Обобщенное распределение экстремальных значений

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Обобщенное распределение экстремальных ценностей»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( май 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Обозначение	${\ Displaystyle {\ textrm {GEV}} (\ му, \, \ сигма, \, \ xi)}$
Параметры	μ ∈ R - расположение , σ > 0 - масштаб , ξ ∈ R - форма .
Поддерживать	x ∈ [  μ - σ / ξ , + ∞), когда ξ > 0, x ∈ (−∞, + ∞), когда ξ = 0, x ∈ (−∞, μ - σ / ξ  ], когда ξ <0.
PDF	${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sigma}} \, t (x) ^ {\ xi +1} e ^ {- t (x)},}$   куда ${\displaystyle t(x)={\begin{cases}{\big (}1+\xi ({\tfrac {x-\mu }{\sigma }}){\big )}^{-1/\xi }&{\textrm {if}}\ \xi \neq 0\\e^{-(x-\mu )/\sigma }&{\textrm {if}}\ \xi =0\end{cases}}}$
CDF	${\displaystyle e^{-t(x)},\,}$   для x ∈ support
Иметь в виду	${\displaystyle {\begin{cases}\mu +\sigma (g_{1}-1)/\xi &{\text{if}}\ \xi \neq 0,\xi <1,\\\mu +\sigma \,\gamma &{\text{if}}\ \xi =0,\\\infty &{\text{if}}\ \xi \geq 1,\end{cases}}}$ где г к = Γ (1 - kξ ), и является постоянной Эйлера .${\displaystyle \gamma }$
Медиана	${\displaystyle {\begin{cases}\mu +\sigma {\frac {(\ln 2)^{-\xi }-1}{\xi }}&{\text{if}}\ \xi \neq 0,\\\mu -\sigma \ln \ln 2&{\text{if}}\ \xi =0.\end{cases}}}$
Режим	${\displaystyle {\begin{cases}\mu +\sigma {\frac {(1+\xi )^{-\xi }-1}{\xi }}&{\text{if}}\ \xi \neq 0,\\\mu &{\text{if}}\ \xi =0.\end{cases}}}$
Дисперсия	${\displaystyle {\begin{cases}\sigma ^{2}\,(g_{2}-g_{1}^{2})/\xi ^{2}&{\text{if}}\ \xi \neq 0,\xi <{\frac {1}{2}},\\\sigma ^{2}\,{\frac {\pi ^{2}}{6}}&{\text{if}}\ \xi =0,\\\infty &{\text{if}}\ \xi \geq {\frac {1}{2}},\end{cases}}}$.
Асимметрия	${\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {sgn}(\xi ){\frac {g_{3}-3g_{2}g_{1}+2g_{1}^{3}}{(g_{2}-g_{1}^{2})^{3/2}}}&{\text{if}}\ \xi \neq 0,\xi <{\frac {1}{3}},\\{\frac {12{\sqrt {6}}\,\zeta (3)}{\pi ^{3}}}&{\text{if}}\ \xi =0.\end{cases}}}$ где - знаковая функция, а - дзета-функция Римана${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$ ${\displaystyle \zeta (x)}$
Бывший. эксцесс	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {g_{4}-4g_{3}g_{1}-3g_{2}^{2}+12g_{2}g_{1}^{2}-6g_{1}^{4}}{(g_{2}-g_{1}^{2})^{2}}}&{\text{if}}\ \xi \neq 0,\xi <{\frac {1}{4}},\\{\frac {12}{5}}&{\text{if}}\ \xi =0.\end{cases}}}$
Энтропия	${\displaystyle \log(\sigma )\,+\,\gamma \xi \,+\,\gamma \,+\,1}$
MGF	[1]
CF	[1]

В теории вероятностей и статистике , то обобщенное экстремальное значение ( GEV ) распределение представляет собой семейство непрерывных вероятностных распределений , разработанных в рамках теории экстремальных значений , чтобы объединить Гамбель , Фреш и Вейбулла семью также известную как типа I, распределение экстремальных значений II и III. Согласно теореме об экстремальных значениях, распределение GEV является единственно возможным предельным распределением правильно нормированных максимумов последовательности независимых и одинаково распределенных случайных величин. ^[2]Обратите внимание, что должно существовать предельное распределение, которое требует условий регулярности в хвосте распределения. Несмотря на это, распределение GEV часто используется в качестве приближения для моделирования максимумов длинных (конечных) последовательностей случайных величин.

В некоторых областях применения обобщенное распределение экстремальных значений известно как распределение Фишера – Типпетта в честь Рональда Фишера и LHC Tippett, которые распознали три различные формы, описанные ниже. Однако использование этого имени иногда ограничивается особым случаем распределения Gumbel . Происхождение общей функциональной формы для всех трех распределений восходит, по крайней мере, к Дженкинсону, А.Ф. (1955), ^[3], хотя предположительно ^[4] она также могла быть дана Мизесом, Р. (1936). ^[5]

Спецификация [ править ]

Использование стандартизованной переменной, где параметр местоположения может быть любым действительным числом, а является параметром масштаба; тогда кумулятивная функция распределения распределения GEV имеет вид${\displaystyle s=(x-\mu )/\sigma \,,}$${\displaystyle \mu \,,}$${\displaystyle \sigma >0}$

$${\displaystyle F(s;\xi )={\begin{cases}\exp {\Bigl (}-\exp(-s){\Bigr )}&~~{\text{ for }}~~\xi =0\\{}\\\exp {\Bigl (}-(1+\xi s)^{-1/\xi }{\Bigr )}&~~{\text{ for }}~~\xi \neq 0~~{\text{ and }}~~\xi \,s>-1\\{}\\0&~~{\text{ for }}~~\xi >0~~{\text{ and }}~~\xi \,s\leq -1\\{}\\1&~~{\text{ for }}~~\xi <0~~{\text{ and }}~~\xi \,s\leq -1~,\end{cases}}}$$

где параметр формы может быть любым действительным числом. Таким образом, для , выражение действительно для, в то время как для оно действительно для. В первом случае это отрицательная нижняя конечная точка, где равно 0; во втором случае - положительная верхняя конечная точка, где равно 1. Поскольку второе выражение формально не определено и заменяется первым выражением, которое является результатом взятия предела второго, как в этом случае может быть любым действительным числом.${\displaystyle \xi \,,}$${\displaystyle \xi >0}$${\displaystyle s>-1/\xi \,,}$${\displaystyle \xi <0}$${\displaystyle s<-1/\xi \,.}$${\displaystyle -1/\xi }$${\displaystyle F}$${\displaystyle -1/\xi }$${\displaystyle F}$${\displaystyle \xi =0}$${\displaystyle \xi \to 0}$${\displaystyle s}$

В частном случае среднее так и ≈ для любых значений и могло бы иметь.${\displaystyle x=\mu \,,}$${\displaystyle s=0}$${\displaystyle F(s;\xi )=\exp(-1)}$${\displaystyle 0.368}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \sigma }$

Функция плотности вероятности стандартизованного распределения имеет вид

$${\displaystyle f(s;\xi )={\begin{cases}\exp(-s)\exp {\Bigl (}-\exp(-s){\Bigr )}&~~{\text{ for }}~~\xi =0\\{}\\{\Bigl (}1+\xi s{\Bigr )}^{-(1+1/\xi )}\exp {\Bigl (}-(1+\xi s)^{-1/\xi }{\Bigr )}&~~{\text{ for }}~~\xi \neq 0~~{\text{ and }}~~\xi \,s>-1\\{}\\0&~~{\text{ otherwise, }}\end{cases}}}$$

снова действительно для случая и для случая . Плотность равна нулю за пределами соответствующего диапазона. В случае, если плотность положительна на всей реальной прямой.${\displaystyle s>-1/\xi }$${\displaystyle \xi >0\,,}$${\displaystyle s<-1/\xi }$${\displaystyle \xi <0\,.}$${\displaystyle \xi =0}$

Поскольку кумулятивная функция распределения обратима, функция квантили для распределения GEV имеет явное выражение, а именно:

$${\displaystyle Q(p;\mu ,\sigma ,\xi )={\begin{cases}\mu -\sigma \log {\Bigl (}-\log \left(p\right)\,{\Bigr )}&~{\text{ for }}~\xi =0~{\text{ and }}~p\in \left(0,1\right)\\{}\\\mu +\displaystyle {{\,\sigma \,} \over {\,\xi \,}}\left({\Bigl (}-\log(p)\,{\Bigr )}^{-\xi }-1\right)&~{\text{ for }}~\xi >0~{\text{ and }}~p\in \left[0,1\right)\\{}&~~{\text{ or }}~\,\xi <0~{\text{ and }}~p\in (0,1]\;,\end{cases}}}$$

и поэтому квантильная функция плотности равна${\displaystyle \left(q\equiv {\frac {\;\operatorname {d} Q\;}{\operatorname {d} p}}\right)}$

${\displaystyle q(p;\sigma ,\xi )={\frac {\sigma }{\;{\Bigl (}-\log \left(p\right)\,{\Bigr )}^{\xi +1}\,p\,}}\quad {\text{ for }}~~p\in \left(0,1\right)\;,}$

действительно для и для любого реального${\displaystyle ~\sigma >0~}$${\displaystyle ~\xi \;.}$

Сводная статистика [ править ]

Вот некоторые простые статистические данные о распределении: ^{[ необходима цитата ]}

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mu +\left(g_{1}-1\right){\frac {\sigma }{\xi }}}$ за ${\displaystyle \xi <1}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\left(g_{2}-g_{1}^{2}\right){\frac {\sigma ^{2}}{\xi ^{2}}},}$

${\displaystyle \operatorname {Mode} (X)=\mu +{\frac {\sigma }{\xi }}[(1+\xi )^{-\xi }-1].}$

Перекос для ξ> 0

${\displaystyle \operatorname {skewness} (X)={\frac {g_{3}-3g_{2}g_{1}+2g_{1}^{3}}{(g_{2}-g_{1}^{2})^{3/2}}}}$

При ξ <0 знак числителя меняется на противоположный.

Избыточный эксцесс :

${\displaystyle \operatorname {kurtosis\ excess} (X)={\frac {g_{4}-4g_{3}g_{1}+6g_{2}g_{1}^{2}-3g_{1}^{4}}{(g_{2}-g_{1}^{2})^{2}}}-3.}$

где , k = 1,2,3,4, - гамма-функция .${\displaystyle g_{k}=\Gamma (1-k\xi )}$${\displaystyle \Gamma (t)}$

Связь с семьями Фреше, Вейбуллов и Гумбелей [ править ]

Параметр формы определяет поведение хвоста распределения. Суб семьи , определенные , и соответствуют, соответственно, к Гамбель, Фреше и Вейбулла семей, чьи кумулятивное распределение функций показаны ниже.${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \xi =0}$${\displaystyle \xi >0}$${\displaystyle \xi <0}$

• Гамбель или распределение экстремальных значений типа I ( )${\displaystyle \xi =0}$

${\displaystyle F(x;\mu ,\sigma ,0)=e^{-e^{-(x-\mu )/\sigma }}\;\;\;{\text{for}}\;\;x\in \mathbb {R} .}$

• Распределение экстремальных значений Фреше или типа II, если и${\displaystyle \xi =\alpha ^{-1}>0}$${\displaystyle y=1+\xi (x-\mu )/\sigma }$

${\displaystyle F(x;\mu ,\sigma ,\xi )={\begin{cases}e^{-y^{-\alpha }}&y>0\\0&y\leq 0.\end{cases}}}$

• Обратное распределение Вейбулла или распределение экстремальных значений типа III, если и${\displaystyle \xi =-\alpha ^{-1}<0}$${\displaystyle y=-\left(1+\xi (x-\mu )/\sigma \right)}$

${\displaystyle F(x;\mu ,\sigma ,\xi )={\begin{cases}e^{-(-y)^{\alpha }}&y<0\\1&y\geq 0\end{cases}}}$

В следующих подразделах говорится о свойствах этих распределений.

Модификация для минимумов, а не максимумов [ править ]

Теория здесь относится к максимумам данных, и обсуждаемое распределение является распределением экстремальных значений для максимумов. Обобщенное распределение экстремальных значений для минимумов данных может быть получено, например, путем замены (- x ) вместо x в функции распределения и вычитания из единицы: это дает отдельное семейство распределений.

Альтернативное соглашение для распределения Вейбулла [ править ]

Обычное распределение Вейбулла возникает в приложениях надежности и получается из распределения здесь с использованием переменной , которая дает строго положительную поддержку - в отличие от использования в теории экстремальных значений здесь. Это происходит потому, что обычное распределение Вейбулла используется в случаях, когда речь идет о минимумах данных, а не о максимумах данных. Распределение здесь имеет дополнительный параметр по сравнению с обычной формой распределения Вейбулла и, кроме того, обратное, так что распределение имеет верхнюю границу, а не нижнюю границу. Важно отметить, что в приложениях GEV верхняя граница неизвестна и поэтому должна быть оценена, в то время как при применении обычного распределения Вейбулла в приложениях надежности нижняя граница обычно равна нулю.${\displaystyle t=\mu -x}$

Диапазоны раздач [ править ]

Обратите внимание на различия в диапазонах, представляющих интерес для трех распределений экстремальных значений: Gumbel не ограничен, Fréchet имеет нижний предел, а обратный Weibull имеет верхний предел. Точнее, теория экстремальных значений (одномерная теория) описывает, какой из трех является ограничивающим законом в соответствии с исходным законом X и, в частности, в зависимости от его хвоста.

Распределение переменных журнала [ править ]

Тип I можно связать с типами II и III следующим образом: если кумулятивная функция распределения некоторой случайной величины относится к типу II и с положительными числами в качестве поддержки, т.е. тогда кумулятивная функция распределения имеет тип I, а именно . Точно так же, если кумулятивная функция распределения относится к типу III и с отрицательными числами в качестве поддержки, т. Е. Тогда кумулятивная функция распределения имеет тип I, а именно .${\displaystyle X}$${\displaystyle F(x;0,\sigma ,\alpha )}$${\displaystyle \ln X}$${\displaystyle F(x;\ln \sigma ,1/\alpha ,0)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F(x;0,\sigma ,-\alpha )}$${\displaystyle \ln(-X)}$${\displaystyle F(x;-\ln \sigma ,1/\alpha ,0)}$

Ссылка на логит-модели (логистическая регрессия) [ править ]

Полиномиальные логит- модели и некоторые другие типы логистической регрессии можно сформулировать как модели со скрытыми переменными с переменными ошибок, распределенными как распределения Гамбеля (обобщенные распределения экстремальных значений типа I). Эта формулировка распространена в теории моделей дискретного выбора , которые включают логит-модели , пробит-модели и их различные расширения, и вытекает из того факта, что разница двух переменных, распределенных GEV типа I, следует логистическому распределению , из которых функция логит является квантиль функции. Таким образом, распределение GEV типа I играет в этих логит-моделях ту же роль, что и нормальное распределение в соответствующих пробит-моделях.

Свойства [ править ]

Интегральная функция распределения обобщенного распределения экстремальных значений решает стабильность постулат уравнение. ^{[ необходимая цитата ]} Обобщенное распределение экстремальных значений является частным случаем max-устойчивого распределения и является преобразованием min-устойчивого распределения.

Приложения [ править ]

• Распределение GEV широко используется для обработки «хвостовых рисков» в самых разных областях, от страхования до финансов. В последнем случае это рассматривалось как средство оценки различных финансовых рисков с помощью таких показателей, как стоимость под риском . ^{[6] [7]}

• Однако было обнаружено, что результирующие параметры формы лежат в диапазоне, ведущем к неопределенным средним и дисперсиям, что подчеркивает тот факт, что надежный анализ данных часто невозможен. ^[9]

• В гидрологии распределение GEV применяется к экстремальным явлениям, таким как годовые максимальные однодневные осадки и сток реки. Синяя картинка, сделанная с помощью CumFreq , иллюстрирует пример подгонки распределения GEV к ранжированным годовым максимальным однодневным осадкам, показывая также пояс уверенности 90%, основанный на биномиальном распределении . Данные об осадках представлены в виде точек на графике как часть кумулятивного частотного анализа .

Пример для нормально распределенных переменных [ править ]

Пусть будет iid. нормально распределенные случайные величины со средним 0 и дисперсией 1. Теорема Фишера – Типпета – Гнеденко говорит нам, что , где${\displaystyle (X_{i})_{i\in [n]}}$${\displaystyle \max _{i\in [n]}X_{i}\sim GEV(\mu _{n},\sigma _{n},0)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{n}&=\Phi ^{-1}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\\\sigma _{n}&=\Phi ^{-1}\left(1-{\frac {1}{n}}\cdot \mathrm {e} ^{-1}\right)-\Phi ^{-1}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\end{aligned}}}$.

Это позволяет нам оценить, например, среднее значение от среднего значения распределения GEV:${\displaystyle \max _{i\in [n]}X_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E\left[\max _{i\in [n]}X_{i}\right]&\approx \mu _{n}+\gamma \sigma _{n}\\&=(1-\gamma )\Phi ^{-1}(1-1/n)+\gamma \Phi ^{-1}(1-1/(en))\\&={\sqrt {\log \left({\frac {n^{2}}{2\pi \log \left({\frac {n^{2}}{2\pi }}\right)}}\right)}}\cdot \left(1+{\frac {\gamma }{\log(n)}}+{\mathcal {o}}\left({\frac {1}{\log(n)}}\right)\right)\end{aligned}}}$

Связанные дистрибутивы [ править ]

1. Если тогда${\displaystyle X\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,\xi )}$${\displaystyle mX+b\sim {\textrm {GEV}}(m\mu +b,\,m\sigma ,\,\xi )}$
2. Если ( распределение Гамбеля ), то${\displaystyle X\sim {\textrm {Gumbel}}(\mu ,\,\sigma )}$${\displaystyle X\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)}$
3. Если ( распределение Вейбулла ), то${\displaystyle X\sim {\textrm {Weibull}}(\sigma ,\,\mu )}$${\displaystyle \mu \left(1-\sigma \mathrm {log} {\tfrac {X}{\sigma }}\right)\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)}$
4. Если то ( распределение Вейбулла )${\displaystyle X\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)}$${\displaystyle \sigma \exp(-{\tfrac {X-\mu }{\mu \sigma }})\sim {\textrm {Weibull}}(\sigma ,\,\mu )}$
5. Если ( Экспоненциальное распределение ), то${\displaystyle X\sim {\textrm {Exponential}}(1)\,}$${\displaystyle \mu -\sigma \log {X}\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)}$
6. Если и затем (см. Логистическое_распределение ).${\displaystyle X\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha _{X},\beta )}$${\displaystyle Y\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha _{Y},\beta )}$${\displaystyle X-Y\sim \mathrm {Logistic} (\alpha _{X}-\alpha _{Y},\beta )\,}$
7. Если и то (сумма не является логистическим распределением). Обратите внимание на это .${\displaystyle X}$${\displaystyle Y\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha ,\beta )}$${\displaystyle X+Y\nsim \mathrm {Logistic} (2\alpha ,\beta )\,}$${\displaystyle E(X+Y)=2\alpha +2\beta \gamma \neq 2\alpha =E\left(\mathrm {Logistic} (2\alpha ,\beta )\right)}$

Доказательства [ править ]

4. Пусть , тогда кумулятивное распределение составляет:${\displaystyle X\sim {\textrm {Weibull}}(\sigma ,\,\mu )}$${\displaystyle g(x)=\mu \left(1-\sigma \mathrm {log} {\frac {X}{\sigma }}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P(\mu \left(1-\sigma \log {\frac {X}{\sigma }}\right)<x)&=P\left(\log {\frac {X}{\sigma }}<{\frac {1-x/\mu }{\sigma }}\right)\\&{\text{Since logarithm is always increasing:}}\\&=P\left(X<\sigma \exp \left[{\frac {1-x/\mu }{\sigma }}\right]\right)\\&=1-\exp \left(-\left({\cancel {\sigma }}\exp \left[{\frac {1-x/\mu }{\sigma }}\right]\cdot {\cancel {\frac {1}{\sigma }}}\right)^{\mu }\right)\\&=1-\exp \left(-\left(\exp \left[{\frac {{\cancelto {\mu }{1}}-x/{\cancel {\mu }}}{\sigma }}\right]\right)^{\cancel {\mu }}\right)\\&=1-\exp \left(-\exp \left[{\frac {\mu -x}{\sigma }}\right]\right)\\&=1-\exp \left(-\exp \left[-s\right]\right),\quad s={\frac {x-\mu }{\sigma }}\end{aligned}}}$

который является cdf для .${\displaystyle \sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)}$

5. Пусть , тогда кумулятивное распределение составляет:${\displaystyle X\sim {\textrm {Exponential}}(1)}$${\displaystyle g(X)=\mu -\sigma \log {X}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P(\mu -\sigma \log {X}<x)&=P\left(\log(X)<{\frac {\mu -x}{\sigma }}\right)\\&{\text{since the logarithm is always increasing:}}\\&=P\left(X<\exp \left({\frac {\mu -x}{\sigma }}\right)\right)\\&=1-\exp \left[-\exp \left({\frac {\mu -x}{\sigma }}\right)\right]\\&=1-\exp \left[-\exp \left(-s\right)\right],\quad s={\frac {x-\mu }{\sigma }}\end{aligned}}}$

что является совокупным распределением .${\displaystyle {\textrm {GEV}}(\mu ,\sigma ,0)}$

См. Также [ править ]

• Теория экстремальных значений (одномерная теория)
• Теорема Фишера – Типпета – Гнеденко.
• Обобщенное распределение Парето
• Проблема с немецкими танками , противоположный вопрос о максимальной численности населения на максимальном уровне
• Теорема Пикандса – Балкемы – де Хаана.

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Эмбрехтс, Пол; Клюппельберг, Клаудиа ; Микош, Томас (1997). Моделирование экстремальных событий для страхования и финансов . Берлин: Springer Verlag. ISBN 9783540609315.
• Лидбеттер, М.Р., Линдгрен, Г. и Рутцен, Х. (1983). Крайности и связанные с ними свойства случайных последовательностей и процессов . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90731-9.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Резник, С.И. (1987). Экстремальные значения, регулярные вариации и точечные процессы . Springer-Verlag. ISBN 0-387-96481-9.
• Коулз, Стюарт (2001). Введение в статистическое моделирование экстремальных значений . Springer-Verlag. ISBN 1-85233-459-2.