В ОТО , А явно ковариантное уравнение, в котором все выражения тензоры . В уравнении могут присутствовать операции сложения, тензорного умножения , тензорного сжатия , повышения и понижения индексов и ковариантного дифференцирования . Запрещенные термины включают, но не ограничиваются частными производными . Тензорные плотности , особенно подынтегральные выражения и переменные интегрирования, могут быть разрешены в явно ковариантных уравнениях, если они явно взвешены соответствующей степенью детерминанта метрики.
Написание уравнения в явно ковариантной форме полезно, потому что оно гарантирует общую ковариантность при быстрой проверке. Если уравнение явно ковариантно и сводится к правильному соответствующему уравнению в специальной теории относительности при мгновенной оценке в локальной инерциальной системе отсчета , то обычно это правильное обобщение специального релятивистского уравнения в общей теории относительности.
Пример
Уравнение может быть лоренц-ковариантным, даже если оно не является явно ковариантным. Рассмотрим тензор электромагнитного поля
где - электромагнитный четырехпотенциал в калибровке Лоренца . Приведенное выше уравнение содержит частные производные и поэтому не является явно ковариантным. Обратите внимание, что частные производные могут быть записаны в терминах ковариантных производных и символов Кристоффеля как
Для метрики без кручения, принятой в общей теории относительности, мы можем апеллировать к симметрии символов Кристоффеля
что позволяет записать тензор поля в явно ковариантной форме
Смотрите также
Рекомендации
- CB Parker (1994). Энциклопедия физики Макгроу Хилла (2-е изд.). Макгроу Хилл. ISBN 0-07-051400-3.
- Джон Арчибальд Уиллер ; К. Миснер ; К.С. Торн (1973). Гравитация . ISBN WH Freeman & Co. 0-7167-0344-0.