Не в квантовой механике , то Кохен-Шпекер ( KS ) теорема , [1] , также известная как теорема Белла-Кохен-Шпекере , [2] является «не годна» теорема [3] доказал Джон С. Белл в 1966 году и по Саймону Б. Кохен и Эрнст Шпеккеру в 1967 г. Это ставит определенные ограничения на допустимых типах теорий скрытых переменных , которые пытаются объяснить предсказания квантовой механикиконтекстно-независимым способом. Версия теоремы, доказанная Кохеном и Спекером, также дала явный пример этого ограничения в терминах конечного числа векторов состояния.
Теорема является дополнением к теореме Белла (ее следует отличать от теоремы (Белла–) Кохена – Шпекера из этой статьи). В то время как теорема Белла установила, что нелокальность является особенностью любой теории скрытых переменных, которая восстанавливает предсказания квантовой механики, теорема К.С. установила, что контекстность является неизбежной особенностью таких теорий.
Теорема доказывает, что существует противоречие между двумя основными предположениями теорий скрытых переменных, предназначенных для воспроизведения результатов квантовой механики: что все скрытые переменные, соответствующие квантово-механическим наблюдаемым, имеют определенные значения в любой момент времени, и что значения эти переменные являются внутренними и не зависят от устройства, используемого для их измерения. Противоречие вызвано тем, что квантово-механические наблюдаемые не обязательно должны быть коммутативными . Оказывается, невозможно одновременно вложить все коммутирующие подалгебры алгебры этих наблюдаемых в одну коммутативную алгебру, которая, как предполагается, представляет классическую структуру теории скрытых переменных, если размерность гильбертова пространства не менее трех.
Теорема Кохена-Шпекера исключает теории скрытых переменных, которые предполагают, что все элементы физической реальности могут быть последовательно представлены одновременно квантово-механическим формализмом гильбертова пространства без учета контекста конкретной структуры (технически проективное разложение тождественного оператора), связанной с рассматривается экспериментальная или аналитическая точка зрения. В сжатой форме излагается по Isham и Баттерфилду , [4] (в предположении универсального вероятностной выборки пространства , как в не-контекстных теории скрытой переменной) теорема Кохен-Шпекер «утверждает невозможность присвоения значений всех физические величины , в то время как, по в то же время, сохраняя функциональные отношения между ними ».
История
Теорема КС - важный шаг в дебатах о (не) полноте квантовой механики, усиленных в 1935 году критикой копенгагенского предположения о полноте в статье Эйнштейна, Подольского и Розена, создавшей так называемый парадокс ЭПР . Этот парадокс проистекает из предположения, что результат квантово-механического измерения генерируется детерминированным образом как следствие существования элемента физической реальности, который, как предполагается, присутствовал до измерения как свойство микроскопического объекта. В статье EPR предполагалось, что измеренное значение квантово-механической наблюдаемой может играть роль такого элемента физической реальности. Как следствие этого метафизического предположения, критика ЭПР не была воспринята очень серьезно большинством физического сообщества. Более того, в своем ответе [5] Бор указал на двусмысленность в статье EPR, заключающуюся в том, что она предполагает, что значение квантово-механической наблюдаемой неконтекстно (то есть не зависит от схемы измерения). По мнению Бора, учет контекстуальности, проистекающей из схемы измерения, сделает рассуждения ЭПР устаревшими. Впоследствии Эйнштейн [6] заметил, что опора Бора на контекстность подразумевает нелокальность («жуткое действие на расстоянии»), и что, как следствие, нужно принять неполноту, если кто-то хочет избежать нелокальности.
В 1950 - х и 1960 - й год две линии развития были открыты для тех , кто не прочь метафизиков, обе линии , улучшающей на «непроходной» теорему , представленная фон Нейман , [7] якобы доказать невозможность теорий скрытых переменным , дающих те же результаты, что и квантовая механика. Во-первых, Бом разработал интерпретацию квантовой механики , общепринятую как теорию скрытых переменных, лежащую в основе квантовой механики. Нелокальность теории Бома побудила Белла предположить, что квантовая реальность нелокальна и что, вероятно, только локальные теории скрытых переменных не согласуются с квантовой механикой. Что еще более важно, Беллу удалось поднять проблему с уровня метафизики на физику, выведя неравенство, неравенство Белла , которое можно проверить экспериментально.
Вторая линия - линия Кохена – Шпекера. Существенное отличие от подхода Белла состоит в том, что возможность подкрепления квантовой механики теорией скрытых переменных рассматривается независимо от любых ссылок на локальность или нелокальность, но вместо этого делается более сильное ограничение, чем локальность, а именно, что скрытые переменные связаны исключительно с измеряемая квантовая система; ни один из них не связан с измерительным прибором. Это называется допущением неконтекстуальности. Контекстуальности здесь связана с в совместности квантовых наблюдаемых, несовместимость, связанное с взаимной исключительности измерительных механизмов. Теорема Кохена-Спекера утверждает, что никакая неконтекстная модель со скрытыми переменными не может воспроизвести предсказания квантовой теории, когда размерность гильбертова пространства равна трем или более.
Белл опубликовал доказательство теоремы Кохена – Шпекера в 1966 году в статье, которая была отправлена в журнал раньше, чем его знаменитая статья о неравенстве Белла, но на два года потерялась на столе редактора. Значительно более простые доказательства, чем доказательство Кохена – Шпекера, были даны позже, среди прочего, Мермином [8] [9] и Пересом . [10] Однако многие более простые доказательства устанавливают теорему только для гильбертовых пространств более высокой размерности, например, для размерности четыре.
Обзор
Теорема KS исследует, возможно ли вложить набор квантово-механических наблюдаемых в набор классических величин, несмотря на то, что все классические величины взаимно совместимы. Первое наблюдение, сделанное в статье Кохена – Шпекера, состоит в том, что это возможно тривиальным образом, а именно, игнорируя алгебраическую структуру множества квантово-механических наблюдаемых. Действительно, пусть p A ( a k ) будет вероятностью того, что наблюдаемая A имеет значение a k , тогда произведение Π A p A ( a k ), взятое по всем возможным наблюдаемым A , является допустимым совместным распределением вероятностей , дающим все вероятности квантово-механические наблюдаемые путем взятия маргиналов . Кочен и Спекер отмечают, что это совместное распределение вероятностей неприемлемо, поскольку оно игнорирует все корреляции между наблюдаемыми. Таким образом, в квантовой механике 2 имеет значение , а K 2 , если имеет значение к , подразумевая , что значения A и A 2 имеют высокую корреляцию.
В более общем смысле Кохен и Спекер требуют, чтобы для произвольной функции f значение наблюдаемых удовлетворяет
Если A 1 и A 2 являются совместимыми (соизмеримыми) наблюдаемыми, то по той же причине мы должны иметь следующие два равенства:
а также настоящий, и
Первый из них является значительное ослабление по сравнению с предположением фон Неймана , что это равенство должно занимать независимо от того , 1 и 2 совместимы или несовместимы. Кочен и Спекер смогли доказать, что присвоение значений невозможно даже на основе этих более слабых предположений. Для этого они ограничили наблюдаемые специальным классом, а именно, так называемыми наблюдаемыми да – нет, имеющими только значения 0 и 1, соответствующие операторам проектирования на собственные векторы некоторых ортогональных базисов гильбертова пространства.
Поскольку гильбертово пространство хотя бы трехмерно, они смогли найти набор из 117 таких операторов проекции, не позволяя однозначно приписать каждому из них значение 0 или 1. Вместо довольно сложного доказательства. Кохен и Шпекер, более наглядно воспроизвести здесь одно из гораздо более простых доказательств, данных много позже, которое использует меньшее количество операторов проектирования, но доказывает теорему только тогда, когда размерность гильбертова пространства не меньше 4. Оказывается, Выяснилось, что аналогичный результат можно получить на основе набора всего из 18 операторов проекции. [11]
Для этого достаточно понять, что если u 1 , u 2 , u 3 и u 4 - четыре ортогональных вектора ортогонального базиса в четырехмерном гильбертовом пространстве, то операторы проекции P 1 , P 2 , P 3 , P 4 на этих векторах все взаимно коммутируют (и, следовательно, соответствуют совместимым наблюдаемым, что позволяет одновременное присвоение значений 0 или 1). С
следует, что
Но с тех пор
это следует из = 0 или 1, , что из четырех значений один должен быть равен 1, а три других - 0.
Кабелло [12] [13], расширяя аргумент, разработанный Кернаганом [14], рассматривал 9 ортогональных базисов, каждый базис соответствовал столбцу следующей таблицы, в которой базисные векторы явно отображаются. Базы выбираются таким образом, чтобы каждый проектор появлялся ровно в двух контекстах, тем самым устанавливая функциональные отношения между контекстами.
u 1 | (0, 0, 0, 1) | (0, 0, 0, 1) | (1, -1, 1, -1) | (1, -1, 1, -1) | (0, 0, 1, 0) | (1, −1, −1, 1) | (1, 1, -1, 1) | (1, 1, -1, 1) | (1, 1, 1, −1) |
u 2 | (0, 0, 1, 0) | (0, 1, 0, 0) | (1, −1, −1, 1) | (1, 1, 1, 1) | (0, 1, 0, 0) | (1, 1, 1, 1) | (1, 1, 1, −1) | (-1, 1, 1, 1) | (-1, 1, 1, 1) |
u 3 | (1, 1, 0, 0) | (1, 0, 1, 0) | (1, 1, 0, 0) | (1, 0, -1, 0) | (1, 0, 0, 1) | (1, 0, 0, -1) | (1, -1, 0, 0) | (1, 0, 1, 0) | (1, 0, 0, 1) |
u 4 | (1, -1, 0, 0) | (1, 0, -1, 0) | (0, 0, 1, 1) | (0, 1, 0, -1) | (1, 0, 0, -1) | (0, 1, -1, 0) | (0, 0, 1, 1) | (0, 1, 0, -1) | (0, 1, -1, 0) |
Теперь следует из теоремы о запрете работы убедиться, что следующее невозможно: поместить значение, либо 1, либо 0, в каждую ячейку приведенной выше таблицы таким образом, чтобы:
- (a) значение 1 появляется ровно один раз для каждого столбца, остальные записи в столбце равны 0;
- (b) ячейки одинакового цвета содержат одно и то же значение - либо оба содержат 1, либо оба содержат 0.
Так получилось, что все, что нам осталось сделать, это задать вопрос, сколько раз значение 1 должно появиться в таблице? С одной стороны, (а) означает, что 1 должна появиться 9 раз: есть 9 столбцов, а (а) говорит, что 1 должна появляться ровно один раз в столбце. С другой стороны, (b) подразумевает, что 1 должна встречаться четное количество раз: все отсеки входят в пары одинакового цвета, а (b) говорит, что если один член пары содержит 1, то другой член должен содержать 1 также. Повторюсь: (а) говорит, что 1 встречается 9 раз, а (б) говорит, что она встречается четное количество раз. Так как 9 не является четным, отсюда следует, что (a) и (b) противоречат друг другу; никакое распределение единиц и нулей по отсекам не могло удовлетворить и то, и другое.
Обычное доказательство теоремы Белла ( неравенство CHSH ) также может быть преобразовано в простое доказательство теоремы KS в размерности не менее 4. Установка Белла включает четыре измерения с четырьмя результатами (четыре пары одновременных бинарных измерений в каждом крыле эксперимента. ) и четыре с двумя результатами (два бинарных измерения в каждом крыле эксперимента без сопровождения), то есть 24 оператора проекции.
Замечания
Контекстуальность
В статье Кохена – Спекера обсуждается возможность того, что ценностная атрибуция могут быть контекстно-зависимыми, т. е. наблюдаемые, соответствующие одинаковым векторам в разных столбцах таблицы, не обязательно должны иметь одинаковые значения, потому что разные столбцы соответствуют разным схемам измерения. Поскольку субквантовая реальность (как описано в теории скрытых переменных) может зависеть от контекста измерения, вполне возможно, что отношения между квантово-механическими наблюдаемыми и скрытыми переменными будут просто гомоморфными, а не изоморфными. Это сделало бы устаревшим требование независимой от контекста атрибуции значений. Следовательно, теорема KS исключает только неконтекстные теории скрытых переменных. Возможность контекстуальности породила так называемые модальные интерпретации квантовой механики .
Различные уровни описания
Теорема KS доказывает невозможность предположения Эйнштейна о том, что элемент физической реальности представлен значением квантово-механической наблюдаемой. Значение квантово-механической наблюдаемой относится в первую очередь к конечному положению стрелки измерительного прибора, которое возникает только во время измерения и по этой причине не может играть роль элемента физического реальность. Элементы физической реальности, если они существуют, по-видимому, нуждаются в теории субквантов (скрытых переменных) для их описания, а не в квантовой механике. В более поздних публикациях [15] неравенства Белла обсуждаются на основе теорий скрытых переменных, в которых предполагается, что скрытая переменная относится к субквантовому свойству микроскопического объекта, отличному от значения квантово-механической наблюдаемой. Это открывает возможность различать разные уровни реальности, описываемые разными теориями, которые уже практиковал Луи де Бройль . Для таких более общих теорий теорема КС применима только в том случае, если предполагается, что измерение является точным, в том смысле, что существует детерминированная связь между субквантовым элементом физической реальности и значением наблюдаемой, обнаруженной при измерении.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ С. Кочен; EP Specker (1967). «Проблема скрытых переменных в квантовой механике» . Журнал математики и механики . 17 (1): 59–87. DOI : 10.1512 / iumj.1968.17.17004 . JSTOR 24902153 .
- ^ Белл, Джон С. (1966). «К проблеме скрытых переменных в квантовой механике». Обзоры современной физики . 38 (3): 447–452. Полномочный код : 1966RvMP ... 38..447B . DOI : 10.1103 / RevModPhys.38.447 . ISSN 0034-6861 . ОСТИ 1444158 .
- ^ Баб, Джеффри (1999). Интерпретация квантового мира (переработанное издание в мягкой обложке). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-65386-2.
- ^ Isham, CJ ; Баттерфилд, Дж. (1998). "Топосный взгляд на теорему Кохена-Шпекера: I. Квантовые состояния как обобщенные оценки". Международный журнал теоретической физики . 37 (11): 2669–2733. arXiv : квант-ph / 9803055v4 . DOI : 10,1023 / A: 1026680806775 . ISSN 0020-7748 . S2CID 6489803 .
- ^ Бор, Н. (1935). «Можно ли считать квантово-механическое описание физической реальности полным?» . Физический обзор . 48 (8): 696–702. Полномочный код : 1935PhRv ... 48..696B . DOI : 10.1103 / PhysRev.48.696 . ISSN 0031-899X .
- ^ Эйнштейн, А. (1948). "Quanten-Mechanik und Wirklichkeit". Диалектика (на немецком языке). 2 (3–4): 320–324. DOI : 10.1111 / j.1746-8361.1948.tb00704.x . ISSN 0012-2017 .
- ^ Дж. Фон Нейман, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik , Springer, Berlin, 1932; Английский перевод: Математические основы квантовой механики , Princeton Univ. Press, 1955, Глава IV.1,2.
- ^ Мермин, Н. Дэвид (1990). «Что не так с этими элементами реальности?». Физика сегодня . 43 (6): 9–11. Bibcode : 1990PhT .... 43F ... 9M . DOI : 10.1063 / 1.2810588 . ISSN 0031-9228 .
- ^ Мермин, Н. Дэвид (1990). «Простая унифицированная форма для основных теорем об отсутствии скрытых переменных». Письма с физическим обзором . 65 (27): 3373–3376. Bibcode : 1990PhRvL..65.3373M . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.65.3373 . ISSN 0031-9007 . PMID 10042855 .
- ^ Перес, А (1991). «Два простых доказательства теоремы Кохена-Шпекера». Журнал физики A: математический и общий . 24 (4): L175 – L178. Bibcode : 1991JPhA ... 24L.175P . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 24/4/003 . ISSN 0305-4470 .
- ^ Кернаган, Майкл; Перес, Ашер (1995). «Теорема Кохена-Шпекера для восьмимерного пространства». Физика Буквы A . 198 (1): 1–5. arXiv : квант-ph / 9412006 . Bibcode : 1995PhLA..198 .... 1K . DOI : 10.1016 / 0375-9601 (95) 00012-R . ISSN 0375-9601 . S2CID 17413808 .
- ^ А. Кабелло, «Доказательство с 18 векторами теоремы Белла – Кохена – Спекера», в: М. Ферреро и А. ван дер Мерве (ред.), Новые разработки по фундаментальным проблемам квантовой физики, Kluwer Academic, Dordrecht , Голландия, 1997, 59–62.
- ^ Кабельо, Адан; Estebaranz, JoséM .; Гарсия-Алкаин, Гильермо (1996). «Теорема Белла-Кохена-Шпекера: доказательство с 18 векторами». Физика Буквы A . 212 (4): 183–187. arXiv : Quant-ph / 9706009v1 . Bibcode : 1996PhLA..212..183C . DOI : 10.1016 / 0375-9601 (96) 00134-X . ISSN 0375-9601 . S2CID 5976402 .
- ^ Кернаган, М. (1994). «Теорема Белла-Кохена-Шпекера для 20 векторов». Журнал физики A: математический и общий . 27 (21): L829 – L830. Bibcode : 1994JPhA ... 27L.829K . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 27/21/007 . ISSN 0305-4470 .
- ^ Клаузер, Джон Ф .; Хорн, Майкл А. (1974). «Экспериментальные следствия объективных локальных теорий». Physical Review D . 10 (2): 526–535. Полномочный код : 1974PhRvD..10..526C . DOI : 10.1103 / PhysRevD.10.526 . ISSN 0556-2821 .
Внешние ссылки
- Карстен Хелд, Теорема Кохена – Спекера , Стэнфордская философская энциклопедия * [1]
- С. Кочен, Е. П. Спекер, Проблема скрытых переменных в квантовой механике, Полный текст [2]