В численном анализе , то Лакс эквивалентность теорема является основной теоремой в анализе конечных разностных методов для численного решения дифференциальных уравнений . В нем говорится, что для последовательного метода конечных разностей для корректной линейной задачи с начальным значением метод сходится тогда и только тогда, когда он устойчив . [1]
Важность теоремы заключается в том, что, хотя сходимость решения метода конечных разностей к решению уравнения в частных производных является желаемым, обычно это трудно установить, поскольку численный метод определяется рекуррентным соотношением, в то время как дифференциальный уравнение содержит дифференцируемую функцию. Однако согласованность - требование, чтобы метод конечных разностей приближал правильное дифференциальное уравнение в частных производных - легко проверить, а стабильность обычно намного легче показать, чем сходимость (и в любом случае потребуется, чтобы показать, что ошибка округления не будет уничтожить вычисление). Следовательно, сходимость обычно демонстрируется с помощью теоремы об эквивалентности Лакса.
Стабильность в этом контексте означает, что матричная норма матрицы, используемой в итерации, не превышает единицы , что называется (практической) стабильностью Лакса – Рихтмайера. [2] Часто для удобства заменяется анализ устойчивости по фон Нейману , хотя устойчивость по фон Нейману подразумевает стабильность по Лаксу – Рихтмайеру только в некоторых случаях.
Эта теорема принадлежит Питеру Лаксу . Иногда ее называют теоремой Лакса – Рихтмайера в честь Питера Лакса и Роберта Д. Рихтмайера . [3]
Рекомендации
- ^ Strikwerda, Джон С. (1989). Конечно-разностные схемы и уравнения в частных производных (1-е изд.). Чепмен и Холл. С. 26, 222. ISBN 0-534-09984-X.
- ^ Смит, GD (1985). Численное решение уравнений с частными производными: конечно-разностные методы (3-е изд.). Издательство Оксфордского университета. стр. 67 -68. ISBN 0-19-859641-3.
- ^ Lax, PD; Richtmyer, RD (1956). "Обзор устойчивости линейных конечно-разностных уравнений". Comm. Pure Appl. Математика. 9 : 267–293. DOI : 10.1002 / cpa.3160090206 . Руководство по ремонту 0079204 .