Инволюция (математика)

Инволюция - это функция, которая при двойном применении возвращает человека к исходной точке.

{\ displaystyle f: X \ to X}

В математике , инволюция , или инволютивная функция является функцией $е$ , которая является его собственным обратным ,

f (f (x)) = x

для всех $x$ в области определения $f$ . ^[1] Аналогично, двойное применение $f$ дает исходное значение.

Термин антиинволюция относится к инволюциям, основанным на антигомоморфизмах (см. § Кватернионная алгебра, группы, полугруппы ниже)

f (xy) = f (y) f (x)

такой, что

xy = f (f (xy)) = f (f (y) f (x)) = f (f (x)) f (f (y)) = xy

.

Общие свойства [ править ]

Любая инволюция - это биекция .

Карта идентичности - тривиальный пример инволюции. Общие примеры в математике нетривиальных инволюций включают умножение на -1 в арифметике , взятие обратных величин , дополнение в теории множеств и комплексное сопряжение . Другие примеры включают инверсию окружности , вращение на пол-оборота и обратные шифры, такие как преобразование ROT13 и полиалфавитный шифр Бофорта .

Количество инволюций, включая тождественную инволюцию, на множестве с n = 0, 1, 2, ... элементами задается рекуррентным соотношением, найденным Генрихом Августом Роте в 1800 году:

{\ displaystyle a_ {0} = a_ {1} = 1}

и для

{\ Displaystyle а_ {п} = а_ {п-1} + (п-1) а_ {п-2}}

{\ displaystyle n> 1.}

Первые несколько членов этой последовательности: 1 , 1, 2 , 4 , 10 , 26 , 76 , 232 (последовательность A000085 в OEIS ); эти числа называются телефонными номерами , и они также подсчитывают количество таблиц Юнга с заданным количеством ячеек. ^[2] композиция г ∘ е два инволюции е и г -инволюция тогда и только тогда , когда они коммутируют: г ∘ е = е ∘г . ^[3]

Каждая инволюция на нечетном числе элементов имеет хотя бы одну неподвижную точку . В более общем смысле, для инволюции на конечном наборе элементов количество элементов и количество фиксированных точек имеют одинаковую четность . ^[4]

Инволюция во всех областях математики [ править ]

Предварительное исчисление [ править ]

Основными примерами инволюций являются функции:

{\ displaystyle f_ {1} (x) = - x}

, или , а также их состав

{\ displaystyle f_ {2} (x) = {\ frac {1} {x}}}

{\ displaystyle (f_ {1} \ circ f_ {2}) (x) = (f_ {2} \ circ f_ {1}) (x) = f_ {3} (x) = - {\ frac {1} {Икс}}.}

Это не единственные инволюции до исчисления. Еще один в положительных реалах:

{\ displaystyle f (x) = \ ln \ left ({\ frac {e ^ {x} +1} {e ^ {x} -1}} \ right).}

График инволюции (на действительных числах) является прямым симметричным по линии . Это связано с тем, что инверсией любой общей функции будет ее отражение по линии 45 ° . Это можно увидеть, «поменяв местами» с . Если, в частности, функция является инволюцией , то она будет служить своим собственным отражением. ${\ displaystyle y = x}$ ${\ displaystyle y = x}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$

Другие элементарные инволюции полезны при решении функциональных уравнений .

Евклидова геометрия [ править ]

Простым примером инволюции трехмерного евклидова пространства является отражение через плоскость . Выполнение отражения дважды возвращает точку к исходным координатам.

Другая инволюция - это отражение через начало координат ; не отражение в указанном выше смысле, а значит, отличный пример.

Эти преобразования являются примерами аффинных инволюций .

Проективная геометрия [ править ]

Инволюция - это проективность периода 2, то есть проективность, которая меняет местами пары точек. ^[5]^{: 24}

Любая проективность, которая меняет местами две точки, есть инволюция.
Три пары противоположных сторон полного четырехугольника пересекают любую прямую (не проходящую через вершину) в трех парах инволюции. Эта теорема получила название теоремы об инволюции Дезарга . ^[6] Его истоки можно увидеть в лемме IV лемм к Porisms Евклида в томе VII в коллекции от Паппа Александрийского . ^[7]
Если у инволюции есть одна неподвижная точка , у нее есть другая, и она состоит из соответствия между гармоническими сопряженными точками по этим двум точкам. В этом случае инволюция называется «гиперболической», а при отсутствии неподвижных точек - «эллиптической». В контексте проекций неподвижные точки называются двойными точками . ^[5]^{: 53}

Другой тип инволюции, встречающийся в проективной геометрии, - это полярность, которая является корреляцией периода 2. ^[8]

Линейная алгебра [ править ]

В линейной алгебре инволюция - это линейный оператор T в векторном пространстве, такой что . За исключением характеристики 2, такие операторы можно диагонализовать для заданного базиса с помощью только единиц и −1 на диагонали соответствующей матрицы. Если оператор ортогонален ( ортогональная инволюция ), он ортонормированный диагонализуемый. ${\ displaystyle T ^ {2} = I}$

Например, предположим, что выбран базис для векторного пространства V , и что e ₁ и e ₂ являются базисными элементами. Существует линейное преобразование f, которое отправляет e ₁ в e ₂ и отправляет e ₂ в e ₁ , и которое является тождеством для всех других базисных векторов. Это можно проверить , что F ( F ( х )) = х для всех х в V . То есть, е является инволюцией V .

Для конкретной основы, любой линейный оператор может быть представлен в виде матрицы T . Каждая матрица имеет транспонирование , полученное заменой строк на столбцы. Эта транспозиция является инволюцией на множестве матриц.

Определение инволюции легко распространяется на модули . Учитывая , модуль М над кольцом R , R эндоморфизм F из М называется инволюция , если е ² гомоморфизм тождественны на М .

Инволюции связаны с идемпотентами ; если 2 обратимо, то они взаимно однозначно соотносятся .

Алгебра кватернионов, группы, полугруппы [ править ]

В алгебре кватернионов (анти) инволюция определяется следующими аксиомами: если мы рассматриваем преобразование, то это инволюция, если ${\ Displaystyle х \ mapsto f (x)}$

${\ Displaystyle е (е (х)) = х}$ (это его собственная инверсия)
${\ Displaystyle f (x_ {1} + x_ {2}) = f (x_ {1}) + f (x_ {2})}$ и (линейно) ${\ Displaystyle е (\ лямбда х) = \ лямбда е (х)}$
$f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})$

Антиинволюция не подчиняется последней аксиоме, а вместо этого

$f(x_{1}x_{2})=f(x_{2})f(x_{1})$

Этот прежний закон иногда называют антидистрибутивным . Он также появляется в группах как ( xy ) ⁻¹ = y ⁻¹x ⁻¹ . Взятый в качестве аксиомы, это приводит к понятию полугруппы с инволюцией , естественные примеры которой не являются группами, например умножение квадратных матриц (то есть полный линейный моноид ) с транспонированием в качестве инволюции.

Теория колец [ править ]

В теории колец слово инволюция обычно используется для обозначения антигомоморфизма, который является своей собственной обратной функцией. Примеры инволюций в общих кольцах:

комплексное сопряжение на комплексной плоскости
умножение на j в расщепленных комплексных числах
транспонирование в матричном кольце.

Теория групп [ править ]

В теории групп элемент группы называется инволюцией, если он имеет порядок 2; т.е. инволюция - это такой элемент a , что a ≠ e и a ² = e , где e - единичный элемент . ^[9]

Первоначально это определение согласовывалось с первым определением, приведенным выше, поскольку члены групп всегда были взаимно однозначными проекциями из множества в себя; то есть группа была принята для обозначения группы перестановок . К концу 19 века группа получила более широкое определение, и, соответственно, инволюция .

Перестановка является инволюцией точно , если она может быть записана в виде произведения одного или нескольких непересекающихся транспозиций .

Инволюции группы имеют большое влияние на структуру группы. Изучение инволюций сыграло важную роль в классификации конечных простых групп .

Элемент x группы G называется сильно вещественным, если существует инволюция t с x ^t = x ⁻¹ (где x ^t = t ⁻¹ ⋅ x ⋅ t ).

Группы Кокстера - это группы, порожденные инволюциями, отношения которых определяются только отношениями, заданными для пар порождающих инволюций. Группы Кокстера могут использоваться, среди прочего, для описания возможных правильных многогранников и их обобщений на более высокие измерения .

Математическая логика [ править ]

Операция дополнения в булевых алгебрах - это инволюция. Таким образом , отрицание в классической логике удовлетворяет закон двойного отрицания: ¬¬ эквивалентно A .

Обычно в неклассической логике отрицание, удовлетворяющее закону двойного отрицания, называется инволютивным. В алгебраической семантике такое отрицание реализуется как инволюция на алгебре истинностных значений . Примеры логик , которые имеют инволютивное отрицание являются клиниевские и Бочвар трехзначной логики , Лукасевич многозначная логики , нечеткая логика IMTL и т.д. Инволютивное отрицание иногда добавляют в качестве дополнительной связки к логикам с неинволютивными отрицания; это обычно, например, в нечетких логиках с t-нормой .

Инволютивность отрицания - важное свойство характеризации логик и соответствующих разновидностей алгебр . Например, инволютивное отрицание характеризует булевы алгебры среди алгебр Гейтинга . Соответственно, классическая булева логика возникает путем добавления закона двойного отрицания к интуиционистской логике . Такое же отношение имеет место также между MV-алгебрами и BL-алгебрами (и, соответственно, между логикой Лукасевича и нечеткой логикой BL ), IMTL и MTL и другими парами важных разновидностей алгебр (соответственно, соответствующих логик).

При изучении бинарных отношений каждое отношение имеет обратное отношение . Поскольку обратное от обратного является исходным отношением, операция преобразования является инволюцией в категории отношений . Бинарные отношения заказаны через включение . Хотя этот порядок меняется на противоположный с инволюцией дополнения , он сохраняется при преобразовании.

Информатика [ править ]

Исключающее ИЛИ операции побитовое с заданным значением для одного параметра является инволюцией. Маски XOR когда-то использовались для рисования графики на изображениях таким образом, что их двойное рисование на фоне возвращало фон в исходное состояние. НЕ побитовая операция также инволюция, и является частным случаем операции XOR , где один параметр имеет все биты , установленные в 1.

Другой пример - это битовая маска и функция сдвига, работающая со значениями цвета, хранящимися в виде целых чисел, скажем в форме RGB, которая меняет местами R и B, что приводит к форме BGR. f (f (RGB)) = RGB, f (f (BGR)) = BGR.

RC4 криптографический шифр является инволюцией, поскольку шифрование и дешифрование операция использует ту же самую функцию.

Практически все механические шифровальные машины реализуют обратный шифр , инволюцию для каждой введенной буквы. Вместо того, чтобы разрабатывать два типа машин, одну для шифрования, а другую для дешифрования, все машины могут быть идентичными и могут быть настроены (привязаны) одинаковым образом. ^[10]

См. Также [ править ]

Автоморфизм
Идемпотентность
ROT13

Ссылки [ править ]

^ Рассел, Бертран (1903), Принципы математики (2-е изд.), WW Norton & Company, Inc, стр. 426, ISBN 9781440054167
^ Кнут, Дональд (1973), Искусство программирования , том 3: Сортировка и поиск , Чтение, Массы - спектр .: Addison-Wesley, стр 48, 65,. МР 0445948 .
^ Кубрусли, Карлос С. (2011), Элементы теории операторов , Springer Science & Business Media, Проблема 1.11 (a), стр. 27, ISBN 9780817649982.
^ Загир, D. (1990), "А одно предложение доказательство того, что каждый простой р ≡ 1 ( по модулю 4) является суммой два квадратов", American Mathematical Monthly , 97 (2): 144, DOI : 10,2307 / 2323918 , JSTOR 2323918 , MR 1041893 .
^ a b А. Г. Пикфорд (1909) Элементарная проективная геометрия , Cambridge University Press через Интернет-архив
Перейти ↑ JV Field и JJ Gray (1987) The Geometrical Work of Girard Desargues, (New York: Springer), p. 54
^ Айвор Томас (редактор) (1980) Избранные, иллюстрирующие историю греческой математики, Том II, номер 362 в Классической библиотеке Леба (Кембридж и Лондон: Гарвард и Хайнеманн), стр. 610–3
^ HSM Coxeter (1969) Введение в геометрию , стр 244–8, John Wiley & Sons
^ Джон С. Роуз. «Курс теории групп» . п. 10, раздел 1.13.
^ Грег Гебель. «Механизация шифров» . 2018.

Дальнейшее чтение [ править ]

Ell, Todd A .; Сангвин, Стивен Дж. (2007). «Кватернионные инволюции и антиинволюции». Компьютеры и математика с приложениями . 53 (1): 137–143. arXiv : math / 0506034 . DOI : 10.1016 / j.camwa.2006.10.029 . S2CID 45639619 .
Кнус, Макс-Альберт; Меркурьев, Александр ; Рост, Маркус ; Тиньоль, Жан-Пьер (1998), Книга инволюций , Colloquium Publications, 44 , с предисловием Дж. Титса, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 0-8218-0904-0, Zbl 0955,16001
"Инволюция" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Рассел, Бертран (1903), Принципы математики (2-е изд.), WW Norton & Company, Inc, стр. 426, ISBN 9781440054167

[2] Кнут, Дональд (1973), Искусство программирования , том 3: Сортировка и поиск , Чтение, Массы - спектр .: Addison-Wesley, стр 48, 65,. МР 0445948 .

[3] Кубрусли, Карлос С. (2011), Элементы теории операторов , Springer Science & Business Media, Проблема 1.11 (a), стр. 27, ISBN 9780817649982.

[4] Загир, D. (1990), "А одно предложение доказательство того, что каждый простой р ≡ 1 ( по модулю 4) является суммой два квадратов", American Mathematical Monthly , 97 (2): 144, DOI : 10,2307 / 2323918 , JSTOR 2323918 , MR 1041893 .

[AGP-5] А. Г. Пикфорд (1909) Элементарная проективная геометрия , Cambridge University Press через Интернет-архив

[6] Перейти ↑ JV Field и JJ Gray (1987) The Geometrical Work of Girard Desargues, (New York: Springer), p. 54

[7] Айвор Томас (редактор) (1980) Избранные, иллюстрирующие историю греческой математики, Том II, номер 362 в Классической библиотеке Леба (Кембридж и Лондон: Гарвард и Хайнеманн), стр. 610–3

[8] HSM Coxeter (1969) Введение в геометрию , стр 244–8, John Wiley & Sons

[9] Джон С. Роуз. «Курс теории групп» . п. 10, раздел 1.13.

[10] Грег Гебель. «Механизация шифров» . 2018.

[1]