Кардинальное назначение фон Неймана

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Кардинальное назначение фон Неймана»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( февраль 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Фон Нейман назначение Кардинала является назначением Кардинала , который использует порядковые номера . Для хорошо упорядочиваемой множества U , мы определим его кардинальное число будет наименьшим порядковым номером equinumerous к U , используя определение фон Неймана порядковым номером. Точнее:

${\displaystyle |U|=\mathrm {card} (U)=\inf\{\alpha \in ON\ |\ \alpha =_{c}U\},}$

где ON - класс ординалов. Этот ординал также называется начальным ординалом кардинала.

То, что такой ординал существует и уникален, гарантируется тем фактом, что U хорошо упорядочен и что класс ординалов хорошо упорядочен с использованием аксиомы замены . Согласно полной аксиоме выбора , каждый набор можно хорошо упорядочить, поэтому у каждого набора есть кардинал; мы упорядочиваем кардиналов, используя унаследованный порядок порядковых номеров. Легко найти, что это совпадает с порядком через ≤ _c . Это правильный порядок количественных чисел.

Начальный порядковый номер кардинала [ править ]

Каждому порядковому номеру соответствует его кардинал , его мощность, получаемая простым забыванием порядка. Любой хорошо упорядоченный набор, имеющий этот порядковый номер в качестве типа порядка, имеет одинаковую мощность. Наименьший ординал, имеющий данный кардинал в качестве мощности, называется начальным ординалом этого кардинала. Каждый конечный порядковый номер ( натуральное число ) является начальным, но большинство бесконечных порядковых номеров не являются начальными. Аксиома выбора эквивалентно утверждению , что каждое множество может быть вполне упорядоченным, то есть , что каждый кардинал имеет начальное порядковое. В этом случае принято отождествлять кардинальное число с его начальным порядковым номером, и мы говорим, что начальный порядковый номер является кардиналом.

-М бесконечное начальное порядковое написано . Записывается его мощность ( -е алефное число ). Например, мощность IS , который также мощность , и (все счетные порядковые). Таким образом, мы отождествляем себя с , за исключением того, что обозначение используется для записи кардиналов и порядковых чисел. Это важно, потому что арифметика по кардиналам отличается от арифметики по порядковым числам , например  =  while  >  . Кроме того, это самая маленькая бесчисленная${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \omega _{\alpha }}$${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \omega _{0}=\omega }$${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \omega ^{2}}$${\displaystyle \omega ^{\omega }}$${\displaystyle \epsilon _{0}}$${\displaystyle \omega _{\alpha }}$${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$${\displaystyle \omega _{\alpha }}$${\displaystyle \aleph _{\alpha }^{2}}$${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$${\displaystyle \omega _{\alpha }^{2}}$${\displaystyle \omega _{\alpha }}$${\displaystyle \omega _{1}}$порядковый номер (чтобы убедиться в его существовании, рассмотрим набор классов эквивалентности правильного упорядочения натуральных чисел; каждый такой хороший порядок определяет счетный порядковый номер и является порядковым типом этого набора) - наименьший порядковый номер, мощность которого равна больше, чем и так далее, и является пределом для натуральных чисел (любое ограничение кардиналов является кардинальным, поэтому этот предел действительно является первым кардиналом после всех ).${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \omega _{\omega }}$${\displaystyle \omega _{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \omega _{n}}$

Бесконечные начальные порядковые числа являются предельными порядковыми числами. Используя порядковую арифметику, следует , и 1 ≤ α <ω _β влечет α · ω _β = ω _β , а 2 ≤ α <ω _β влечет α ^{ω _β} = ω _β . Используя иерархию Веблена , β ≠ 0 и α <ω _β влечет и Γ _{ω β} = ω _β . Действительно, можно пойти намного дальше. Итак, как порядковый номер, бесконечный начальный порядковый номер является чрезвычайно сильным ограничением.${\displaystyle \alpha <\omega _{\beta }}$${\displaystyle \alpha +\omega _{\beta }=\omega _{\beta }}$${\displaystyle \varphi _{\alpha }(\omega _{\beta })=\omega _{\beta }\,}$

См. Также [ править ]

• Число Алеф

Ссылки [ править ]

• Ю. Н. Мощовакис Заметки по теории множеств (Спрингер, 1994) с. 198