Логические символы, представляющие iff
В логике и смежных областях, таких как математика и философия , « если и только если » (сокращенно « если и только » [1] ) - это двусмысленная логическая связка между утверждениями, где либо оба утверждения истинны, либо оба ложны.
Связка является бикондиционной (утверждение о материальной эквивалентности ) [2] и может быть уподоблена стандартной материальной условной («только если», равно «если ... то») в сочетании с ее обратной стороной («если»); отсюда и название. В результате истинность любого из связанных утверждений требует истинности другого (т.е. либо оба утверждения верны, либо оба ложны), хотя остается спорным вопрос о том, правильно ли определенная таким образом связка передана англичанами "if и только если "- с уже существующим значением. Например, P тогда и только тогда, когда Q означает, что единственный случай, когда P истинно, - это если Q также истинно,тогда как в случае P, если Q, могут быть другие сценарии, когда P истинно, а Q ложно.
В письменной форме фразы, обычно используемые в качестве альтернативы P «тогда и только тогда, когда» Q включают: Q необходимо и достаточно для P , P эквивалентно (или материально эквивалентно) Q (сравните с материальным подтекстом ), P точно, если Q , P точно (или точно) , когда Q , P точно в случае , если Q и Р только в случае , если Q . [3] Некоторые авторы считают «iff» неподходящим для формального письма; [4] другие считают его «пограничным случаем» и терпят его использование. [5]
В логических формулах вместо этих фраз используются логические символы, такие как [6] и , [7] ; см. § Обозначения ниже.
Определение [ править ]
Таблица истинности из P Q выглядит следующим образом : [8] [9]
п | Q | P Q | P Q | P Q |
---|---|---|---|---|
Т | Т | Т | Т | Т |
Т | F | F | Т | F |
F | Т | Т | F | F |
F | F | Т | Т | Т |
Он эквивалентен логическому элементу XNOR и противоположен логическому элементу XOR . [10]
Использование [ править ]
Обозначение [ править ]
Соответствующие логические символы - «↔», [6] « », [7] и « ≡ », [11], а иногда и «iff». Обычно они рассматриваются как эквивалентные. Однако некоторые тексты по математической логике (особенно те , которые касаются логики первого порядка , а не логики высказываний ) проводят различие между ними, в которых первый,, используется как символ в логических формулах, а используется в рассуждениях о те логические формулы (например, в металогике ). В Лукашевич «s польской нотации , это символ префикс„E“. [12]
Другой термин для этой логической связки - исключающий, ни .
В TeX «если и только если» отображается как длинная двойная стрелка: через команду \ iff. [13]
Доказательства [ править ]
В большинстве логических систем , один доказывает утверждение вида «P тогда и только тогда Q», доказав , либо «если P, то Q» и «если Q, то Р», или «если Р, то Q» и «если не-P , то не-Q ". [1] Доказательство этой пары утверждений иногда приводит к более естественному доказательству, так как нет очевидных условий, при которых можно было бы напрямую вывести биконусловие. Альтернативой является доказательство дизъюнкции «(P и Q) или (not-P и not-Q)», которая сама может быть выведена непосредственно из любого из ее дизъюнктов, то есть потому, что «iff» является истинно-функциональным », P iff Q "следует, если P и Q оба истинны, или оба ложны.
Происхождение iff и произношение [ править ]
Аббревиатура «iff» впервые появилась в печати в книге Джона Л. Келли « Общая топология» 1955 года . [14] Его изобретение часто приписывают Полу Халмосу , который писал: «Я изобрел« если и только если », то есть« если и только если »- но я никогда не мог поверить, что я действительно был его первым изобретателем». [15]
Непонятно, как должно было произноситься слово «iff». В современной практике единственное «слово» «если и только если» почти всегда читается как четыре слова «если и только если». Однако в предисловии к « Общей топологии» Келли предлагает читать по-другому: «В некоторых случаях, когда математическое содержание требует« если и только если », а благозвучие требует чего-то меньшего, я использую Halmos« iff »». Авторы одного учебника по дискретной математике предлагают: [16] «Если вам нужно произносить iff, действительно держитесь за« ff », чтобы люди слышали разницу от« if »», подразумевая, что «iff» можно произносить как [ ɪfː] .
Использование в определениях [ править ]
Технически определения всегда являются утверждениями типа «если и только если»; некоторые тексты - такие , как Келли общей топологии - следовать строгим требованиям логики, и использование « если и только если» или тогда и только тогда в определениях новых терминов. [17] Однако это логически правильное использование слова «если и только если» относительно необычно, так как большинство учебников, исследовательских работ и статей (включая статьи в английской Википедии) следуют специальному соглашению интерпретировать «если» как if », всякий раз, когда задействовано математическое определение (например,« топологическое пространство компактно, если каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие »). [18]
Отличие от «если» и «только если» [ править ]
В этом разделе не процитировать любые источники . Июнь 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) ( |
- «Мэдисон съест фрукт, если это яблоко». (эквивалент « Только если Мэдисон съест фрукт, это может быть яблоко» или «Мэдисон съест фрукт ← фрукт - яблоко» )
- В нем говорится, что Мэдисон будет есть яблоки. Однако это не исключает возможности того, что Мэдисон также может есть бананы или другие фрукты. Все, что известно наверняка, - это то, что она будет есть все яблоки, которые ей попадутся. То, что фрукт является яблоком, является достаточным условием для Мэдисон, чтобы съесть этот фрукт.
- «Мэдисон съест фрукт, только если это яблоко». (эквивалент « Если Мэдисон съест фрукт, то это яблоко» или «Мэдисон съест фрукт → фрукт - яблоко» )
- В нем говорится, что Мэдисон ест только яблоко. Однако это не исключает возможности того, что Мэдисон откажется от яблока, если оно станет доступным, в отличие от пункта (1), который требует от Мэдисона съесть любое доступное яблоко. В этом случае то, что данный фрукт является яблоком, является необходимым условием для Мэдисон, чтобы его съесть. Это недостаточное условие, поскольку Мэдисон может съесть не все яблоки, которые ей дают.
- «Мэдисон съест фрукт тогда и только тогда, когда это будет яблоко». (эквивалент «Мэдисон съест фрукт ↔ фрукт - яблоко» )
- Это заявление дает понять, что Мэдисон будет есть все и только те фрукты, которые являются яблоками. Она не оставит ни одного яблока несъеденным, и она не будет есть никаких других фруктов. То, что данный фрукт является яблоком, является одновременно необходимым и достаточным условием для Мэдисон, чтобы съесть этот фрукт.
Достаточность противоположна необходимости. То есть, при P → Q (то есть , если Р , то Q ), P будет достаточным условием для Q , и Q будет необходимым условием для P . Также, если P → Q , верно, что ¬Q → ¬P (где ¬ - оператор отрицания, т.е. «не»). Это означает, что взаимосвязь между P и Q , установленная посредством P → Q , может быть выражена следующими эквивалентными способами:
- P достаточно для Q
- Q необходим для P
- ¬Q достаточно для ¬P
- ¬P необходим для ¬Q
В качестве примера возьмем первый пример выше, в котором указано P → Q , где P - «рассматриваемый фрукт - это яблоко», а Q - «Мэдисон съест этот фрукт». Ниже приведены четыре эквивалентных способа выражения этих отношений:
- Если рассматриваемый фрукт - яблоко, то Мэдисон съест его.
- Только если Мэдисон съест рассматриваемый фрукт, будет ли это яблоко.
- Если Мэдисон не съест рассматриваемый фрукт, то это не яблоко.
- Мэдисон не будет есть его, только если это не яблоко.
Здесь второй пример можно переформулировать в форме if ... then as «Если Мэдисон съест рассматриваемый фрукт, то это яблоко»; рассматривая это в сочетании с первым примером, мы обнаруживаем, что третий пример можно сформулировать так: «Если рассматриваемый фрукт - яблоко, то Мэдисон съест его; а если Мэдисон съест фрукт, то это яблоко».
В терминах диаграмм Эйлера [ править ]
Является собственным подмножеством B . Число находится в A, только если оно находится в B ; число в B , если он находится в A .
С представляет собой подмножество , но не собственное подмножество B . Ряд находится в B тогда и только тогда , когда он находится в C , и число в C тогда и только тогда , когда он находится в B .
Диаграммы Эйлера показывают логические отношения между событиями, свойствами и т. Д. «P, только если Q», «если P, то Q» и «P → Q» все означают, что P является подмножеством , правильным или несобственным, Q. «P, если Q», «если Q, то P» и Q → P все означают, что Q является собственным или несобственным подмножеством P. «P тогда и только тогда, когда Q» и «Q тогда и только тогда, когда P» означают, что множества P и Q идентичны друг другу.
Более общее использование [ править ]
Iff также используется вне области логики. Где бы ни применялась логика, особенно в математических дискуссиях, она имеет то же значение, что и выше: это сокращение от « если и только если» , указывающее на то, что одно утверждение необходимо и достаточно для другого. [1] Это пример математического жаргона (хотя, как отмечалось выше, если в формулировках определения используется чаще, чем iff ).
Элементы X являются те и только те элементы Y означает: «Для любого г в области дискурса , г в X тогда и только тогда , когда г находится в Y » .
См. Также [ править ]
- Логическая двусмысленность
- Логическое равенство
- Логическая эквивалентность
- Полисиллогизм
Ссылки [ править ]
- ^ a b c «Окончательный словарь высшего математического жаргона - если и только если» . Математическое хранилище . 1 августа 2019 . Проверено 22 октября 2019 года .
- ^ Копи, IM; Cohen, C .; Flage, DE (2006). Основы логики (второе изд.). Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Pearson Education. п. 197. ISBN 978-0-13-238034-8.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Ифф". Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Iff.html
- ^ Например, Дэпп, Ульрих; Горкин, Памела (2011), Чтение, письмо и доказательство: более пристальный взгляд на математику , Тексты для бакалавриата по математике , Springer, стр. 52, ISBN 9781441994790,
Хотя это может реально сэкономить время, мы не рекомендуем его в письменной форме.
- ^ Ротвелл, Эдвард Дж .; Клауд, Майкл Дж. (2014), Инженерное письмо по дизайну: создание официальных документов, имеющих непреходящую ценность , CRC Press, стр. 98, ISBN 9781482234312,
Это обычное дело в математическом письме
- ^ a b «Исчерпывающий список логических символов» . Математическое хранилище . 6 апреля 2020 . Дата обращения 4 сентября 2020 .
- ^ a b Пейл, Тимоти. «Условные и двусмысленные» . web.mnstate.edu . Дата обращения 4 сентября 2020 .
- ^ p <=> q . Вольфрам | Альфа
- ^ Если и только если , Департамент математики UHM,
теоремы, которые имеют форму «P, если и только Q», очень ценятся в математике.
Они дают так называемые «необходимые и достаточные» условия и дают совершенно эквивалентные и, надеюсь, интересные новые способы сказать одно и то же.
- ^ "XOR / XNOR / Odd Parity / Четный шлюз" . www.cburch.com . Проверено 22 октября 2019 года .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Эквивалент» . mathworld.wolfram.com . Дата обращения 4 сентября 2020 .
- ^ "Ян Лукасевич> Без скобок или польская нотация Лукасевича (Стэнфордская энциклопедия философии)" . plato.stanford.edu . Проверено 22 октября 2019 года .
- ^ "LaTeX: Символ" . Искусство решения проблем . Проверено 22 октября 2019 года .
- ^ Общая топология, переиздание ISBN 978-0-387-90125-1
- ^ Николас Дж. Хайэм (1998). Справочник по письму для математических наук (2-е изд.). СИАМ. п. 24. ISBN 978-0-89871-420-3.
- ^ Маурер, Стивен Б .; Ральстон, Энтони (2005). Дискретная алгоритмическая математика (3-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. п. 60. ISBN 1568811667.
- ^ Например, из « Общая топология» , стр. 25: «Множество счетно тогда и только тогда, когда оно конечно или счетно бесконечно». [жирный шрифт в оригинале]
- Перейти ↑ Krantz, Steven G. (1996), A Primer of Mathematical Writing , American Mathematical Society, p. 71 , ISBN 978-0-8218-0635-7
Внешние ссылки [ править ]
Викискладе есть медиафайлы по теме " Если и только если" . |
- «Таблицы истины тогда и только тогда, когда» . Архивировано из оригинала 5 мая 2000 года.
- Языковой журнал: «На всякий случай»
- Философия Южной Калифорнии для аспирантов философии: «На всякий случай»