисунок основан на соотношении идеальных человеческих пропорций с геометрией, описанных древнеримским архитектором Витрувием в Книге III его трактата De Architectura .

Современная геометрия [ править ]

17 век [ править ]

В начале 17 века в геометрии произошли два важных развития. Первым и наиболее важным было создание аналитической геометрии , или геометрии с координатами и уравнениями , Рене Декартом (1596–1650) и Пьером де Ферма (1601–1665). Это было необходимым предвестником развития математического анализа и точной количественной науки физики . Второе геометрическое развитием этого периода было систематическое исследованием проективной геометрии с помощью Дезарга(1591–1661). Проективная геометрия - это изучение геометрии без измерения, просто изучение того, как точки совпадают друг с другом. В этой области были некоторые ранние работы эллинистических геометров, особенно Паппа (ок. 340). Наибольший расцвет поля пришелся на период Жан-Виктора Понселе (1788–1867).

В конце 17 века исчисление было разработано независимо и почти одновременно Исааком Ньютоном (1642–1727) и Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1646–1716). Это было началом новой области математики, которая теперь называется анализом . Хотя сам по себе он не является ветвью геометрии, он применим к геометрии и решил два семейства проблем, которые долгое время были почти неразрешимыми: поиск касательных линий к нечетным кривым и поиск областей, окруженных этими кривыми. Методы исчисления сводили эти проблемы в основном к простым вычислениям.

18 и 19 века [ править ]

Неевклидова геометрия [ править ]

Никогда не забывалась очень старая проблема доказательства Пятого постулата Евклида, « параллельного постулата », на основе его первых четырех постулатов. Вскоре после Евклида было предпринято множество попыток демонстрации, но позже все они были признаны ошибочными из-за включения в рассуждения некоторых принципов, которые сами по себе не были доказаны на основе первых четырех постулатов. Хотя Омару Хайяму также не удалось доказать постулат параллельности, его критика евклидовых теорий параллелей и его доказательство свойств фигур в неевклидовой геометрии способствовали в конечном итоге развитию неевклидовой геометрии . К 1700 году было открыто многое о том, что можно доказать на основании первых четырех, и какие подводные камни заключались в попытке доказать пятый.Саккери , Ламберт и Лежандр отлично поработали над этой проблемой в XVIII веке, но все равно не добились успеха. В начале 19 века Гаусс , Иоганн Бойяи и Лобачевский , каждый независимо друг от друга, использовали свой подход. Начав подозревать, что невозможно доказать постулат параллельности, они решили разработать самосогласованную геометрию, в которой этот постулат был ложным. В этом они преуспели, создав первую неевклидову геометрию. К 1854 году Бернхард Риман, ученик Гаусса, применил методы исчисления в новаторском исследовании внутренней (самодостаточной) геометрии всех гладких поверхностей и, таким образом, нашел другую неевклидову геометрию. Эта работа Римана позже стала основной для Эйнштейна «S теории относительности .

Оставалось доказать математически, что неевклидова геометрия была столь же самосогласованной, как и евклидова геометрия, и это было впервые выполнено Бельтрами в 1868 году. Таким образом, неевклидова геометрия была установлена ​​на равной математической основе с евклидовой геометрией.

Хотя теперь было известно, что различные геометрические теории возможны математически, оставался вопрос: «Какая из этих теорий верна для нашего физического пространства?» Математическая работа показала, что на этот вопрос нужно ответить с помощью физических экспериментов, а не математических рассуждений, и раскрыла причину, по которой эксперименты должны включать огромные (межзвездные, а не связанные с Землей) расстояния. С развитием теории относительности в физике этот вопрос значительно усложнился.

Введение в математическую строгость [ править ]

Вся работа, связанная с Постулатом Параллельности, показала, что геометру было довольно трудно отделить свои логические рассуждения от своего интуитивного понимания физического пространства, и, более того, выявила критическую важность этого. Тщательное изучение выявило некоторые логические несоответствия в рассуждениях Евклида и некоторые неустановленные геометрические принципы, к которым иногда апеллировал Евклид. Эта критика шла параллельно с кризисом, происходящим в исчислении и анализе в отношении значения бесконечных процессов, таких как конвергенция и непрерывность. В геометрии была очевидная потребность в новом наборе аксиом, который был бы полным и никоим образом не полагался на изображения, которые мы рисуем, или на нашу интуицию пространства. Такие аксиомы, ныне известные как аксиомы Гильберта , были даны Дэвидом Гильбертом.в 1894 г. в его диссертации Grundlagen der Geometrie ( Основы геометрии ). Некоторые другие полные наборы аксиом были даны несколькими годами ранее, но не соответствовали аксиомам Гильберта по экономичности, элегантности и сходству с аксиомами Евклида.

Место анализа или топология [ править ]

В середине 18 века стало очевидно, что определенные прогрессии математических рассуждений повторялись, когда аналогичные идеи изучались на числовой прямой, в двух измерениях и в трех измерениях. Таким образом, была создана общая концепция метрического пространства, чтобы рассуждения можно было делать в более общих чертах, а затем применять их к частным случаям. Этот метод изучения концепций, связанных с исчислением и анализом, стал известен как Analysis situs, а позже как топология.. Важными темами в этой области были свойства более общих фигур, такие как связность и границы, а не такие свойства, как прямолинейность и точное равенство измерений длины и угла, которые были в центре внимания евклидовой и неевклидовой геометрии. Вскоре топология стала отдельной важной областью, а не подразделом геометрии или анализа.

20 век [ править ]

Развитие алгебраической геометрии включало изучение кривых и поверхностей над конечными полями, как продемонстрировано в работах Андре Вейля , Александра Гротендика и Жан-Пьера Серра, а также над действительными или комплексными числами. Сама конечная геометрия , исследование пространств с конечным числом точек, нашла приложения в теории кодирования и криптографии . С появлением компьютеров новые дисциплины, такие как вычислительная геометрия или цифровая геометрия, имеют дело с геометрическими алгоритмами, дискретными представлениями геометрических данных и т. Д.

Хронология [ править ]

См. Также [ править ]

В Wikisource есть оригинальный текст, относящийся к этой статье: Плоская земля

• Flatland , книга "A. Square" о двух- и трехмерном пространстве , чтобы понять концепцию четырех измерений.
• История математики
• Важные публикации по геометрии
• Программное обеспечение для интерактивной геометрии
• Список тем по геометрии

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Кук, Роджер (2005), История математики , Нью-Йорк: Wiley-Interscience, 632 страницы, ISBN 978-0-471-44459-6
• Дани С.Г. (25 июля 2003 г.), «О пифагорейских троицах в Шулвасутрах» (PDF) , Current Science , 85 (2): 219–224
• Хаяси, Такао (2003), «Индийская математика», в Граттан-Гиннесс, Айвор (изд.), Сопутствующая энциклопедия истории и философии математических наук , 1 , Балтимор, Мэриленд: Издательство Университета Джонса Хопкинса , 976 страниц, стр. 118–130, ISBN 978-0-8018-7396-6
• Хаяси, Такао (2005), «Индийская математика», в книге «Флуд», Гэвин (ред.), «Товарищ Блэквелла по индуизму» , Оксфорд: Бэзил Блэквелл , 616 страниц, стр. 360–375, ISBN 978-1-4051-3251-0
• Джозеф, Г.Г. (2000), Гребень павлина: неевропейские корни математики , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, 416 страниц, ISBN 978-0-691-00659-8

• Нидхэм, Джозеф (1986), Наука и цивилизация в Китае: Том 3, Математика и науки о небесах и Земле , Тайбэй : Caves Books Ltd.
• Стааль, Фриц (1999), "греческая и ведическая геометрия", журнал индийской философии , 27 (1-2): 105-127, DOI : 10,1023 / A: 1004364417713
• Стиллвелл, Джон (2004), Берлин и Нью-Йорк: математика и ее история (2-е изд.), Springer, 568 страниц, ISBN 978-0-387-95336-6

Внешние ссылки [ править ]

• Исламская геометрия
• Геометрия в XIX веке в Стэнфордской энциклопедии философии
• Арабская математика: забытый талант?