В математике , то комплексно сопряженное из комплексного числа есть число с равным реальной части и мнимой части равны по величине , но противоположны по знаку . То есть (если a и b действительны, то) комплексное сопряжение равно . Комплексное сопряжение часто обозначается как .
В полярной форме , конъюгат это . Это можно показать с помощью формулы Эйлера .
Произведение комплексного числа и его сопряженного числа является действительным числом: (или в полярных координатах ).
Если корень одномерного многочлена с действительными коэффициентами является комплексным, то его комплексное сопряжение также является корнем .
Обозначение [ править ]
Комплексное сопряжение комплексного числа записывается как или . Первое обозначение, A винкулум , позволяет избежать путаницы с обозначениями для сопряженной транспонированной из в матрице , которая может рассматриваться как обобщение комплексного сопряжения. Второе предпочтительнее в физике , где кинжал (†) используется для сопряженного транспонирования, в то время как штриховая нотация более распространена в чистой математике . Если комплексное число представлено в виде матрицы 2 × 2 , обозначения идентичны. [ требуется разъяснение ]
Свойства [ править ]
Следующие свойства применяются ко всем комплексным числам z и w , если не указано иное, и могут быть доказаны записью z и w в форме a + bi .
Для любых двух комплексных чисел сопряжение является распределительным по сравнению с сложением, вычитанием, умножением и делением:
Действительные числа - единственные фиксированные точки сопряжения. Комплексное число равно своему комплексно-сопряженному, если его мнимая часть равна нулю.
Композиция сопряжения с модулем эквивалентна только модулю.
Сопряжение - это инволюция , то есть сопряжение комплексного числа z - это z . [1]
Произведение комплексного числа и его сопряженного числа равно квадрату модуля числа. Это позволяет легко вычислить мультипликативную обратную величину комплексного числа, заданного в прямоугольных координатах.
Сопряжение коммутативно относительно композиции с возведением в степень до целых степеней, с экспоненциальной функцией и с натуральным логарифмом для ненулевых аргументов:
- если z не ноль
Если - многочлен с действительными коэффициентами и , то тоже. Таким образом, невещественные корни вещественных многочленов встречаются в комплексно сопряженных парах ( см. Теорему о комплексном сопряженном корне ).
В общем случае , если это голоморфная функция , сужение которой на действительные числа вещественное, а и определена, то
Отображение из в является гомеоморфизмом (где топология на считается стандартной топологией) и антилинейным , если рассматривать как комплексное векторное пространство над собой. Несмотря на то, что она кажется хорошо управляемой функцией, она не голоморфна ; он меняет ориентацию, тогда как голоморфные функции локально сохраняют ориентацию. Он биективен и совместим с арифметическими операциями и, следовательно, является полевым автоморфизмом . Как он держит действительные числа фиксированными, это элемент Галуа групп на расширении поля . Эта группа Галуа состоит только из двух элементов: и идентичности . Таким образом, единственные два полевых автоморфизма, которые оставляют действительные числа фиксированными, - это тождественное отображение и комплексное сопряжение.
Использовать как переменную [ править ]
Как только задано комплексное число или , его сопряженного числа достаточно для воспроизведения частей z -переменной:
- Реальная часть:
- Мнимая часть:
- Модуль (или абсолютное значение) :
- Аргумент : так
Кроме того, может использоваться для указания линий на плоскости: набор
представляет собой линию, проходящую через начало координат и перпендикулярную к , поскольку действительная часть равна нулю только тогда, когда косинус угла между и равен нулю. Аналогично, для фиксированной комплексной единицы u = exp ( b i) уравнение
определяет прямую, проходящую параллельно прямой, проходящей через 0 и u .
Такое использование конъюгата z в качестве переменной проиллюстрировано в книге Фрэнка Морли « Инверсивная геометрия» (1933), написанной вместе с его сыном Фрэнком Вигором Морли.
Обобщения [ править ]
Другие плоские вещественные алгебры, двойственные числа и расщепленные комплексные числа также анализируются с помощью комплексного сопряжения.
Для матриц комплексных чисел,, где представляет собой поэлементное сопряжение . [2] Сравните это со свойством , где представляет собой сопряженное транспонирование из .
Взятие сопряженного транспонирования (или присоединения) комплексных матриц обобщает комплексное сопряжение. Еще более общим является понятие сопряженного оператора для операторов в (возможно, бесконечномерных) комплексных гильбертовых пространствах . Все это относится к * -операциям C * -алгебр .
Можно также определить сопряжение кватернионов и расщепленных кватернионов : сопряжение is .
Все эти обобщения мультипликативны, только если факторы поменять местами:
Поскольку умножение плоских вещественных алгебр коммутативно , в этом обращении нет необходимости.
Существует также абстрактное понятие сопряжения для векторных пространств над комплексными числами . В этом контексте любое антилинейное отображение , удовлетворяющее
- , где и - тождественное отображение на ,
- для всех , и
- для всех , ,
называется комплексным сопряжением или реальной структурой . Поскольку инволюция является антилинейной , она не может быть тождественным отображением на .
Конечно, это -линейное преобразование , если заметить, что каждое комплексное пространство V имеет действительную форму, полученную путем взятия тех же векторов, что и в исходном пространстве, и ограничения скаляров действительными. Вышеупомянутые свойства фактически определяют реальную структуру в комплексном векторном пространстве . [3]
Одним из примеров этого понятия является операция сопряженного транспонирования сложных матриц, определенная выше. Однако в общих комплексных векторных пространствах нет канонического понятия комплексного сопряжения.
См. Также [ править ]
- Абсолютный квадрат
- Комплексно-сопряженная линия
- Комплексно-сопряженное представление
- Комплексно сопряженное векторное пространство
- Составная алгебра
- Сопряжение (квадратные корни)
- Производные Виртингера
Ссылки [ править ]
- ^ Ошибка цитирования: указанная ссылка
:1
была вызвана, но не была определена (см. Страницу справки ). - ^ Арфкен, Математические методы для физиков , 1985, стр. 201
- ^ Будинич, П. и Траутман, А. Спинориальная шахматная доска . Springer-Verlag, 1988, стр. 29
Библиография [ править ]
- Будинич П., Траутман А. Спинориальная шахматная доска . Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3 . (антилинейные карты обсуждаются в разделе 3.3).