Кендаллз W

W Кендалла (также известный как коэффициент соответствия Кендалла ) является непараметрической статистикой . Это нормализация статистики теста Фридмана , которую можно использовать для оценки согласия между оценщиками. W Кендалла варьируется от 0 (нет согласия) до 1 (полное согласие).

Предположим, например, что нескольких людей попросили расположить список политических проблем от наиболее важных до наименее важных. На основании этих данных можно рассчитать W Кендалла . Если тестовая статистика W равна 1, то все респонденты были единодушны, и каждый респондент присвоил один и тот же порядок списку проблем. Если W равно 0, то нет общей тенденции согласия между респондентами, и их ответы можно рассматривать как по существу случайные. Промежуточные значения W указывают на большую или меньшую степень единодушия между различными ответами.

В то время как тесты с использованием стандартного коэффициента корреляции Пирсона предполагают нормально распределенные значения и сравнивают одновременно две последовательности результатов, W Кендалла не делает никаких предположений относительно характера распределения вероятностей и может обрабатывать любое количество различных результатов.

Определение [ править ]

Предположим, что объекту i присвоен ранг r _{i, j} судьей с номером j , где всего n объектов и m судей. Тогда общий рейтинг, присвоенный объекту i, равен

${\ Displaystyle R_ {я} = \ сумма _ {j = 1} ^ {m} r_ {я, j},}$

и среднее значение этих общих рангов равно

${\ displaystyle {\ bar {R}} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} R_ {i}.}$

Сумма квадратов отклонений S определяется как

${\ displaystyle S = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (R_ {i} - {\ bar {R}}) ^ {2},}$

и тогда W Кендалла определяется как ^[1]

${\ displaystyle W = {\ frac {12S} {m ^ {2} (n ^ {3} -n)}}.}$

Если тестовая статистика W равна 1, то все судьи или респонденты единодушны, и каждый судья или респондент присвоили один и тот же порядок списку объектов или проблем. Если W равно 0, то нет общей тенденции согласия между респондентами, и их ответы можно рассматривать как по существу случайные. Промежуточные значения W указывают на большую или меньшую степень единодушия среди различных судей или респондентов.

Кендалл и Гиббонс (1990) также показывают, что W линейно связана со средним значением коэффициентов ранговой корреляции Спирмена между всеми возможными парами ранжирования судей.${\ displaystyle m \ choose {2}}$

${\ displaystyle {\ bar {r}} _ {s} = {\ frac {mW-1} {m-1}}}$

Неполные блоки [ править ]

Когда судьи оценивают только некоторое подмножество из n объектов, и когда соответствующий дизайн блока является (n, m, r, p, λ) -проектированием (обратите внимание на другие обозначения) . Другими словами, когда

1. каждый судья оценивает одинаковое количество p предметов для некоторых ,${\ displaystyle p <n}$
2. каждый объект ранжируется ровно одинаковое общее количество r раз,
3. и каждая пара объектов представлена ​​какому-либо судье вместе в сумме ровно λ раз,, константа для всех пар.${\ displaystyle \ lambda \ geq 1}$

Тогда W Кендалла определяется как ^[2]

${\displaystyle W={\frac {12\sum _{i=1}^{n}(R_{i}^{2})-3r^{2}n\left(p+1\right)^{2}}{\lambda ^{2}n(n^{2}-1)}}.}$

Если и так, что каждый судья оценивает все n объектов, формула выше эквивалентна исходной.${\displaystyle p=n}$${\displaystyle \lambda =r=m}$

Поправка на связи [ править ]

Когда возникают связанные значения, каждому из них присваивается среднее значение рангов, которое было бы присвоено, если бы не было ничьей. Например, набор данных {80,76,34,80,73,80} имеет значения 80, привязанные к 4-му, 5-му и 6-му месту; поскольку среднее значение {4,5,6} = 5, ранги будут присвоены значениям необработанных данных следующим образом: {5,3,1,5,2,5}.

Эффект связи заключается в уменьшении значения W ; однако этот эффект невелик, если нет большого количества связей. Чтобы исправить связи, присвойте ранги связанным значениям, как указано выше, и вычислите поправочные коэффициенты.

${\displaystyle T_{j}=\sum _{i=1}^{g_{j}}(t_{i}^{3}-t_{i}),}$

где t _i - количество связанных рангов в i- й группе связанных рангов (где группа - это набор значений, имеющих постоянный (связанный) ранг,), а g _j - количество групп равных в наборе рангов. (от 1 до n ) для судьи j . Таким образом, T _j - это поправочный коэффициент, необходимый для набора рангов для судьи j , то есть j- го набора рангов. Обратите внимание , что если нет привязанных рангов судьи J , T _J равен 0.

С поправкой на связи формула для W принимает вид

${\displaystyle W={\frac {12\sum _{i=1}^{n}(R_{i}^{2})-3m^{2}n(n+1)^{2}}{m^{2}n(n^{2}-1)-m\sum _{j=1}^{m}(T_{j})}},}$

где R _i - сумма рангов для объекта i , а - сумма значений T _j по всем m наборам рангов. ^[3]${\displaystyle \sum _{j=1}^{m}(T_{j})}$

Тесты значимости [ править ]

В случае полных рангов обычно используемый критерий значимости W против нулевой гипотезы о несогласии (т. Е. Случайное ранжирование) дан Кендаллом и Гиббонсом (1990) ^[4].

${\displaystyle \chi ^{2}=m(n-1)W}$

Где тестовая статистика принимает распределение хи-квадрат со степенями свободы.${\displaystyle df=n-1}$

В случае неполного ранжирования (см. Выше) это становится

${\displaystyle \chi ^{2}={\frac {\lambda (n^{2}-1)}{k+1}}W}$

Где снова есть степени свободы.${\displaystyle df=n-1}$

Лежандр ^[5] сравнил с помощью моделирования мощность подходов хи-квадрат и проверки перестановок для определения значимости W Кендалла . Результаты показали, что метод хи-квадрат был чрезмерно консервативным по сравнению с тестом перестановки, когда . Мароцци ^[6] расширил это, также рассматривая F- критерий, как это было предложено в оригинальной публикации, представляющей статистику W Кендаллом и Бабингтоном Смитом (1939):${\displaystyle m<20}$

${\displaystyle F={\frac {W(m-1)}{1-W}}}$

Если тестовая статистика следует за распределение F с и степенями свободы. Мароцци обнаружил, что F- тест работает примерно так же, как метод проверки перестановки, и может быть предпочтительнее, чем когда он маленький, поскольку он является более простым в вычислительном отношении.${\displaystyle v_{1}=n-1-(2/m)}$${\displaystyle v_{2}=(m-1)v_{1}}$${\displaystyle m}$

См. Также [ править ]

• Морис Кендалл
• Тау Кендалла
• Коэффициент ранговой корреляции Спирмена
• Тест Фридмана

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Кендалл, MG; Бабингтон Смит, Б. (сентябрь 1939 г.). «Проблема m рейтингов» . Летопись математической статистики . 10 (3): 275–287. DOI : 10.1214 / АОМ / 1177732186 . JSTOR  2235668 .
• Кендалл, MG, и Гиббонс, JD (1990). Методы ранговой корреляции. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета.
• Кордер, GW, Форман, Д.И. (2009). Непараметрическая статистика для нестатистиков: пошаговый подход Wiley, ISBN 978-0-470-45461-9 
• Додж, Ю. (2003). Оксфордский словарь статистических терминов , OUP. ISBN 0-19-920613-9 
• Лежандр, П. (2005) Видовые ассоциации: пересмотр коэффициента соответствия Кендалла. Журнал сельскохозяйственной, биологической и экологической статистики , 10 (2), 226–245. [1]
• Сигел, Сидней; Кастеллан, Н. Джон, младший (1988). Непараметрическая статистика для поведенческих наук (2-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 266. ISBN. 978-0-07-057357-4.
• Гиббонс, Джин Дикинсон; Чакраборти, Субхабрата (2003). Непараметрический статистический вывод (4-е изд.). Нью-Йорк: Марсель Деккер. С. 476–482. ISBN 978-0-8247-4052-8.