Локус (математика)

Каждая кривая в этом примере - это геометрическое место, определенное как раковина точки P и прямой l . В этом примере P составляет 8 см от l .

В геометрии , A локус (множественное число: локусы ) (латинское слово «место», «расположение») представляет собой набор из всех точек (обычно, в строке , в отрезок прямой , на кривой или поверхности ), чье местоположение удовлетворяет или определяется одним или несколькими указанными условиями. ^{[1] [2]}

Другими словами, множество точек, удовлетворяющих некоторому свойству, часто называют геометрическим местом точки, удовлетворяющей этому свойству. Использование единственного числа в этой формулировке свидетельствует о том, что до конца XIX века математики не рассматривали бесконечные множества. Вместо того чтобы рассматривать линии и кривой в виде наборов точек, они рассматривали их как места , где точка может быть расположена или может двигаться.

История и философия [ править ]

До начала 20 века геометрическая форма (например, кривая) не рассматривалась как бесконечный набор точек; скорее, он рассматривался как объект, на котором точка может быть расположена или по которой она движется. Таким образом, круг на евклидовой плоскости был определен как геометрическое место точки, которая находится на заданном расстоянии от фиксированной точки, центра круга. В современной математике подобные концепции чаще переформулируются, описывая формы как множества; например, говорят, что круг - это набор точек, находящихся на заданном расстоянии от центра. ^[3]

В отличие от теоретико-множественного взгляда, старая формулировка избегает рассмотрения бесконечных коллекций, поскольку избегание действительной бесконечности было важной философской позицией более ранних математиков. ^{[4] [5]}

Когда теория множеств стала универсальной основой, на которой строится вся математика ^[6], термин локус стал довольно старомодным. ^[7] Тем не менее, это слово по-прежнему широко используется, в основном для краткой формулировки, например:

• Критический локус , набор из критических точек одного дифференцируемой функции .
• Нулевое геометрическое место или исчезающее геометрическое место , множество точек, в которых функция обращается в нуль, в том смысле, что она принимает нулевое значение .
• Singular локус , множество из особых точек зрения на алгебраическом многообразии .
• Локус связности , подмножество набора параметров семейства рациональных функций, для которого набор Жюлиа функции связан.

В последнее время такие методы, как теория схем и использование теории категорий вместо теории множеств для создания основы математики, вернулись к понятиям, больше похожим на исходное определение локуса как объекта в себе, а не как множества. очков. ^[5]

Примеры в геометрии плоскости [ править ]

Примеры плоской геометрии включают:

• Набор точек, равноудаленных от двух точек, представляет собой серединный перпендикуляр к отрезку прямой, соединяющему две точки. ^[8]
• Набор точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, является биссектрисой угла .
• Все конические секции являются локусами: ^[9]
  • Круг : набор точек, для которых расстояние от одной точки является постоянным ( радиус ).
  • Парабола : множество точек, равноудаленных от фиксированной точки ( фокуса ) и линии ( директрисы ).
  • Гипербола : набор точек, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух заданных фокусов является постоянной.
  • Эллипс : набор точек, для каждой из которых сумма расстояний до двух заданных фокусов является постоянной.

Другие примеры локусов появляются в различных областях математики. Например, в сложной динамике , то множество Мандельброта является подмножеством комплексной плоскости , которая может быть охарактеризована как связности локуса семейства полиномиальных отображений.

Доказательство локуса [ править ]

Чтобы доказать, что геометрическая форма является правильным местом для данного набора условий, обычно делят доказательство на два этапа: ^[10]

• Доказательство того, что все точки, удовлетворяющие условиям, находятся на заданной фигуре.
• Доказательство того, что все точки данной фигуры удовлетворяют условиям.

Примеры [ править ]

Первый пример [ править ]

Найдите геометрическое место точки P, которая имеет заданное отношение расстояний k = d ₁ / d ₂ к двум заданным точкам.

В этом примере k = 3, A (-1, 0) и B (0, 2) выбраны в качестве неподвижных точек.

P ( x ,  y ) - точка геометрического

${\displaystyle \Leftrightarrow |PA|=3|PB|}$

${\displaystyle \Leftrightarrow |PA|^{2}=9|PB|^{2}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow (x+1)^{2}+(y-0)^{2}=9(x-0)^{2}+9(y-2)^{2}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow 8(x^{2}+y^{2})-2x-36y+35=0}$

${\displaystyle \Leftrightarrow \left(x-{\frac {1}{8}}\right)^{2}+\left(y-{\frac {9}{4}}\right)^{2}={\frac {45}{64}}.}$

Это уравнение представляет собой круг с центром (1/8, 9/4) и радиусом . Это круг Аполлония определяется этими значениями K , A и B .${\displaystyle {\tfrac {3}{8}}{\sqrt {5}}}$

Второй пример [ править ]

Треугольник ABC имеет фиксированную сторону [ AB ] длины c . Определите геометрическое место третьей вершины C так, чтобы медианы из A и C были ортогональны .

Выберите ортонормированную систему координат так , чтобы A (- c / 2, 0), B ( c / 2, 0). C ( x ,  y ) - переменная третья вершина. Центр [ BC ] - это M ((2 x  +  c ) / 4,  y / 2). Медиана из C имеет наклон y / x . Медиана AM имеет наклон 2 y / (2 x  + 3 c ).

C ( x ,  y ) - точка геометрического места

${\displaystyle \Leftrightarrow }$медианы из A и C ортогональны

${\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {y}{x}}\cdot {\frac {2y}{2x+3c}}=-1}$

${\displaystyle \Leftrightarrow 2y^{2}+2x^{2}+3cx=0}$

${\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+(3c/2)x=0}$

${\displaystyle \Leftrightarrow (x+3c/4)^{2}+y^{2}=9c^{2}/16.}$

Геометрическое место вершины C представляет собой окружность с центром (−3 c / 4, 0) и радиусом 3 c / 4.

Третий пример [ править ]

Локус также может быть определен двумя связанными кривыми в зависимости от одного общего параметра . Если параметр изменяется, точки пересечения связанных кривых описывают геометрическое место.

На рисунке точки K и L являются неподвижными точками на данной прямой m . Линии к является переменной линия , проходящая через K . Линия л через L является перпендикулярной к K . Угол между k и m является параметром. k и l - связанные линии в зависимости от общего параметра. Точка пересечения с переменной S из K и L описывает окружность. Этот круг является геометрическим местом точки пересечения двух связанных линий.${\displaystyle \alpha }$

Четвертый пример [ править ]

Геометрическое место точек не обязательно должно быть одномерным (в виде круга, линии и т. Д.). Например, ^[1] геометрическое место неравенства 2 x + 3 y - 6 <0 - это часть плоскости, которая находится ниже линии уравнения 2 x + 3 y - 6 = 0 .

См. Также [ править ]

• Алгебраическое многообразие
• Изгиб
• Линия (геометрия)
• Регион (геометрия)
• Форма (геометрия)

Ссылки [ править ]