Голономия

Параллельный транспорт на сфере зависит от пути. Транспортировка по A → N → B → A дает вектор, отличный от исходного. Эта неспособность вернуться к исходному вектору измеряется голономией связи.

В дифференциальной геометрии , то голономия из соединения на гладком многообразии является общим геометрическим следствием кривизны соединения для измерения степени , в которой параллельный перенос вокруг замкнутых петель терпит неудачу , чтобы сохранить геометрические транспортируемые данные. Для плоских связностей ассоциированная голономия является разновидностью монодромии и по своей сути является глобальным понятием. Для криволинейных связей голономия имеет нетривиальные локальные и глобальные особенности.

Любой вид связности на многообразии через его параллельные транспортные отображения порождает некоторое понятие голономии. Наиболее распространенные формы голономии относятся к связям, обладающим некоторой симметрией . Важные примеры включают: голономию связности Леви-Чивиты в римановой геометрии (называемую римановой голономией ), голономию связностей в векторных расслоениях , голономию связностей Картана и голономию связностей в главных расслоениях . В каждом из этих случаев, голономия соединения может быть идентифицирована с помощью группы Ли , тем голономия группы. Голономия связности тесно связана с кривизной связности через теорему Амброуза – Зингера .

Изучение римановой голономии привело к ряду важных достижений. Голономия была введена Эли Картаном  ( 1926 ) для изучения и классификации симметрических пространств . Лишь намного позже группы голономии стали использоваться для изучения римановой геометрии в более общем контексте. В 1952 году Жорж де Рам доказал теорему о разложении де Рама , принцип разделения риманова многообразия на декартово произведение римановых многообразий путем разбиения касательного расслоения на неприводимые пространства под действием локальных групп голономии. Позже, в 1953 году, Марсель Бергерклассифицировал возможные неприводимые голономии. Разложение и классификация римановой голономии имеет приложения к физике и теории струн .

Определения [ править ]

Голономия связи в векторном расслоении [ править ]

Пусть E будет rank- к векторным расслоением над гладким многообразием М , и пусть ∇ быть соединение на E . Для кусочно- гладкой петли γ  : [0,1] → M, основанной на x в M , соединение определяет параллельное транспортное отображение P _γ  : E _x → E _x . Это отображение является одновременно линейным и обратимым, поэтому оно определяет элемент общей линейной группы GL ( E _x ). Вгруппа голономии, основанная на x , определяется как

${\ displaystyle \ operatorname {Hol} _ {x} (\ nabla) = \ {P _ {\ gamma} \ in \ mathrm {GL} (E_ {x}) \ mid \ gamma {\ text {- это цикл, основанный на }}Икс\}.}$

Ограниченная группа голономии основана на й является подгруппой исходя из стягивает петлю  γ .${\ displaystyle \ operatorname {Hol} _ {x} ^ {0} (\ nabla)}$

Если М будет подключен , то группа голономии зависит от Basepoint х только до сопряжения в GL ( K , R ). Явно, если γ - путь от x до y в M , то

${\ displaystyle \ operatorname {Hol} _ {y} (\ nabla) = P _ {\ gamma} \ operatorname {Hol} _ {x} (\ nabla) P _ {\ gamma} ^ {- 1}.}$

Выбор различных отождествлений E _x с R ^k также дает сопряженные подгруппы. Иногда, особенно в общих или неофициальных обсуждениях (например, ниже), можно отказаться от ссылки на базовую точку с пониманием того, что определение подходит для спряжения.

Некоторые важные свойства группы голономии включают:

• ${\ displaystyle \ operatorname {Hol} ^ {0} (\ nabla)}$является связной подгруппой Ли в GL ( k , R ).
• ${\ displaystyle \ operatorname {Hol} ^ {0} (\ nabla)}$является компонентом идентичности из${\ displaystyle \ operatorname {Hol} (\ nabla).}$
• Существует естественный, сюръективен гомоморфизм групп , где это фундаментальная группа из М , который посылает гомотопический класс в смежный класс${\ displaystyle \ pi _ {1} (M) \ to \ operatorname {Hol} (\ nabla) / \ operatorname {Hol} ^ {0} (\ nabla),}$${\ Displaystyle \ pi _ {1} (М)}$${\ displaystyle [\ gamma]}$ ${\ displaystyle P _ {\ gamma} \ cdot \ operatorname {Hol} ^ {0} (\ nabla).}$
• Если M является односвязной , то${\displaystyle \operatorname {Hol} (\nabla )=\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ).}$
• Плоский (т.е. имеет исчезающую кривизну) тогда и только тогда, когда он тривиален.${\displaystyle \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )}$

Голономия связи в главном пучке [ править ]

Параллельно проводится определение голономии связностей на главных расслоениях. Пусть G является группа Ли и P основного G расслоения над гладким многообразием М , который паракомпактный . Пусть ω является соединение на P . Для кусочно гладкой петли γ  : [0,1] → M, основанной на x в M и точке p в слое над x , связность определяет единственный горизонтальный подъем такой, что${\displaystyle {\tilde {\gamma }}:[0,1]\to P}$${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)=p.}$Конечной точкой горизонтального подъема , как правило, будет не точка p, а некоторая другая точка p · g волокна над x . Определим отношение эквивалентности ~ на Р , говоря , что р ~ д , если они могут быть соединены с помощью кусочно - гладкой горизонтальной путь в P .${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(1)}$

Группа голономии ω, базирующаяся в p , тогда определяется как

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\{g\in G\mid p\sim p\cdot g\}.}$

Группа ограниченной голономии, основанная на p, - это подгруппа, возникающая из горизонтальных подъемов стягиваемых петель  γ .${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$

Если М и Р являются соединены , то группа голономии зависит от Basepoint р только до сопряжения в G . Явно, если q - любая другая выбранная базовая точка голономии, то существует единственный g ∈ G такой, что q ∼ p · g . При этом значении г ,

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{q}(\omega )=g^{-1}\operatorname {Hol} _{p}(\omega )g.}$

Особенно,

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p\cdot g}(\omega )=g^{-1}\operatorname {Hol} _{p}(\omega )g,}$

Более того, если p ~ q, то. Как и выше, иногда отбрасывают ссылку на базовую точку группы голономии, понимая, что определение хорошо до сопряжения.${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\operatorname {Hol} _{q}(\omega ).}$

Некоторые важные свойства групп голономии и ограниченной голономии включают:

• ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$связная подгруппа Ли в G .
• ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$является компонентом идентичности из${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega ).}$
• Существует естественный сюръективный групповой гомоморфизм ${\displaystyle \pi _{1}\to \operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$
• Если M является односвязным то${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$
• ω плоский (т.е. имеет исчезающую кривизну) тогда и только тогда, когда он тривиален.${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$

Пакеты голономии [ править ]

Пусть M - связное гладкое паракомпактное многообразие, а P - главное G- расслоение со связностью ω, как указано выше. Пусть p ∈ P - произвольная точка главного расслоения. Пусть H ( p ) - множество точек в P, которые можно соединить с p горизонтальной кривой. Тогда можно показать, что H ( p ) с очевидным отображением проекции является главным расслоением над M со структурной группой. Это главное расслоение называется расслоением голономии (через p${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega ).}$) соединения. Связность ω ограничивается связностью на H ( p ), поскольку ее параллельные транспортные отображения сохраняют H ( p ). Таким образом, H ( p ) - это редуцированный пучок для связности. Более того, поскольку ни одно подрасслоение H ( p ) не сохраняется параллельным переносом, это минимальное такое сокращение. ^[1]

Как и с группами голономии, голономия расслоение также трансформирует эквивариантно в окружающей главном расслоении P . Подробно, если q ∈ P - другая выбранная базовая точка для голономии, то существует единственный g ∈ G такой, что q ∼ p g (поскольку по предположению M линейно связно). Следовательно, H ( q ) = H ( p ) g. Как следствие, индуцированные связности на расслоениях голономии, соответствующие разному выбору базовой точки, совместимы друг с другом: их параллельные транспортные отображения будут отличаться в точности одним и тем же элементом g .

Монодромия [ править ]

Расслоение голономии H ( p ) является главным расслоением для и, следовательно, также допускает действие ограниченной группы голономии (которая является нормальной подгруппой полной группы голономии). Дискретная группа называется группой монодромии связности; он действует на фактор-расслоении. Существует сюръективный гомоморфизм, так что действует на. Это действие фундаментальной группы является представлением монодромии фундаментальной группы. ^[2]${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega ),}$${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$${\displaystyle H(p)/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$${\displaystyle \varphi :\pi _{1}\to \operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ),}$${\displaystyle \varphi \left(\pi _{1}(M)\right)}$${\displaystyle H(p)/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$

Локальная и инфинитезимальная голономия [ править ]

Если π: P → M является главным расслоением, а ω является соединением в Р , то голономия со может быть ограничена к волокну на открытом подмножество M . Действительно, если U является связным открытым подмножеством М , то со ограничивает , чтобы дать соединение в расслоении π ^-1 U над U . Голономия (соответственно ограниченная голономия) этого расслоения , будем обозначать через (соотв. ) Для каждого р с я ( р ) ∈ U .${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega ,U)}$${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U)}$

Если U ⊂ V - два открытых множества, содержащие π ( p ), то имеется очевидное включение

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U)\subset \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,V).}$

Локальная группа голономии в точке р определяется

${\displaystyle \operatorname {Hol} ^{*}(\omega )=\bigcap _{k=1}^{\infty }\operatorname {Hol} ^{0}(\omega ,U_{k})}$

для любого семейства вложенных связных открытых множеств U _k с .${\displaystyle \bigcap _{k}U_{k}=\pi (p)}$

Локальная группа голономии обладает следующими свойствами:

1. Это связная подгруппа Ли ограниченной группы голономии ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$
2. Каждая точка p имеет такую ​​окрестность V , что, в частности, локальная группа голономии зависит только от точки p , а не от выбора последовательности U _k, использованной для ее определения.${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,V).}$
3. Локальная голономия эквивариантна относительно сдвига на элементах структурной группы G из Р ; то есть, для всех г ∈ G . (Заметим, что по свойству 1 группа локальной голономии является связной подгруппой Ли группы G , поэтому присоединенная группа корректно определена.)${\displaystyle \operatorname {Hol} _{pg}^{*}(\omega )=\operatorname {Ad} \left(g^{-1}\right)\operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )}$

Локальная группа голономии плохо себя ведет как глобальный объект. В частности, его размер может не быть постоянным. Однако справедлива следующая теорема:

Если размерность локальной группы голономии постоянна, то локальная и ограниченная голономия согласуются: ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$

Теорема Амвросия – Зингера [ править ]

Теорема Амброуза – Зингера (принадлежащая Уоррену Амброузу и Исадору М. Сингеру  ( 1953 )) связывает голономию связности в главном расслоении с формой кривизны связности. Чтобы сделать эту теорему правдоподобной, рассмотрим знакомый случай аффинной связности (или связности в касательном расслоении - например, связности Леви-Чивиты). Кривизна возникает при движении вокруг бесконечно малого параллелограмма.

Подробно, если σ: [0, 1] × [0, 1] → M - поверхность в M, параметризованная парой переменных x и y , то вектор V может перемещаться вокруг границы σ: сначала вдоль ( x , 0), затем по (1, y ), затем ( x , 1) в отрицательном направлении, а затем (0, y ) обратно в исходную точку. Это частный случай петли голономии: на вектор V действует элемент группы голономии, соответствующий поднятию границы σ. Кривизна явно входит, когда параллелограмм сокращается до нуля, путем пересечения границы меньших параллелограммов за [0,x ] × [0, y ]. Это соответствует взятию производной от параллельных транспортных карт при x = y = 0:

${\displaystyle {\frac {D}{dx}}{\frac {D}{dy}}V-{\frac {D}{dy}}{\frac {D}{dx}}V=R\left({\frac {\partial \sigma }{\partial x}},{\frac {\partial \sigma }{\partial y}}\right)V}$

где R - тензор кривизны . ^[3] Итак, грубо говоря, кривизна дает бесконечно малую голономию над замкнутым контуром (бесконечно малый параллелограмм). Более формально кривизна - это дифференциал действия голономии в единице группы голономии. Другими словами, Р ( Х , Y ) является элементом алгебры Ли из${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega ).}$

В общем, рассмотрят голономию связности в главном расслоении Р → M над P со структурной группой G . Пусть г обозначит алгебру Ли G , то форма кривизны связности является г - значной 2-формы на P . Теорема Амброуза – Зингера гласит: ^[4]

Алгебра Ли порождаются всеми элементами г формы как д пробегает все точки , которые могут быть присоединены к р горизонтальной кривой ( д \ р ), а Х и Y представляют собой горизонтальные касательные векторы в д .${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )}$${\displaystyle \Omega _{q}(X,Y)}$

В качестве альтернативы теорему можно переформулировать в терминах расслоения голономии: ^[5]

Алгебра Ли - это подпространство в g, натянутое на элементы вида, где q ∈ H ( p ), а X и Y - горизонтальные векторы в точке q .${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )}$${\displaystyle \Omega _{q}(X,Y)}$

Риманова голономия [ править ]

Голономия в риманова многообразия ( М , г ) является только группа голономии связности Леви-Чивита на касательном расслоении к М . А «родовым» п - мерное риманово многообразие имеет О ( п ) голономию или SO ( п ) , если это ориентируемое . Многообразия, группы голономии которых являются собственными подгруппами в O ( n ) или SO ( n ), обладают особыми свойствами.

Одним из самых ранних фундаментальных результатов о римановой голономии является теорема Бореля и Лихнеровича (1952) , в которой утверждается, что ограниченная группа голономии является замкнутой подгруппой Ли в O ( n ). В частности, он компактный .

Приводимая голономия и разложение де Рама [ править ]

Пусть x ∈ M - произвольная точка. Тогда группа голономии Hol ( М ) действует на касательном пространстве Т _х М . Это действие может быть либо неприводимым как представление группы, либо сводимым в том смысле, что существует разбиение T _x M на ортогональные подпространства T _x M = T ′ _x M ⊕ T ″ _x M , каждое из которых инвариантно относительно действия Хол ( М ). В последнем случае M называется приводимым .

Предположим, что M - приводимое многообразие. Допуская изменение точки x , связки T ′ M и T ″ M, образованные сокращением касательного пространства в каждой точке, являются гладкими распределениями, которые интегрируемы в смысле Фробениуса . В интегральные многообразия этих распределений являются вполне геодезическими подмногообразиями. Итак, M локально декартово произведение M ′ × M ″ . (Локальный) изоморфизм де Рама следует, продолжая этот процесс до тех пор, пока не будет достигнута полная редукция касательного пространства: ^[6]

Пусть M - односвязное риманово многообразие, ^[7] и T M = T ⁽⁰⁾ M ⊕ T ⁽¹⁾ M ⊕ ⋯ ⊕ T ^{( k )} M - полная редукция касательного расслоения под действием группы голономии . Предположим, что T ⁽⁰⁾ M состоит из векторов, инвариантных относительно группы голономии (т. Е. Таких, что представление голономии тривиально). Тогда локально M изометрично произведению

${\displaystyle V_{0}\times V_{1}\times \cdots \times V_{k},}$

где V ₀ открытое множество в евклидовом пространстве , и каждый V _я является интегральным многообразием для Т ^{( я )} М . Кроме того, Hol ( M ) расщепляется как прямое произведение групп голономии каждого M _i .

Если, кроме того, M предполагается геодезически полным , то теорема верна глобально, и каждое M _i является геодезически полным многообразием. ^[8]

Классификация Бергера [ править ]

В 1955 г. М. Бергер дал полную классификацию возможных групп голономии для односвязных римановых многообразий, которые являются неприводимыми (не локально пространством произведения) и несимметричными (не локально римановым симметрическим пространством ). Список Бергера выглядит следующим образом:

Многообразия с голономией Sp ( n ) · Sp (1) одновременно изучались в 1965 году Эдмондом Бонаном и Вивиан Йох Крейнс и построили параллельную 4-форму.

Многообразия с голономией G ₂ или Spin (7) были впервые введены Эдмоном Бонаном в 1966 году, который построил все параллельные формы и показал, что эти многообразия являются Риччи-плоскими.

(Первоначальный список Бергера также включал возможность Spin (9) как подгруппы SO (16). Римановы многообразия с такой голономией позже независимо друг от друга показали Д. Алексеевским и Браун-Греем, что они обязательно локально симметричны, т. Е. Локально изометричны относительно Кэли плоскость Р ₄ / Spin (9) или локально плоская. См . ниже) в настоящее время известно , что все эти возможности возникают в голономиях групп риманова многообразия. Последние два исключительных случая найти труднее всего. См G 2 коллектора и отжима (7) многообразие .

Заметим, что Sp ( n ) ⊂ SU (2 n ) ⊂ U (2 n ) ⊂ SO (4 n ), поэтому каждое гиперкэлерово многообразие является многообразием Калаби – Яу , каждое многообразие Калаби – Яу является кэлеровым многообразием , а каждое кэлерово многообразие является ориентируема .

Странный список выше объяснялся доказательством Саймонса теоремы Бергера. Простое и геометрическое доказательство теоремы Бергера было дано Карлосом Э. Олмосом в 2005 году. Сначала показано, что если риманово многообразие не является локально симметричным пространством и приведенная голономия действует неприводимо на касательном пространстве, то оно действует транзитивно на единице сфера. Группы Ли, действующие транзитивно на сферах, известны: они состоят из приведенного выше списка вместе с двумя дополнительными случаями: группа Spin (9), действующая на R ¹⁶ , и группа T · Sp ( m ), действующая на R ^{4 m.}. Наконец, проверяется, что первый из этих двух дополнительных случаев встречается только как группа голономии для локально симметричных пространств (которые локально изоморфны проективной плоскости Кэли ), а второй вообще не встречается как группа голономии.

Первоначальная классификация Бергера также включала неположительно определенную псевдориманову метрическую нелокально симметричную голономию. Этот список состоял из SO ( p , q ) подписи ( p , q ), U ( p , q ) и SU ( p , q ) подписи (2 p , 2 q ), Sp ( p , q ) и Sp ( p , q ) · Sp (1) подписи (4 p , 4 q ), SO ( n , C ) подписи ( n , n ), SO ( n, H ) подписи (2 n , 2 n ), разбиение G ₂ подписи (4, 3), G ₂ ( C ) подписи (7, 7), Spin (4, 3) подписи (4, 4) , Spin (7, C ) подписи (7,7), Spin (5,4) подписи (8,8) и, наконец, Spin (9, C ) подписи (16,16). Расщепленный и комплексифицированный спин (9) обязательно являются локально симметричными, как указано выше, и их не должно было быть в списке. Комплексифицированные голономии SO ( n , C ), G ₂ ( C ) и Spin (7, C) могут быть реализованы из комплексифицирующих вещественно-аналитических римановых многообразий. Последний случай, многообразия с голономией, содержащиеся в SO ( n , H ), локально плоские Р. Маклин показал. ^{[ необходима цитата ]}

Симметрические пространства, которые локально изометричны однородные пространства G / H имеют локальную голономию изоморфную Н . Они тоже полностью засекречены .

Наконец, в статье Бергера перечислены возможные группы голономии многообразий только с аффинной связностью без кручения ; это обсуждается ниже.

Специальная голономия и спиноры [ править ]

Многообразия со специальной голономией характеризуются наличием параллельных спиноров , то есть спинорных полей с исчезающей ковариантной производной. ^[9] В частности, имеют место следующие факты:

• Hol (ω) ⊂ U (n) тогда и только тогда, когда M допускает ковариантно постоянное (или параллельное ) проективное чисто спинорное поле.
• Если M - спиновое многообразие , то Hol (ω) ⊂ SU (n) тогда и только тогда, когда M допускает по крайней мере два линейно независимых параллельных чисто спинорных поля. Фактически параллельное чисто спинорное поле определяет каноническую редукцию структурной группы к SU ( n ).
• Если M - семимерное спиновое многообразие, то M несет нетривиальное параллельное спинорное поле тогда и только тогда, когда голономия содержится в G ₂ .
• Если M - восьмимерное спиновое многообразие, то M несет нетривиальное параллельное спинорное поле тогда и только тогда, когда голономия содержится в Spin (7).

Унитарные и специальные унитарные голономии часто изучаются в связи с теорией твисторной , ^[10] , а также в изучении почти комплексных структур . ^[9]

Приложения к теории струн [ править ]

Римановы многообразия со специальной голономией играют важную роль в компактификациях теории струн .^[11] Это связано с тем, что специальные многообразия голономии допускают ковариантно постоянные (параллельные) спиноры и, таким образом, сохраняют некоторую часть исходной суперсимметрии . Наиболее важными являются компактификации на многообразиях Калаби – Яу с SU (2) или SU (3) голономией. Также важны компактификации на многообразиях G 2 .

Аффинная голономия [ править ]

Группы аффинной голономии - это группы, возникающие как голономии аффинных связностей без кручения ; те, которые не являются римановыми или псевдоримановыми группами голономии, также известны как неметрические группы голономии. Теорема де Рама о разложении неприменима к аффинным группам голономии, поэтому полная классификация недоступна. Однако классификация неприводимых аффинных голономий по-прежнему является естественной.

На пути к своей классификации римановых групп голономии Бергер разработал два критерия, которым должна удовлетворять алгебра Ли группы голономии аффинной связности без кручения, которая не является локально симметричной : один из них, известный как первый критерий Бергера , является следствием теоремы Эмброуза – Зингера, что кривизна порождает алгебру голономии; другой, известный как второй критерий Бергера , исходит из требования, что соединение не должно быть локально симметричным. Бергер представил список групп, действующих несводимо и удовлетворяющих этим двум критериям; это можно интерпретировать как список возможностей для неприводимых аффинных голономий.

Позднее было показано, что список Бергера неполон: дополнительные примеры были найдены Р. Брайантом (1991) и К. Чи, С. Меркуловым и Л. Шваххёфером (1996). Иногда это называют экзотическими холономиями . Поиск примеров в конечном итоге привел к полной классификации неприводимых аффинных голономий Меркулова и Шваххёфера (1999), при этом Брайант (2000) показал, что каждая группа в их списке встречается как группа аффинной голономии.

Классификация Меркулова – Шваххёфера была значительно прояснена благодаря связи между группами в списке и некоторыми симметрическими пространствами, а именно эрмитовыми симметрическими пространствами и кватернионно-кэлеровыми симметрическими пространствами . Взаимосвязь особенно очевидна в случае сложных аффинных голономий, как продемонстрировал Шваххёфер (2001).

Пусть V - конечномерное комплексное векторное пространство, H ⊂ Aut ( V ) - неприводимая полупростая комплексная связная подгруппа Ли, а K ⊂ H - максимальная компактная подгруппа.

1. Если есть неприводимые эрмиты симметричного пространство вида G / (U (1) · К ), то оба Н и С * · Н не являются симметричными неприводимым аффинными голономии групп, где V касательное представление K .
2. Если существует неприводимое кватернионно-кэлерово симметрическое пространство вида G / (Sp (1) · K ), то H является несимметричной неприводимой группой аффинной голономии, как и C * · H, если dim V = 4. Здесь комплексифицированное касательное представление Sp (1) · к является с ² ⊗ V и Н сохраняет сложную симплектическую форму на V .

Эти два семейства дают все несимметричные неприводимые комплексные аффинные группы голономии, за исключением следующих:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Sp} (2,\mathbf {C} )\cdot \mathrm {Sp} (2n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{2}\otimes \mathbf {C} ^{2n}\right)\\G_{2}(\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{7}\right)\\\mathrm {Spin} (7,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{8}\right).\end{aligned}}}$

Используя классификацию эрмитовых симметрических пространств, первое семейство дает следующие комплексные аффинные группы голономии:

${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SL} (m,\mathbf {C} )\cdot \mathrm {SL} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{m}\otimes \mathbf {C} ^{n}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SL} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Lambda ^{2}\mathbf {C} ^{n}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SL} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(S^{2}\mathbf {C} ^{n}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SO} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{n}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {Spin} (10,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Delta _{10}^{+}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{16}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot E_{6}(\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{27}\right)\end{aligned}}}$

где Z _C либо тривиально, либо группа C *.

Используя классификацию кватернионно-кэлеровых симметрических пространств, второе семейство дает следующие комплексные симплектические группы голономии:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Sp} (2,\mathbf {C} )\cdot \mathrm {SO} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{2}\otimes \mathbf {C} ^{n}\right)\\(Z_{\mathbf {C} }\,\cdot )\,\mathrm {Sp} (2n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{2n}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(S^{3}\mathbf {C} ^{2}\right)\\\mathrm {Sp} (6,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Lambda _{0}^{3}\mathbf {C} ^{6}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{14}\right)\\\mathrm {SL} (6,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Lambda ^{3}\mathbf {C} ^{6}\right)\\\mathrm {Spin} (12,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Delta _{12}^{+}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{32}\right)\\E_{7}(\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{56}\right)\\\end{aligned}}}$

(Во второй строке Z _C должно быть тривиальным, если n = 2.)

Из этих списков можно наблюдать аналог результата Саймонса о том, что римановы группы голономии действуют транзитивно на сферах: все представления комплексной голономии являются предоднородными векторными пространствами . Концептуальное доказательство этого факта не известно.

Классификация неприводимых реальных аффинных голономий может быть получена путем тщательного анализа с использованием приведенных выше списков и того факта, что реальные аффинные голономии усложняются до сложных.

Этимология [ править ]

Есть похожее слово « голоморфный », которое было введено двумя учениками Коши , Брио (1817–1882) и Буке (1819–1895), и происходит от греческого ὅλος ( holos ), означающего «цельный», и μορφή ( morphē ) означает «форма» или «внешний вид». ^[12] Этимология «голономии» разделяет первую часть с «голоморфной» ( holos ). О второй части:

«Чрезвычайно трудно найти этимологию голономии (или голономии) в сети. Я нашел следующее (благодаря Джону Конвею из Принстона): « Я считаю, что впервые это было использовано Пуансо в его анализе движения твердого тела. тело. В этой теории система называется "голономной", если в определенном смысле можно восстановить глобальную информацию из локальной информации, поэтому значение "закон целостности" вполне уместно. Качение шара по столу неголономный, потому что один, идущий разными путями к одной и той же точке, может привести его в разные ориентации. Однако, возможно, было бы слишком упрощенно сказать, что «голономия» означает «целостный закон». Корень «nom» имеет много переплетены смыслы в греческом, и, возможно, чаще относится к «счету».Оно происходит от того же индоевропейского корня, что и наше слово «число». '"

-  С. Голвала, ^[13]

См. Νόμος ( номос ) и -номи .

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Агрикола, Илка (2006), "Лекции Срни о неинтегрируемых геометриях с кручением", Arch. Математика. , 42 : 5–84, arXiv : math / 0606705
• Амвросий, Уоррен ; Певец, Isadore (1953), "Теорема о голономии", Труды Американского математического общества , 75 (3): 428-443, DOI : 10,2307 / 1990721 , JSTOR  1990721
• Баум, Х .; Friedrich, Th .; Grunewald, R .; Kath I. (1991), Твисторы и спиноры Киллинга на римановых многообразиях , Teubner-Texte zur Mathematik, 124 , BG Teubner, ISBN 9783815420140
• Бергер, Марсель (1953), "Sur les groupes d'holonomie homogènes des varétés affeines et des varétés riemanniennes" , Bull. Soc. Математика. France , 83 : 279–330, MR  0079806 , архивировано с оригинала 04.10.2007.
• Бессе, Артур Л. (1987), многообразия Эйнштейна , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты в математике и смежных областях (3)], 10 , Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-15279-8
• Бонан, Эдмонд (1965), «Четвертичная структура, преобразующая различные различия», CR Acad. Sci. Париж , 261 : 5445–8.
• Бонан, Эдмон (1966), "Sur les varétés riemanniennes à groupe d'holonomie G2 ou Spin (7)", CR Acad. Sci. Париж , 320 : 127–9].
• Борель, Арман ; Лихнерович, Андре (1952), «Группы холономических вариаций римских», Les Comptes rendus de l'Académie des Sciences , 234 : 1835–7, MR  0048133
• Брайант, Роберт Л. (1987), "Метрика с исключительной голономией", Анналы математики , 126 (3): 525-576, DOI : 10,2307 / 1971360 , JSTOR  1971360.
• Брайант, Роберт Л. (1991), «Две экзотические голономии в четырехмерном измерении, геометрии путей и твисторная теория», Amer. Математика. Soc. Proc. Symp. Чистая математика. Труды Симпозиумов в чистой математике, 53 : 33-88, DOI : 10,1090 / pspum / 053/1141197 , ISBN 9780821814925
• Брайант, Роберт Л. (2000), «Последние достижения в теории голономии», Astérisque , Séminaire Bourbaki 1998–1999, 266 : 351–374, arXiv : math / 9910059
• Картана, Эли (1926), "Sur ипе Classe remarquable d'ESPACES де Римана", Bulletin де ла Société Mathematique де Франс , 54 : 214-264, DOI : 10,24033 / bsmf.1105 , ISSN  0037-9484 , MR  1504900
• Картан Эли (1927), "Sur une classe remarquable d'espaces de Riemann", Bulletin de la Société Mathématique de France , 55 : 114–134, doi : 10.24033 / bsmf.1113 , ISSN  0037-9484
• Чи, Куо-Шин; Меркулов, Сергей А .; Шваххёфер, Лоренц Дж. (1996), "О неполноте списка Бергера репрезентаций голономии", Invent. Математика. , 126 (2): 391–411, arXiv : dg-da / 9508014 , Bibcode : 1996InMat.126..391C , doi : 10.1007 / s002220050104
• Голвала, С. (2007), Конспект лекций по классической механике для физики 106ab (PDF)
• Джойс, Д. (2000), Компактные многообразия со специальной голономией , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850601-0
• Кобаяши, С .; Номидзу К. (1963), Основы дифференциальной геометрии, т. 1 и 2 (новая редакция), Wiley-Interscience (опубликовано в 1996 г.), ISBN 978-0-471-15733-5
• Kraines, Вивиан Йох (1965), "Топология кватернионных многообразий", Bull. Амер. Математика. Soc. , 71, 3, 1 (3): 526-7, DOI : 10,1090 / s0002-9904-1965-11316-7.
• Лоусон, HB; Michelsohn, ML. (1989), Спиновая геометрия , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08542-5
• Лихнерович, Андре (2011) [1976], Глобальная теория связностей и групп голономии , Springer, ISBN 9789401015523
• Маркушевич, AI (2005) [1977], Сильверман, Ричард А. (ред.), Теория функций комплексной переменной (2-е изд.), Американское математическое общество , с. 112, ISBN 978-0-8218-3780-1
• Меркулов, Сергей А .; Шваххёфер, Лоренц Дж. (1999), «Классификация неприводимых голономий аффинных связностей без кручения», Annals of Mathematics , 150 (1): 77–149, arXiv : math / 9907206 , doi : 10.2307 / 121098 , JSTOR  121098 ; "Приложение", Ann. математики. , 150 (3): 1177-9, 1999, Arxiv : математика / 9911266 , DOI : 10,2307 / 121067 , JSTOR 121067 . .
• Олмос, C. (2005), "Геометрическое доказательство теоремы Berger голономии", Annals математики , 161 (1): 579-588, DOI : 10,4007 / annals.2005.161.579
• Шарп, Ричард В. (1997), Дифференциальная геометрия: Обобщение Картаном программы Эрлангена Кляйна , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94732-7, Руководство по ремонту  1453120
• Schwachhöfer, Лоренц J. (2001), "Связь с неприводимыми голономиями представлений", достижениями в области математики , 160 (1): 1-80, да : 10.1006 / aima.2000.1973
• Симмонс, Джеймс (1962), "О транзитивности систем голономий", Annals математики , 76 (2): 213-234, DOI : 10,2307 / 1970273 , JSTOR  1970273 , МР  0148010
• Спивак, Майкл (1999), Комплексное введение в дифференциальную геометрию , II , Хьюстон, Техас: Опубликовать или погибнуть, ISBN 978-0-914098-71-3
• Штернберг, С. (1964), Лекции по дифференциальной геометрии , Челси, ISBN 978-0-8284-0316-0

Дальнейшее чтение [ править ]

• Литература о многообразиях специальной голономии , библиография Фредерика Витта.