Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Красная и синяя линии на этом графике имеют одинаковый наклон (градиент) ; красная и зеленая линии имеют одинаковую точку пересечения по оси Y (пересекают ось Y в одном месте).
Представление одного линейного сегмента .

В геометрии понятие линии или прямой линии было введено древними математиками для представления прямых объектов (то есть не имеющих кривизны ) с незначительной шириной и глубиной. Линии - это идеализация таких объектов, которые часто описываются двумя точками (например, ) или упоминаются одной буквой (например, ). [1] [2]

До 17 века линии определялись как «первый вид количества, который имеет только одно измерение, а именно длину, без какой-либо ширины и глубины, и представляет собой не что иное, как поток или пробег точки, которая [...] ...] оставит от своего воображаемого движения какой-то след в длину, за исключением любой ширины. [...] Прямая линия - это линия, которая одинаково простирается между ее точками ". [3]

Евклид описал линию как «длину без ширины», которая «лежит одинаково по отношению к точкам на самой себе»; он ввел несколько постулатов в качестве основных недоказуемых свойств, из которых он построил всю геометрию, которая теперь называется евклидовой геометрией, чтобы избежать путаницы с другими геометриями, которые были введены с конца 19 века (такими как неевклидова , проективная и аффинная геометрия). ).

В современной математике, учитывая множество геометрий, понятие линии тесно связано со способом описания геометрии. Например, в аналитической геометрии линия на плоскости часто определяется как набор точек, координаты которых удовлетворяют заданному линейному уравнению , но в более абстрактных условиях, таких как геометрия падения , линия может быть независимым объектом, отличным от множество точек, лежащих на нем.

Когда геометрия описывается набором аксиом , понятие линии обычно остается неопределенным (так называемый примитивный объект). Затем свойства линий определяются аксиомами, которые к ним относятся. Одним из преимуществ этого подхода является гибкость, которую он дает пользователям геометрии. Таким образом, в дифференциальной геометрии линия может интерпретироваться как геодезическая (кратчайший путь между точками), в то время как в некоторых проективных геометриях линия представляет собой 2-мерное векторное пространство (все линейные комбинации двух независимых векторов). Эта гибкость также выходит за рамки математики и, например, позволяет физикам рассматривать путь светового луча как линию.

Определения против описаний [ править ]

Все определения в конечном итоге имеют круговой характер, поскольку они зависят от понятий, которые сами должны иметь определения, зависимость, которая не может продолжаться бесконечно, не возвращаясь к исходной точке. Чтобы избежать этого порочного круга, определенные концепции следует воспринимать как примитивные ; термины, которым не дано определения. [4] В геометрии понятие линии часто используется как примитив. [5] В тех ситуациях, когда линия является определенным понятием, как в координатной геометрии , некоторые другие фундаментальные идеи принимаются как примитивы. Когда концепция линии является примитивной, поведение и свойства линий продиктованы аксиомами которые они должны удовлетворить.

При неаксиоматической или упрощенной аксиоматической трактовке геометрии концепция примитивного понятия может быть слишком абстрактной, чтобы иметь дело с ней. В этом случае можно дать описание или мысленный образ примитивного понятия, чтобы дать основу для построения понятия, на котором формально базировались бы (неустановленные) аксиомы. Некоторые авторы называют описания этого типа определениями в этом неформальном стиле изложения. Это неверные определения, и их нельзя использовать в формальных доказательствах утверждений. «Определение» линии в «Элементах» Евклида попадает в эту категорию. [6] Даже в случае, когда рассматривается конкретная геометрия (например, евклидова геометрия), среди авторов нет общепринятого согласия относительно того, каким должно быть неформальное описание строки, когда предмет не рассматривается формально.

В евклидовой геометрии [ править ]

Когда Евклид впервые формализовал геометрию в « Элементах» , он определил общую линию (прямую или изогнутую) как «неширокую длину», при этом прямая линия была линией, «лежащей на равных с точками на себе». [7] Эти определения не имеют большого смысла, поскольку в них используются термины, которые сами по себе не определены. Фактически, сам Евклид не использовал эти определения в этой работе и, вероятно, включил их, чтобы прояснить читателю, о чем идет речь. В современной геометрии, линия просто взята в качестве неопределенного объекта с заданными свойствами с помощью аксиом , [8] , но иногда определяется как набор точек , подчиняющихся линейная зависимость , когда какая -либо другая фундаментальная концепция остается неопределенной.

В аксиоматической формулировке геометрии Евклида, такой как геометрия Гильберта (исходные аксиомы Евклида содержали различные недостатки, которые были исправлены современными математиками) [9], линия утверждается, что она имеет определенные свойства, которые связывают ее с другими линиями и точками . Например, для любых двух различных точек существует уникальная линия, содержащая их, и любые две различные линии пересекаются не более чем в одной точке. [10] В двух измерениях (то есть в евклидовой плоскости ) две прямые, которые не пересекаются, называются параллельными . В более высоких измерениях две прямые, которые не пересекаются, параллельны, если они содержатся в плоскости., или перекос, если это не так.

Любой набор из конечного числа прямых разбивает плоскость на выпуклые многоугольники (возможно, неограниченные); это разделение известно как расположение линий .

На декартовой плоскости [ править ]

Линии на декартовой плоскости или, в более общем смысле, в аффинных координатах могут быть описаны алгебраически с помощью линейных уравнений .

В двух измерениях уравнение для невертикальных линий часто задается в форме пересечения наклона :

куда:

m - наклон или уклон линии.
b - точка пересечения линии по оси y .
x - независимая переменная функции y = f ( x ).

Наклон прямой, проходящей через точки и , когда задается выражением, можно записать уравнение этой прямой .

В каждая линия (включая вертикальные линии) описывается линейным уравнением вида

с фиксированными действительными коэффициентами a , b и c такими, что a и b не равны нулю. В этой форме вертикальные линии соответствуют уравнениям с b = 0.

Существует множество различных способов написать уравнение линии, которые можно преобразовать из одного в другое с помощью алгебраических манипуляций. Эти формы ( другие формы см. В разделе « Линейное уравнение» ) обычно называются по типу информации (данных) о строке, которая необходима для записи формы. Некоторые из важных данных линии - это ее наклон, точка пересечения по оси x , известные точки на линии и точка пересечения по оси Y.

Уравнение прямой , проходящей через две различные точки и может быть записана в виде

.

Если x 0x 1 , это уравнение можно переписать как

или же

В трех измерениях линии не могут быть описаны одним линейным уравнением, поэтому они часто описываются параметрическими уравнениями :

куда:

x , y и z - все функции независимой переменной t, которая принимает значения действительных чисел.
( x 0 , y 0 , z 0 ) - любая точка на прямой.
a , b и c связаны с наклоном прямой, так что вектор ( a , b , c ) параллелен прямой.

Их также можно описать как одновременные решения двух линейных уравнений

такие, что и не пропорциональны (отношения подразумевают ). Это следует из того, что в трех измерениях одно линейное уравнение обычно описывает плоскость, а линия - это то, что является общим для двух различных пересекающихся плоскостей.

В нормальной форме [ править ]

Нормальная форма (также называемая Hesse нормальной формой , [11] после того, как немецкий математик Людвиг Отто Гессе ), основан на нормальном сегменте для данной линии, которая определяется как отрезок линии , проведенный от координат перпендикулярна к линии . Этот сегмент соединяет начало координат с ближайшей к нему точкой на линии. Нормальная форма уравнения прямой на плоскости имеет вид:

где θ - угол наклона нормального сегмента (ориентированный угол от единичного вектора оси x к этому сегменту), а p - (положительная) длина нормального сегмента. Нормальную форму можно получить из общей формы , разделив все коэффициенты на

В отличие от форм углового пересечения и пересечения, эта форма может представлять любую линию, но также требует указания только двух конечных параметров, θ и p . Если p > 0, то θ определено однозначно по модулю 2 π . С другой стороны, если прямая проходит через начало координат ( c  = 0, p  = 0), сбрасывается c / | c | член для вычисления sin  θ и cos  θ , а θ определяется только по модулю π .

В полярных координатах [ править ]

В полярных координатах на евклидовой плоскости форма пересечения наклона уравнения прямой выражается как:

где m - наклон линии, а b - точка пересечения оси y . При θ = 0 график будет неопределенным. Уравнение можно переписать, чтобы устранить несплошности следующим образом:

В полярных координатах на евклидовой плоскости форму пересечения уравнения для линии, которая не является горизонтальной, невертикальной и не проходит через полюс, может быть выражена как,

где и представляют пересечения по осям x и y соответственно. Вышеупомянутое уравнение не применимо для вертикальных и горизонтальных линий, потому что в этих случаях одна из точек пересечения не существует. Более того, это не применимо к линиям, проходящим через полюс, поскольку в этом случае точки пересечения x и y равны нулю (что здесь недопустимо, поскольку и являются знаменателями). Вертикальная линия, которая не проходит через полюс, определяется уравнением

Точно так же горизонтальная линия, которая не проходит через полюс, задается уравнением

Уравнение линии, проходящей через полюс, просто записывается как:

где m - наклон прямой.

Как векторное уравнение [ править ]

Векторное уравнение прямой, проходящей через точки A и B, имеет вид (где λ - скаляр ).

Если является вектор ОА и Ь является вектор О.Б. , то уравнение линии может быть записано: .

Луч, начинающийся в точке A , описывается ограничением λ. Один луч получается, если λ ≥ 0, а противоположный луч исходит из λ ≤ 0.

В евклидовом пространстве [ править ]

В трехмерном пространстве , А первое уравнение степени в переменных х , у и г определяет плоскость, так что два таких уравнений, при условии , самолеты , они дают начало не параллельны, образуют линию , которая является пересечением плоскостей. В более общем смысле, в n -мерном пространстве n -1 уравнений первой степени в n координатных переменных определяют линию при подходящих условиях.

В более общем евклидовом пространстве , R п (и аналогично в любом другом аффинном пространстве ), линия L , проходящей через две различные точки через и б (рассматриваемые в качестве векторов) является подмножеством

Направление линии - от a ( t = 0) к b ( t = 1), или, другими словами, в направлении вектора b  -  a . Различный выбор a и b может дать одну и ту же строку.

Коллинеарные точки [ править ]

Три точки называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой. Три точки обычно определяют плоскость , но в случае трех коллинеарных точек этого не происходит.

В аффинных координатах в n -мерном пространстве точки X = ( x 1 , x 2 , ..., x n ), Y = ( y 1 , y 2 , ..., y n ) и Z = ( z 1 , z 2 , ..., z n ) коллинеарны, если матрица

имеет ранг меньше 3. В частности, для трех точек на плоскости ( n = 2) указанная выше матрица является квадратной, а точки коллинеарны тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.

Эквивалентно для трех точек на плоскости, точки коллинеарны тогда и только тогда, когда наклон между одной парой точек равен наклону между любой другой парой точек (в этом случае наклон между оставшейся парой точек будет равен наклону других) . В дальнейшем k точек на плоскости коллинеарны тогда и только тогда, когда любые ( k –1) пары точек имеют одинаковые попарные наклоны.

В евклидовой геометрии , на евклидово расстояние D ( , б ) между двумя точками и б могут быть использованы для экспрессии коллинеарности между тремя точками по: [12] [13]

Точки a , b и c коллинеарны тогда и только тогда, когда d ( x , a ) = d ( c , a ) и d ( x , b ) = d ( c , b ) влечет x = c .

Однако есть другие понятия расстояния (например, расстояние Манхэттена ), для которых это свойство неверно.

В геометриях, где понятие линии является примитивным , как это может иметь место в некоторых синтетических геометриях , необходимы другие методы определения коллинеарности.

Типы линий [ править ]

В некотором смысле [14] все линии в евклидовой геометрии равны в том смысле, что без координат их нельзя отличить друг от друга. Однако линии могут играть особую роль по отношению к другим объектам в геометрии и делиться на типы в соответствии с этой взаимосвязью. Например, относительно коники ( окружности , эллипса , параболы или гиперболы ) прямые могут быть:

  • касательные , которые касаются коники в одной точке;
  • секущие линии , пересекающие конику в двух точках и проходящие через ее внутреннюю часть;
  • внешние линии, не пересекающиеся с коникой ни в одной точке евклидовой плоскости; или же
  • директриса , чье расстояние от точки помогает установить , является ли точка находится на коническом.

В контексте определения параллельности в евклидовой геометрии трансверсаль - это линия, которая пересекает две другие прямые, которые могут быть или не быть параллельны друг другу.

Для более общих алгебраических кривых прямые также могут быть:

  • i -секущие линии, пересекающиеся с кривой в i точках, считаемых без кратности, или
  • асимптоты , к которым кривая приближается сколь угодно близко, не касаясь ее.

Что касается треугольников, мы имеем:

  • линия Эйлера ,
  • линии Симсона и
  • центральные линии .

Для выпуклого четырехугольника с не более чем двумя параллельными сторонами линия Ньютона - это линия, соединяющая середины двух диагоналей .

Для шестиугольника с вершинами, лежащими на конике, у нас есть линия Паскаля, а в частном случае, когда коника представляет собой пару прямых, у нас есть линия Паппа .

Параллельные линии - это линии в одной плоскости, которые никогда не пересекаются. Пересекающиеся линии имеют одну общую точку. Совпадающие линии совпадают друг с другом - каждая точка, которая находится на одной из них, также находится на другой.

Перпендикулярные линии - это линии, пересекающиеся под прямым углом .

В трехмерном пространстве , косые линии являются линиями, которые не в одной плоскости , и , таким образом , не пересекаются друг с другом.

В проективной геометрии [ править ]

Во многих моделях проективной геометрии представление линии редко соответствует понятию «прямой кривой», как это визуализируется в евклидовой геометрии. В эллиптической геометрии мы видим типичный пример этого. [15] В сферическом представлении эллиптической геометрии линии представлены большими окружностями сферы с диаметрально противоположными точками. В другой модели эллиптической геометрии линии представлены евклидовыми плоскостями, проходящими через начало координат. Несмотря на то, что эти представления визуально различны, они удовлетворяют всем свойствам (например, две точки, определяющие уникальную линию), которые делают их подходящими представлениями для линий в этой геометрии.

Расширения [ править ]

Рэй [ править ]

Учитывая прямую и любую точку A на ней, мы можем рассматривать A как разложение этой линии на две части. Каждая такая часть называется лучом, а точка A - его начальной точкой . Это также известно как полупрямая линия , одномерное полупространство . Точка А считается членом луча. [16] Интуитивно, луч состоит из точек на прямой, проходящей через точку A и продолжающейся бесконечно долго, начиная с точки A , только в одном направлении вдоль этой прямой. Однако, чтобы использовать это понятие луча в доказательствах, требуется более точное определение.

Принимая во внимание различные точки A и B , они определяют уникальный луч с начальной точкой A . Как две точки определяют единственную линию, этот луч состоит из всех точек между A и B (включая A и B ) , а также все точки C на линии , проходящей через А и В такие , что B находится между A и C . [17] Это, время от времени, и выражается в виде множества всех точек С таким образом, что не между B и C .[18] Точка D , на линии определяется A и B , но не в луче с начальной точкойопределяется B , будет определятьеще один луч с начальной точкой A . По отношению клучу AB луч AD называется противоположным лучом .

Таким образом, мы бы сказали, что две разные точки, A и B , определяют прямую и разложение этой прямой на непересекающееся объединение открытого отрезка ( A ,  B ) и двух лучей, BC и AD (точка D не нарисована. на диаграмме, но находится слева от A на линии AB ). Это не противоположные лучи, поскольку они имеют разные начальные точки.

В евклидовой геометрии два луча с общим концом образуют угол .

Определение луча зависит от понятия промежуточности точек на прямой. Отсюда следует, что лучи существуют только для геометрий, для которых существует это понятие, обычно евклидовой геометрии или аффинной геометрии над упорядоченным полем . С другой стороны, лучей не существует ни в проективной геометрии, ни в геометрии над неупорядоченным полем, как комплексные числа или любое конечное поле .

Отрезок линии [ править ]

Отрезок является частью линии, ограниченная два различных конечных точек и содержит каждую точку на линии между ее конечными точками. В зависимости от того, как определен линейный сегмент, любая из двух конечных точек может быть или не быть частью линейного сегмента. Два или более линейных сегмента могут иметь некоторые из тех же отношений, что и прямые, например быть параллельными, пересекающимися или наклонными, но, в отличие от линий, они могут быть ни одним из них, если они компланарны и либо не пересекаются, либо коллинеарны .

Геодезические [ править ]

«Краткость» и «прямолинейность» линии, интерпретируемые как свойство минимизации расстояния вдоль линии между любыми двумя ее точками (см. Неравенство треугольника ), могут быть обобщены и приводят к концепции геодезических в метрических пространствах .

См. Также [ править ]

  • Аффинная функция
  • Изгиб
  • Расстояние между двумя линиями
  • Расстояние от точки до линии
  • Воображаемая линия (математика)
  • Заболеваемость (геометрия)
  • Координаты линии
  • Линия (графика)
  • Отрезок
  • Locus
  • Самолет (геометрия)
  • Ломаная линия
  • Прямолинейный (значения)

Примечания [ править ]

  1. ^ "Сборник математических символов" . Математическое хранилище . 2020-03-01 . Проверено 16 августа 2020 .
  2. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Линия" . mathworld.wolfram.com . Проверено 16 августа 2020 .
  3. ^ На (довольно старом) французском: «La ligne est la première espece de Quantité, laquelle a tant seulement une Dimension à sçavoir longitude, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autre selected que le flux ou coulement du poinct, lequel [ ...] laissera de son mouvement, Imminaire quelque vestige en long, expt de toute latitude. [...] La ligne droicte est celle qui est également estenduë entre ses points ». Страницы 7 и 8 книги Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François, & augmentez de plusieurs фигурки и демонстрации, avec la corrections des erreurs commises és autres traductions , автор Pierre Mardele, Lyon, MDCXLV .
  4. Перейти ↑ Coxeter 1969 , p. 4
  5. Перейти ↑ Faber 1983 , p. 95
  6. Перейти ↑ Faber 1983 , p. 95
  7. Faber, Приложение A, стр. 291.
  8. Faber, Часть III, стр. 95.
  9. Faber, Часть III, стр. 108.
  10. Faber, Приложение B, стр. 300.
  11. ^ Bocher, Maxime (1915), Plane Аналитическая геометрия: С Вводной главой по дифференциальному исчислению , Н. Холт, стр. 44, архивировано 13 мая 2016 г..
  12. ^ Alessandro Падуы , Un нуво Systeme де ОПРЕДЕЛЕНИЯ налить л Geometrie euclidienne, Международный конгресс математиков , 1900
  13. ^ Бертран Рассел , Принципы математики , стр. 410
  14. ^ Технически группа коллинеаций действуетна множестве линий транзитивно .
  15. Faber, Часть III, стр. 108.
  16. ^ Иногда мы можем рассматривать луч без его начальной точки. Такие лучи называются открытыми лучами, в отличие от типичного луча, который можно было бы назвать закрытым .
  17. Перейти ↑ Wylie, Jr. 1964 , p. 59, Определение 3
  18. ^ Пидо 1988 , стр. 2

Ссылки [ править ]

  • Кокстер, HSM (1969), Введение в геометрию (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-18283-4
  • Фабер, Ричард Л. (1983), Основы евклидовой и неевклидовой геометрии , Нью-Йорк: Марсель Деккер, ISBN 0-8247-1748-1
  • Педо, Дэн (1988), Геометрия: Комплексный курс , Минеола, Нью-Йорк: Довер, ISBN 0-486-65812-0
  • Wylie, Jr., CR (1964), Основы геометрии , Нью-Йорк: McGraw-Hill, ISBN 0-07-072191-2

Внешние ссылки [ править ]

  • "Линия (кривая)" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
  • Уравнения прямой в узле