Групповой изоморфизм

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Групповой изоморфизм»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( июнь 2015 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В абстрактной алгебре , А изоморфизм групп является функцией между двумя группами , что ставит в соответствие один к одному между элементами групп таким образом , что уважает данные операции группы. Если существует изоморфизм между двумя группами, то группы называются изоморфными . С точки зрения теории групп изоморфные группы обладают одинаковыми свойствами и не нуждаются в различении.

Определение и обозначения [ править ]

Указанные две группы ( G , *) и , изоморфизм групп из ( G , *) в это биективен гомоморфизм групп из G в H . Это означает, что изоморфизм групп является биективной функцией, такой что для всех u и v в G выполняется, что${\ displaystyle (H, \ odot)}$${\ displaystyle (H, \ odot)}$ ${\ displaystyle f: G \ to H}$

${\ Displaystyle f (u * v) = f (u) \ odot f (v).}$

Две группы ( G , ∗) и изоморфны, если существует изоморфизм одной группы в другую. Это написано:${\ displaystyle (H, \ odot)}$

${\displaystyle (G,*)\cong (H,\odot )}$

Часто можно использовать более короткие и простые обозначения. Когда соответствующие групповые операции недвусмысленны, они опускаются и пишется:

${\displaystyle G\cong H}$

Иногда можно даже просто писать G = H . Возможна ли такая запись без путаницы или двусмысленности, зависит от контекста. Например, знак равенства не очень подходит, если обе группы являются подгруппами одной и той же группы. См. Также примеры.

И наоборот, учитывая группу ( G , ∗), множество H и биекцию , мы можем сделать H группой , определив${\displaystyle f:G\to H}$${\displaystyle (H,\odot )}$

${\displaystyle f(u)\odot f(v)=f(u*v)}$.

Если H = G и тогда биекция является автоморфизмом ( qv ).${\displaystyle \odot =*}$

Интуитивно теоретики групп рассматривают две изоморфные группы следующим образом: для каждого элемента g группы G существует такой элемент h группы H , что h 'ведет себя так же', как g (действует с другими элементами группы таким же образом. путь как г ). Например, если g порождает G , то также и h . Это, в частности, означает, что G и H находятся в взаимно однозначном соответствии. Таким образом, определение изоморфизма вполне естественно.

Изоморфизм групп может быть эквивалентно определен как обратимый морфизм в категории групп , где обратимое здесь означает двустороннее обратное.

Примеры [ править ]

В этом разделе перечислены некоторые известные примеры изоморфных групп.

• Группа всех действительных чисел с добавлением `` изоморфна группе положительных действительных чисел с умножением :${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{+},\times )}$

  ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)\cong (\mathbb {R} ^{+},\times )}$ через изоморфизм

  ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$(см. экспоненциальную функцию ).

• Группа из целых чисел (с добавлением) является подгруппой из , и фактор - группа изоморфна группе из комплексных чисел по абсолютной величине 1 (с умножением):${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$${\displaystyle S^{1}}$

  ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong S^{1}}$

• Клейн четыре-группа изоморфна прямое произведение двух копий (см модульной арифметики ), и , следовательно , может быть записана . Другое обозначение - Dih ₂ , потому что это группа диэдра .${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}$
• Обобщая это, для всех нечетных n Dih _{2 n} изоморфно прямому произведению Dih _n и Z ₂ .
• Если ( G , ∗) - бесконечная циклическая группа , то ( G , ∗) изоморфна целым числам (с операцией сложения). С алгебраической точки зрения это означает, что набор всех целых чисел (с операцией сложения) является «единственной» бесконечной циклической группой.

Некоторые группы можно доказать изоморфностью, полагаясь на выбранную аксиому , но доказательство не указывает, как построить конкретный изоморфизм. Примеры:

• Группа изоморфна группе всех комплексных чисел с добавлением. ^[1]${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$${\displaystyle (\mathbb {C} ,+)}$
• Группа ненулевых комплексных чисел с операцией умножения изоморфна группе S ^1, упомянутой выше.${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*},\cdot )}$

Свойства [ править ]

Ядро изоморфизма из ( G , *) к , всегда {е _G } , где е _G является единицей группы ( G , *)${\displaystyle (H,\odot )}$

Если ( G , *) и изоморфны, то G является абелевой тогда и только тогда , когда H абелева.${\displaystyle (H,\odot )}$

Если е есть изоморфизм ( G , *) к , то для любого а в G , то порядок из равен порядку е ( в ).${\displaystyle (H,\odot )}$

Если ( G , ∗) и изоморфны, то ( G , ∗) локально конечная группа тогда и только тогда, когда локально конечна. ${\displaystyle (H,\odot )}$${\displaystyle (H,\odot )}$

Количество различных групп (с точностью до изоморфизма) порядка n задается последовательностью A000001 в OEIS . Первые несколько чисел - 0, 1, 1, 1 и 2, что означает, что 4 - это самый низкий порядок с более чем одной группой.

Циклические группы [ править ]

Все циклические группы заданного порядка изоморфны , где означает сложение по модулю .${\displaystyle (\mathbb {Z} _{n},+_{n})}$${\displaystyle +_{n}}$${\displaystyle n}$

Пусть G циклическая группа и п быть порядок G . G тогда группа, порожденная . Мы покажем, что${\displaystyle \langle x\rangle =\{e,x,\ldots ,x^{n-1}\}}$

${\displaystyle G\cong (\mathbb {Z} _{n},+_{n})}$

Определять

${\displaystyle \varphi :G\to \mathbb {Z} _{n}=\{0,1,\ldots ,n-1\}}$, так что . Ясно, что биективен.${\displaystyle \varphi (x^{a})=a}$${\displaystyle \varphi }$

потом

${\displaystyle \varphi (x^{a}\cdot x^{b})=\varphi (x^{a+b})=a+b=\varphi (x^{a})+_{n}\varphi (x^{b})}$, что доказывает это .${\displaystyle G\cong (\mathbb {Z} _{n},+_{n})}$

Последствия [ править ]

Из определения следует, что любой изоморфизм отображает единичный элемент G в единичный элемент H , ${\displaystyle f:G\to H}$

${\displaystyle f(e_{G})=e_{H}}$

что он будет отображать обратное на обратное,

${\displaystyle f(u^{-1})=\left[f(u)\right]^{-1}}$

и в более общем плане, от n- й степени до n- й степени,

${\displaystyle f(u^{n})=\left[f(u)\right]^{n}}$

для всех u в G , и что обратное отображение также является изоморфизмом групп.${\displaystyle f^{-1}:H\to G}$

Отношение «быть изоморфным» удовлетворяет всем аксиомам отношения эквивалентности . Если f является изоморфизмом между двумя группами G и H , тогда все, что верно в отношении G, что связано только со структурой группы, может быть переведено через f в истинное то же самое утверждение о H , и наоборот.

Автоморфизмы [ править ]

Изоморфизм группы ( G , ∗) в себя называется автоморфизмом этой группы. Таким образом, это биекция такая, что${\displaystyle f:G\to G}$

${\displaystyle f(u)*f(v)=f(u*v).}$

Автоморфизм всегда отображает тождество на себя. Образ при автоморфизме класса сопряженности всегда является классом сопряженности (тем же или другим). Изображение элемента имеет тот же порядок, что и этот элемент.

Композиция двух автоморфизмов снова автоморфизм, и с этой операцией множество всех автоморфизмов группы G , обозначим через Aut ( G ), образует само является группой, то группа автоморфизмов из G .

Для всех абелевых групп существует по крайней мере автоморфизм, заменяющий элементы группы их обратными. Однако в группах, где все элементы равны своим обратным, это тривиальный автоморфизм, например, в четырехгруппе Клейна . Для этой группы все перестановки трех неединичных элементов являются автоморфизмами, поэтому группа автоморфизмов изоморфна S ₃ и Dih ₃ .

В Z _p для простого числа p один неединичный элемент может быть заменен любым другим с соответствующими изменениями в других элементах. Группа автоморфизмов изоморфна Z _{p - 1} . Например, для n = 7 умножение всех элементов Z ₇ на 3 по модулю 7 является автоморфизмом порядка 6 в группе автоморфизмов, потому что 3 ⁶ ≡ 1 (по модулю 7) , а меньшие степени не дают 1. Таким образом, этот автоморфизм порождает Z ₆ . Есть еще один автоморфизм с этим свойством: умножение всех элементов Z ₇ на 5 по модулю 7. Следовательно, эти два соответствуют элементам 1 и 5 Z₆ , в том же порядке или наоборот.

Группа автоморфизмов Z ₆ изоморфна Z ₂ , потому что только каждый из двух элементов 1 и 5 порождает Z ₆ , поэтому помимо тождества мы можем только их поменять местами.

Группа автоморфизмов Z ₂ ⊕ Z ₂ ⊕ Z ₂ = Dih ₂ ⊕ Z ₂ имеет порядок 168, как можно найти следующим образом. Все 7 неединичных элементов играют одну и ту же роль, поэтому мы можем выбрать, какой из них играет роль (1,0,0). Любой из оставшихся 6 может быть выбран, чтобы играть роль (0,1,0). Это определяет, что соответствует (1,1,0). Для (0,0,1) мы можем выбрать из 4, что определяет остальные. Таким образом, мы имеем 7 × 6 × 4 = 168 автоморфизмов. Они соответствуют точкам плоскости Фано , из которых 7 точек соответствуют 7 неединичным элементам. Линии, соединяющие три точки, соответствуют групповой операции: a , b иc в одной строке означает a + b = c , a + c = b и b + c = a . См. Также общую линейную группу над конечными полями .

Для абелевых групп все автоморфизмы, кроме тривиального, называются внешними автоморфизмами .

Неабелевы группы имеют нетривиальную группу внутренних автоморфизмов и, возможно, также внешние автоморфизмы.

См. Также [ править ]

• Биекция

Ссылки [ править ]

• Герштейн, И. Н., разделы алгебры , Wiley; 2-е издание (20 июня 1975 г.), ISBN  0-471-01090-1 .