Непереходные кости

Набор кубиков является непереходным (или нетранзитивным), если он содержит три кубика, A , B и C , с тем свойством, что A бросает выше B более чем в половине случаев, а B бросает выше C более чем в половине случаев, но неверно, что А бросается выше С более чем в половине случаев. Другими словами, набор игральных костей является непереходным, если бинарное отношение - $X$ бросает большее число, чем $Y,$ более чем в половине случаев - на его элементах не является транзитивным .

Можно найти наборы кубиков с еще более сильным свойством: для каждого кубика в наборе есть еще один кубик, который выбрасывает большее число, чем оно, более чем в половине случаев. Используя такой набор игральных костей, можно изобрести игры, которые будут предвзятыми, чего люди, не привыкшие к непереходным играм в кости, могут не ожидать (см. Пример ). ^[1]^[2]^[3]^[4]

Пример [ править ]

Пример непереходной кости (противоположные стороны имеют то же значение, что и показанные).

Рассмотрим следующий набор игральных костей.

Матрица A имеет стороны 2, 2, 4, 4, 9, 9.
Матрица B имеет стороны 1, 1, 6, 6, 8, 8.
Матрица C имеет стороны 3, 3, 5, 5, 7, 7.

Вероятность того, что выбрасывает большее количество , чем B , вероятность того, что B валков выше , чем C , и вероятность того, что C валков выше , чем A являются все5/9, поэтому этот набор игральных костей непереходный. Фактически, у него есть еще более сильное свойство, заключающееся в том, что для каждого кубика в наборе есть еще один кубик, который больше чем в половине случаев выбрасывает большее число.

Теперь рассмотрим следующую игру, в которую играют с набором игральных костей.

Первый игрок выбирает кубик из набора.
Второй игрок выбирает один кубик из оставшихся кубиков.
Оба игрока бросают кубик; побеждает игрок, выпавший на большее число.

Если в эту игру играют с переходным набором кубиков, это либо справедливо, либо смещено в пользу первого игрока, потому что первый игрок всегда может найти кубик, который не будет побит никакими другими кубиками более чем в половине случаев. Однако, если в нее играют с набором кубиков, описанным выше, игра смещается в пользу второго игрока, потому что второй игрок всегда может найти кубик, который с вероятностью побьет кубик первого игрока.5/9. В следующих таблицах показаны все возможные результаты для всех трех пар игральных костей.

А C	2	4	9	B А	1	6	8	C B	3	5	7
Игрок 1 выбирает кубик A Игрок 2 выбирает кубик C				Игрок 1 выбирает кубик B Игрок 2 выбирает кубик A				Игрок 1 выбирает кубик C Игрок 2 выбирает кубик B
3	C	А	А	2	А	B	B	1	C	C	C
5	C	C	А	4	А	B	B	6	B	B	C
7	C	C	А	9	А	А	А	8	B	B	B

Комментарий относительно эквивалентности непереходных игральных костей [ править ]

Хотя три непереходных кубика A, B, C (первый набор кубиков)

А: 2, 2, 6, 6, 7, 7
А: 1, 1, 5, 5, 9, 9
С: 3, 3, 4, 4, 8, 8

P (A> B) = P (B> C) = P (C> A) = 5/9

и три непереходных игральных костей A ', B', C '(второй набор игральных костей)

A ′: 2, 2, 4, 4, 9, 9
В ': 1, 1, 6, 6, 8, 8
С ': 3, 3, 5, 5, 7, 7

P (A ′> B ′) = P (B ′> C ′) = P (C ′> A ′) = 5/9

выигрывают друг у друга с равной вероятностью они не равнозначны. В то время как первый набор кубиков (A, B, C) имеет «самый высокий» кубик, второй набор кубиков имеет «самый низкий» кубик. Если бросить три кубика из набора и всегда использовать наивысший балл для оценки, то для двух наборов кубиков будет получен разный выигрыш. С первым набором кубиков кубик B выиграет с наибольшей вероятностью (88/216) и кости A и C выиграют с вероятностью 64/216. Со вторым набором игральных костей кубик C 'выиграет с наименьшей вероятностью (56/216) и кости A ′ и B ′ выиграют с вероятностью 80/216.

Варианты [ править ]

Кости Эфрона [ править ]

Игральные кости Эфрона - это набор из четырех непереходных игральных костей, изобретенный Брэдли Эфроном .

Изображение игральных костей Эфрона.

На шести гранях четырех кубиков A, B, C, D нанесены следующие числа:

А: 4, 4, 4, 4, 0, 0
А: 3, 3, 3, 3, 3, 3
С: 6, 6, 2, 2, 2, 2
D: 5, 5, 5, 1, 1, 1

Вероятности [ править ]

Каждый кубик бьет предыдущий кубик в списке с вероятностью 2/3:

{\ Displaystyle P (A> B) = P (B> C) = P (C> D) = P (D> A) = {2 \ over 3}}

Условная вероятность , дерево может быть использовано , чтобы различить вероятность , с которой рулонами С выше , чем D.

Значение B постоянно; Бьет это на2/3 катится, потому что четыре из шести его граней выше.

Точно так же B бьет C с помощью a 2/3 вероятность, потому что только два лица C выше.

P (C> D) можно вычислить, суммируя условные вероятности для двух событий:

C выкидывает 6 (вероятность 1/3); выигрывает независимо от D (вероятность 1)
C выпадает 2 (вероятность 2/3); выигрывает, только если D выпадает 1 (вероятность1/2)

Таким образом, общая вероятность выигрыша для C равна

\left({1 \over 3}\times 1\right)+\left({2 \over 3}\times {1 \over 2}\right)={2 \over 3}

При аналогичном вычислении вероятность того, что D выиграет у A, равна

\left({1 \over 2}\times 1\right)+\left({1 \over 2}\times {1 \over 3}\right)={2 \over 3}

Лучший общий кубик [ править ]

Четыре кубика имеют неравные шансы на то, что случайно выберут кубик из оставшихся трех:

Как доказано выше, матрица A бьет B в двух третях случаев, но бьет D только в одной трети. Вероятность того, что А победит С, равна4/9(A должен выбросить 4, а C должен выбросить 2). Таким образом, вероятность того, что А победит любой другой случайно выбранный кубик, составляет:

{1 \over 3}\times \left({2 \over 3}+{1 \over 3}+{4 \over 9}\right)={13 \over 27}

Точно так же матрица B бьет C в двух третях случаев, но бьет A только в одной трети. Вероятность того, что B победит D, равна1/2( только когда D выбрасывает 1). Таким образом, вероятность того, что B выиграет любой другой случайно выбранный кубик, составляет:

{1 \over 3}\times \left({2 \over 3}+{1 \over 3}+{1 \over 2}\right)={1 \over 2}

Die C бьет D в двух третях случаев, но лучше B только в одной трети. Вероятность того, что C победит A, равна5/9. Таким образом, вероятность того, что C выиграет любой другой случайно выбранный кубик, составляет:

{1 \over 3}\times \left({2 \over 3}+{1 \over 3}+{5 \over 9}\right)={14 \over 27}

Наконец, матрица D превосходит A в двух третях случаев, но лучше C только в одной трети. Вероятность того, что D победит B, равна1/2( только когда D выбрасывает 5). Таким образом, вероятность того, что D победит любой другой случайно выбранный кубик, равна:

{1 \over 3}\times \left({2 \over 3}+{1 \over 3}+{1 \over 2}\right)={1 \over 2}

Следовательно, лучший общий кубик - C с вероятностью выигрыша 0,5185. C также выбрасывает наибольшее среднее число в абсолютном выражении, 3+1/3. (Средний балл - 2+2/3, в то время как B и D равны 3.)

Варианты с равными средними значениями [ править ]

Обратите внимание, что у кубиков Эфрона разные средние броски: средний бросок А равен8/3, а B и D усредняют 9/3, и C в среднем 10/3. Непереходное свойство зависит от того, какие грани больше или меньше, но не зависит от абсолютной величины граней. Следовательно, можно найти варианты игральных костей Эфрона, в которых шансы на выигрыш не меняются, но все кости имеют одинаковый средний бросок. Например,

А: 7, 7, 7, 7, 1, 1
А: 5, 5, 5, 5, 5, 5
С: 9, 9, 3, 3, 3, 3
Д: 8, 8, 8, 2, 2, 2

Эти вариантные игральные кости полезны, например, для ознакомления учащихся с различными способами сравнения случайных величин (и с тем, как только сравнение средних значений может упустить из виду важные детали).

Пронумерованные от 1 до 24 кубиков [ править ]

Набор из четырех игральных костей, в котором используются все числа от 1 до 24, может быть сделан непереходным. С соседними парами вероятность выигрыша одного кубика составляет 2/3.

Для набора большого числа B соответствует A, C соответствует B, D соответствует C, A соответствует D.

А: 0 1, 0 2, 16, 17, 18, 19
А: 0 3, 0 4, 0 5, 20, 21, 22
С: 0 6, 0 7, 0 8, 0 9, 23, 24
Д: 10, 11, 12, 13, 14, 15

Связь с игральными костями Эфрона [ править ]

Эти кубики в основном такие же, как кубики Эфрона, так как каждое число в серии последовательных чисел на одном кубике может быть заменено наименьшим номером в серии, а затем перенумеровано.

А: 0 1, 0 2, 16, 17, 18, 19 → 0 1, 0 1, 16, 16, 16, 16 → 0, 0, 4, 4, 4, 4
А: 0 3, 0 4, 0 5, 20, 21, 22 → 0 3, 0 3, 0 3, 20, 20, 20 → 1, 1, 1, 5, 5, 5
С: 0 6, 0 7, 0 8, 0 9, 23, 24 → 0 6, 0 6, 0 6, 0 6, 23, 23 → 2, 2, 2, 2, 6, 6
D: 10, 11, 12, 13, 14, 15 → 10, 10, 10, 10, 10, 10 → 3, 3, 3, 3, 3, 3

Кости Мивина [ править ]

Кости Мивина

Игральные кости Мивина были изобретены в 1975 году физиком Майклом Винкельманном.

Рассмотрим набор из трех игральных костей III, IV и V таких, что

матрица III имеет стороны 1, 2, 5, 6, 7, 9
кубик IV имеет стороны 1, 3, 4, 5, 8, 9
матрица V имеет стороны 2, 3, 4, 6, 7, 8

Потом:

вероятность того, что валки III , большее количество , чем IV является17/36
вероятность того, что IV выберет большее число, чем V, равна 17/36
вероятность того, что V выпадет большее число, чем III, равна 17/36

Набор из трех кубиков с минимальными изменениями стандартных кубиков [ править ]

Следующие непереходные игральные кости имеют лишь несколько отличий по сравнению со стандартными игральными костями от 1 до 6:

Как и в случае со стандартными кубиками, общее количество очков всегда равно 21
как и у стандартных игральных костей, стороны имеют только номера пунктов от 1 до 6.
лица с одинаковым количеством очков встречаются максимум два раза на кубик
только две стороны каждого кубика имеют номера, отличные от стандартных кубиков:
- А: 1, 1 , 3, 5 , 5, 6
- А: 2, 3, 3 , 4, 4 , 5
- С: 1, 2, 2 , 4, 6, 6

Как и в наборе Мивина, вероятность победы A против B (или B против C, C против A) равна 17/36. Однако вероятность ничьей равна4/36, так что проигрывают только 15 рулонов из 36. Таким образом, общее ожидание выигрыша выше.

Уоррен Баффет [ править ]

Уоррен Баффетт, как известно, фанат непереходных игральных костей. В книге Формула Фортуны: Нерассказанная история научной системы ставок, победившей казино и Уолл-стрит, описывается дискуссия между ним и Эдвардом Торпом . Баффет и Торп обсудили общий интерес к непереходным играм в кости. «Это математическое любопытство, своего рода игра в кости, которая сбивает с толку представления большинства людей о вероятности».

Однажды Баффет попытался выиграть игру в кости с Биллом Гейтсом, используя непереходные кости. Баффет предложил каждому из них выбрать один из кубиков, а затем отбросить два других. Они будут делать ставку на то, кто чаще всего выбрасывает наибольшее число. Баффет предложил позволить Гейтсу выбрать кубик первым. Это предложение мгновенно пробудило любопытство Гейтса. попросил изучить кости, после чего потребовал, чтобы Баффет сделал выбор первым ». ^[5]

В 2010 году журнал Wall Street Journal процитировал Шэрон Осберг, партнера Баффета по мосту, сказав, что, когда она впервые посетила его офис 20 лет назад, он обманом заставил ее сыграть в игру с непереходными игральными костями, которую нельзя было выиграть, и «подумал, что это было весело». ^[6]

Набор непереходных кубиков для более чем двух игроков [ править ]

Некоторые люди ввели разновидности непереходных игральных костей, в которых можно соревноваться более чем с одним противником.

Трое игроков [ править ]

Оскар Дайс [ править ]

Оскар ван Девентер представил набор из семи игральных костей (все грани с вероятностью1/6) следующим образом: ^[7]

А: 2, 0 2, 14, 14, 17, 17
А: 7, 0 7, 10, 10, 16, 16
С: 5, 0 5, 13, 13, 15, 15
Д: 3, 0 3, 0 9, 0 9, 21, 21
E: 1, 0 1, 12, 12, 20, 20
Факс: 6, 0 6, 0 8, 0 8, 19, 19
Г: 4, 0 4, 11, 11, 18, 18

Можно проверить, что A превосходит {B, C, E}; B бьет {C, D, F}; C бьет {D, E, G}; D бьет {A, E, F}; E бьет {B, F, G}; F бьет {A, C, G}; G лучше {A, B, D}. Следовательно, для произвольно выбранных двух кубиков есть третий, который бьет их обоих. А именно,

G бьет {A, B}; F бьет {A, C}; G бьет {A, D}; D бьет {A, E}; D бьет {A, F}; F бьет {A, G};
A бьет {B, C}; G бьет {B, D}; A бьет {B, E}; E бьет {B, F}; E бьет {B, G};
B бьет {C, D}; A бьет {C, E}; B бьет {C, F}; F бьет {C, G};
C бьет {D, E}; B бьет {D, F}; C бьет {D, G};
D бьет {E, F}; C бьет {E, G};
E бьет {F, G}.

Что бы ни выбрали два оппонента, третий игрок найдет один из оставшихся кубиков, который бьет кубики обоих противников.

Грайм Дайс [ править ]

Доктор Джеймс Грайм обнаружил следующий набор из пяти кубиков: ^[8]

А: 2, 2, 2, 7, 7, 7
А: 1, 1, 6, 6, 6, 6
С: 0, 5, 5, 5, 5, 5
Д: 4, 4, 4, 4, 4, 9
E: 3, 3, 3, 3, 8, 8

Можно убедиться, что, когда игра ведется с одним набором кубиков Грайма:

A долей B долей C долей D долей E долей A (первая цепочка);
A удаляет C удаляет E удаляет B удаляет D удаляет A (вторая цепь).

Однако, когда игра ведется с двумя такими наборами, тогда первая цепочка остается той же (за одним исключением, обсуждаемым позже), но вторая цепочка переворачивается (т. Е. A больше, чем D, а B, E, C, лучше A). Следовательно, какой бы кубик ни выбрали два оппонента, третий игрок всегда может найти один из оставшихся кубиков, который побьет их обоих (при условии, что игроку разрешено выбирать между вариантом с одним кубиком и вариантом с двумя кубиками):

Наборы, выбранные противниками		Выигрышный набор игральных костей
Наборы, выбранные противниками		Тип	Число
А	B	E	1
А	C	E	2
А	D	C	2
А	E	D	1
B	C	А	1
B	D	А	2
B	E	D	2
C	D	B	1
C	E	B	2
D	E	C	1

Однако с этим набором есть две основные проблемы. Во-первых, в варианте игры с двумя кубиками первая цепочка должна оставаться такой же, чтобы игра была непереходной. Однако на практике D на самом деле превосходит C. Вторая проблема заключается в том, что третьему игроку нужно будет разрешить выбор между вариантом с одним кубиком и вариантом с двумя кубиками, что может рассматриваться как несправедливое по отношению к другим игрокам.

Исправленные кости грязи [ править ]

Вышеупомянутая проблема победы D над C возникает из-за того, что у кубиков 6 граней, а не 5. Если заменить самую низкую (или самую высокую) грань каждого кубика на «переброс» (R), все пять кубиков будут работать точно так, как задумал доктор Джеймс Грайм. :

А: R, 2, 2, 7, 7, 7
А: R, 1, 6, 6, 6, 6
С: R, 5, 5, 5, 5, 5
D: R, 4, 4, 4, 4, 9
E: R, 3, 3, 3, 8, 8

В качестве альтернативы, эти грани могут быть сопоставлены с набором пятиугольных трапециевидных (10-сторонних) игральных костей, где каждое число появляется ровно дважды, или с набором икосаэдрических (20-гранных) игральных костей, где каждое число встречается четыре раза. Это устраняет необходимость в «перемотке» лица.

Это решение было обнаружено австралийским преподавателем математики Джоном Чемберсом. ^{[ необходима цитата ]}

Четыре игрока [ править ]

Набор из четырех игроков еще не обнаружен, но было доказано, что для такого набора потребуется не менее 19 кубиков. ^[8]^[9]

Непереходные 4-сторонние игральные кости [ править ]

Тетраэдры можно использовать в качестве игральных костей с четырьмя возможными результатами .

Комплект 1

А: 1, 4, 7, 7
А: 2, 6, 6, 6
С: 3, 5, 5, 8

P (A> B) = P (B> C) = P (C> A) = 9/16

В следующих таблицах показаны все возможные результаты:

B А	2	6	6	6
1	B	B	B	B
4	А	B	B	B
7	А	А	А	А
7	А	А	А	А

В «А против Б» А выигрывает в 9 из 16 случаев.

C B	3	5	5	8
2	C	C	C	C
6	B	B	B	C
6	B	B	B	C
6	B	B	B	C

В «Б против С» В выигрывает в 9 из 16 случаев.

А C	1	4	7	7
3	C	А	А	А
5	C	C	А	А
5	C	C	А	А
8	C	C	C	C

В «C против A» C выигрывает в 9 из 16 случаев.

Комплект 2

А: 3, 3, 3, 6
А: 2, 2, 5, 5
С: 1, 4, 4, 4

P (A> B) = P (B> C) = 10/16, P (C> A) = 9/16

Непереходные 12-гранные кости [ править ]

По аналогии с непереходными шестигранными игральными костями, существуют также додекаэдры, которые служат непереходными двенадцатигранными игральными костями . Очки на каждой кости дают сумму 114. На каждом из додекаэдров нет повторяющихся чисел.

Додекаэдры Мивина (набор 1) циклически побеждают друг друга в соотношении 35:34.

Додекаэдры Мивина (набор 2) циклически побеждают друг друга в соотношении 71:67.

Набор 1:

D III	фиолетовый	1	2			5	6	7		9	10	11			14	15	16		18
D IV	красный	1		3	4	5			8	9	10		12	13	14			17	18
DV	темно-серый		2	3	4		6	7	8			11	12	13		15	16	17

D III
D IV
DV

Комплект 2:

D VI	голубой	1	2	3	4					9	10	11	12	13	14			17	18
D VII	груша зеленая	1	2			5	6	7	8	9	10					15	16	17	18
D VIII	светло-серый			3	4	5	6	7	8			11	12	13	14	15	16

D VI
D VII
D VIII

Непереходные 12-гранные кости с простыми номерами [ править ]

Также возможно построить наборы непереходных додекаэдров, в которых нет повторяющихся чисел, а все числа являются простыми числами. Непереходные додекаэдры Мивина с простыми числами циклически побеждают друг друга в соотношении 35:34.

Набор 1: Сумма чисел составляет 564.

PD 11	от серого к синему	13	17	29	31 год	37	43 год	47	53	67	71	73	83
PD 12	от серого к красному	13	19	23	29	41 год	43 год	47	59	61	67	79	83
PD 13	от серого к зеленому	17	19	23	31 год	37	41 год	53	59	61	71	73	79

PD 11
PD 12
PD 13

Набор 2: Сумма чисел составляет 468.

PD 1	от оливкового до синего	7	11	19	23	29	37	43 год	47	53	61	67	71
PD 2	бирюзово-красный	7	13	17	19	31 год	37	41 год	43 год	59	61	67	73
PD 3	от фиолетового до зеленого	11	13	17	23	29	31 год	41 год	47	53	59	71	73

PD 1
PD 2
PD 3

См. Также [ править ]

Блотто игры
Алгоритм Фрейвальдса
Нетранзитивная игра
Парадокс голосования Кондорсе

Ссылки [ править ]

^ Вайсштейн, Эрик В. «Игральные кости Эфрона» . Wolfram MathWorld . Проверено 12 января 2021 года .
^ Богомольные, Александр . «Нетранзитивные кости» . Разрежьте узел . Архивировано 12 января 2016 года.
^ Сэвидж, Ричард П. (май 1994). «Парадокс нетранзитивных игральных костей» . Американский математический ежемесячник . 101 (5): 429–436. DOI : 10.2307 / 2974903 . JSTOR 2974903 .
^ Крестца, Кристофер М. (июнь 2001). «Стратегии игры в кости Ефрона» . Математический журнал . 74 (3): 212–216. DOI : 10.2307 / 2690722 . JSTOR 2690722 . Проверено 12 января 2021 года .
^ Билл Гейтс ; Джанет Лоу (1998-10-14). Выступает Билл Гейтс: понимание величайшего предпринимателя в мире . Нью-Йорк: Вили. ISBN 9780471293538. Проверено 29 ноября 2011 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
^ "Как брак, только более прочный" . Yahoo! Финансы . The Wall Street Journal . 2010-12-06. Архивировано из оригинала на 2010-12-10 . Проверено 29 ноября 2011 .
Перейти ↑ Pegg, Ed Jr. (2005-07-11). «Турнирные кости» . Математические игры . Математическая ассоциация Америки . Архивировано 4 августа 2005 года . Проверено 6 июля 2012 .
^ a b Грайм, Джеймс. «Нетранзитивные кости» . Архивировано из оригинала на 2016-05-14.
^ Рид, Кеннет; McRae, AA; Hedetniemi, SM; Хедетниеми, Стивен (01.01.2004). «Доминирование и несостоятельность в турнирах» . Австралазийский журнал комбинаторики [только в электронном виде] . 29 .

Источники [ править ]

Гарднер, Мартин (2001). Колоссальная книга математики: классические головоломки, парадоксы и проблемы: теория чисел, алгебра, геометрия, вероятности, топология, теория игр, бесконечность и другие темы развлекательной математики (1-е изд.). Нью-Йорк: WW Norton & Company. п. 286 –311. CS1 maint: discouraged parameter (link)^{[ ISBN отсутствует ]}
Spielerische Mathematik mit Miwin'schen Würfeln (на немецком языке). Bildungsverlag Lemberger. ISBN 978-3-85221-531-0.

Внешние ссылки [ править ]

Страница MathWorld
MathTrek Иварса Петерсона - новый взгляд на хитрые кости (15 апреля 2002 г.)
Страница головоломки Джима Лоя
Официальный сайт Miwin (немецкий)
Нетранзитивный искатель игральных костей с открытым исходным кодом
Нетранзитивные кости Джеймса Грайма
mgf.winkelmann Miwins непереходный Dodekaeder
Математика
Конри, Б., Габбард, Дж., Грант, К., Лю, А., и Моррисон, К. (2016). Непереходные кости. Математический журнал, 89 (2), 133-143. Награжден Математической ассоциацией Америки
Гауэрс " проект непереходных кости

[MathWorld-1] Вайсштейн, Эрик В. «Игральные кости Эфрона» . Wolfram MathWorld . Проверено 12 января 2021 года .

[2] Богомольные, Александр . «Нетранзитивные кости» . Разрежьте узел . Архивировано 12 января 2016 года.

[3] Сэвидж, Ричард П. (май 1994). «Парадокс нетранзитивных игральных костей» . Американский математический ежемесячник . 101 (5): 429–436. DOI : 10.2307 / 2974903 . JSTOR 2974903 .

[4] Крестца, Кристофер М. (июнь 2001). «Стратегии игры в кости Ефрона» . Математический журнал . 74 (3): 212–216. DOI : 10.2307 / 2690722 . JSTOR 2690722 . Проверено 12 января 2021 года .

[5] Билл Гейтс ; Джанет Лоу (1998-10-14). Выступает Билл Гейтс: понимание величайшего предпринимателя в мире . Нью-Йорк: Вили. ISBN 9780471293538. Проверено 29 ноября 2011 . CS1 maint: discouraged parameter (link)

[6] "Как брак, только более прочный" . Yahoo! Финансы . The Wall Street Journal . 2010-12-06. Архивировано из оригинала на 2010-12-10 . Проверено 29 ноября 2011 .

[7] Перейти ↑ Pegg, Ed Jr. (2005-07-11). «Турнирные кости» . Математические игры . Математическая ассоциация Америки . Архивировано 4 августа 2005 года . Проверено 6 июля 2012 .

[A-8] Грайм, Джеймс. «Нетранзитивные кости» . Архивировано из оригинала на 2016-05-14.

[9] Рид, Кеннет; McRae, AA; Hedetniemi, SM; Хедетниеми, Стивен (01.01.2004). «Доминирование и несостоятельность в турнирах» . Австралазийский журнал комбинаторики [только в электронном виде] . 29 .

[1]