Матричное кольцо

В абстрактной алгебре , А кольцо матриц представляет собой набор матриц с элементами в кольце R , которые образуют кольцо под сложения матриц и умножения матриц ( Lam один тысячу девятьсот девяносто девять ). Множество всех матриц размера n × n с элементами в R представляет собой кольцо матриц, обозначенное M _n ( R ) ^[1]^[2]^[3]^[4] (альтернативные обозначения: Mat _n ( R ) ^[2] и R ^{n × n}^[5]). Некоторые наборы бесконечных матриц образуют бесконечные кольца матриц . Любое подкольцо кольца матриц является кольцом матриц. По звонку можно формировать матрицу звонков.

Когда R - коммутативное кольцо, кольцо матриц M _n ( R ) является ассоциативной алгеброй над R и может быть названо матричной алгеброй . В этом случае, если M - матрица, а r находится в R , то матрица rM - это матрица M, каждый элемент которой умножен на r .

Примеры [ править ]

Множество всех матриц размера n × n над R обозначается M _n ( R ). Это иногда называют «полным кольцом п матрицы с размерностью п матриц».
Множество всех верхних треугольных матриц над R .
Множество всех нижних треугольных матриц над R .
Множество всех диагональных матриц над R . Эта подалгебра М _п ( R ) является изоморфной к прямому произведению из п копия R .
Для любого множества индексов I , кольцо эндоморфизмов правого R - модуля изоморфно кольцу ^[^{править}^] из матриц конечных столбцов , элементы которых индексируются I × I и столбцы которой каждая из которых содержит лишь конечное число ненулевых записей. Кольцо эндоморфизмов М , рассматриваемые как левый R - модуль изоморфно кольцу из строк конечных матриц . ${\ textstyle M = \ bigoplus _ {я \ in I} R}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {CFM} _ {I} (R)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {RFM} _ {I} (R)}$
Если R - банахова алгебра , то условие конечности строки или столбца в предыдущем пункте можно ослабить. При наличии нормы вместо конечных сумм можно использовать абсолютно сходящиеся ряды . Например, матрицы, суммы столбцов которых являются абсолютно сходящимися последовательностями, образуют кольцо. ^{[ сомнительно - обсудить ]} Аналогично, конечно, матрицы, строчные суммы которых являются абсолютно сходящимися рядами, также образуют кольцо. ^{[ сомнительно - обсудить ]} Эту идею можно использовать, например, для представления операторов в гильбертовых пространствах .
Пересечение колец конечных по строкам и конечных столбцов матриц образует кольцо . ${\ Displaystyle \ mathbb {RCFM} _ {I} (R)}$
Если R является коммутативным , то М _п ( Р ) имеет структуру * -алгебры над R , где инволюции * на М _п ( R ) является матрицей транспонирование .
Если A - C * -алгебра , то M _n ( A ) - другая C * -алгебра. Если A неунитальна, то M _n ( A ) также неунитальна. По теореме Гельфанда-Наймарка существует гильбертово пространство H и изометрический * -изоморфизм из A в замкнутую по норме подалгебру алгебры непрерывных операторов B ( H ); это отождествляет M _n ( A ) с подалгеброй в B ( H ). Для простоты, если мы далее предположим, что H отделима и^{${\ displaystyle \ oplus n}$}A B ( H ) - это C * -алгебра с единицей, мы можем разбить A на кольцо матриц над меньшей C * -алгеброй. Это можно сделать, зафиксировав проекцию p и, следовательно, ее ортогональную проекцию 1 - p ; можно идентифицировать A с помощью , где умножение матриц работает, как задумано, из-за ортогональности проекций. Чтобы отождествить A с кольцом матриц над C * -алгеброй, нам потребуется, чтобы p и 1 - p имели одинаковый ″ ранг ″; точнее, нам нужно, чтобы p и 1 - p были эквивалентны по Мюррею – фон Нейману, т. е. существовала частичная изометрия $\subseteq$ ${\begin{pmatrix}pAp&pA(1-p)\\(1-p)Ap&(1-p)A(1-p)\end{pmatrix}}$ u такое, что p = uu * и 1 - p = u * u . Это легко обобщить на матрицы большего размера.
Комплексная матрица алгебры М _п ( С ) являются, до изоморфизма только конечномерные простые ассоциативные алгебры над полем C из комплексных чисел . До изобретения матричных алгебр Гамильтон в 1853 году ввел кольцо, элементы которого он назвал бикватернионами ^[6], а современные авторы назвали бы тензорами в , которое, как позже было показано, изоморфно M ₂ ( C ). Один базис M ₂ ( C ) состоит из четырех матричных единиц (матриц с одной единицей и всеми другими элементами 0); другой базис дается единичной матрицей $\mathbf {C} \otimes _{\mathbf {R} }\mathbf {H}$ и три матрицы Паули .
Кольцо матриц над полем - это алгебра Фробениуса, форма Фробениуса которого задается следом произведения: σ ( A , B ) = tr ( AB ) .

Структура [ править ]

Кольцо матриц М _п ( Р ) можно определить с кольцом эндоморфизмов в свободной правой R - модуль ранга п ; то есть M _n ( R ) ≅ End _R ( R ⁿ ) . Умножение матриц соответствует композиции эндоморфизмов.
Кольцо M _n ( D ) над телом D является артиновым простым кольцом , специальным типом полупростого кольца . Кольца и не являются простыми и не артиновыми, если множество I бесконечно, но они по-прежнему являются полными линейными кольцами . $\mathbb {CFM} _{I}(D)$ $\mathbb {RFM} _{I}(D)$
Теорема Артина – Веддерберна утверждает, что каждое полупростое кольцо изоморфно конечному прямому произведению для некоторого неотрицательного целого числа r , натуральных чисел n _i и тел D _i . ${\textstyle \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{n_{i}}(D_{i})}$
Когда мы рассматриваем M _n ( C ) как кольцо линейных эндоморфизмов C ⁿ , те матрицы, которые обращаются в нуль на данном подпространстве V, образуют левый идеал . Наоборот, для данного левого идеала I матрицы M _n ( C ) пересечение нулевых пространств всех матриц в I дает подпространство в C ⁿ . При этой конструкции левые идеалы M _n ( C ) взаимно однозначно соответствуют подпространствам C ⁿ .
Между двусторонними идеалами M _n ( R ) и двусторонними идеалами R существует взаимно однозначное соответствие . А именно, для каждого идеала I кольца R множество всех матриц размера n × n с элементами в I является идеалом матрицы M _n ( R ), и каждый идеал матрицы M _n ( R ) возникает таким образом. Отсюда следует, что M _n ( R ) проста тогда и только тогда, когда R проста. При n ≥ 2 не всякий левый или правый идеал в M _n( R ) возникает в предыдущей конструкции из левого идеала или правый идеал в R . Например, набор матриц, столбцы которых с номерами от 2 до n равны нулю, образует левый идеал в M _n ( R ).
Предыдущее идеальное соответствие фактически возникает из того факта, что кольца R и M _n ( R ) эквивалентны по Морите . Грубо говоря, это означает, что категория левых R -модулей и категория левых M _n ( R ) -модулей очень похожи. Вследствие этого существует естественное взаимно однозначное соответствие между классами изоморфизма левых R -модулей и левых M _n ( R ) -модулей, а также между классами изоморфизма левых идеалов R и левых идеалов M _n ( R). Идентичные утверждения верны для правых модулей и правых идеалов. Через Морит эквивалентность, M _п ( R ) наследует любой Морит-инвариантные свойства R , такие , как быть простым , артины , нетерово , простыми .

Свойства [ править ]

Если S является Подкольцом из R , то М _п ( S ) является подкольцом М _н ( R ). Например, M _n ( Z ) является подкольцом M _n ( Q ).
Кольцо матриц М _п ( R ) является коммутативным тогда и только тогда , когда п = 0 , R = 0 или R является коммутативным и п = 1 . Фактически это верно и для подкольца верхнетреугольных матриц. Вот пример, показывающий две верхнетреугольные матрицы 2 × 2, которые не коммутируют, при условии, что 1 ≠ 0 :
${\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}$
а также
${\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}.$
При n ≥ 2 кольцо матриц M _n ( R ) над ненулевым кольцом имеет делители нуля и нильпотентные элементы ; то же самое верно и для кольца верхнетреугольных матриц. Примером в матрицах 2 × 2 будет
${\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}.$
Центр М _н ( R ) состоит из скалярных кратных единичной матрицы , в которой скалярное принадлежит к центру R .
Группа единиц M _n ( R ), состоящая из обратимых матриц при умножении, обозначается GL _n ( R ).
Если F - поле, то для любых двух матриц A и B из M _n ( F ) из равенства AB = 1 следует BA = 1 . Это не верно для любого кольца R , хотя. Кольцо R , все матричные кольца которого обладают указанным свойством, известно как стабильно конечное кольцо ( Лам 1999 , стр. 5).

Полукольцо матрицы [ править ]

Фактически, R должно быть только полукольцом для определения M _n ( R ). В этом случае M _n ( R ) - полукольцо, называемое матричным полукольцом . Аналогично, если R - коммутативное полукольцо, то M _n ( R ) - матричная полуалгебра .

Например, если R - булево полукольцо ( двухэлементная булева алгебра R = {0,1} с 1 + 1 = 1), то M _n ( R ) - это полукольцо бинарных отношений на n -элементном множестве с объединение как сложение, композиция отношений как умножение, пустое отношение ( нулевая матрица ) как ноль и тождественное отношение ( единичная матрица ) как единица. ^[7]

См. Также [ править ]

Центральная простая алгебра
Алгебра Клиффорда
Теорема Гурвица (нормированные алгебры с делением)
Родовое матричное кольцо
Закон инерции Сильвестра

Ссылки [ править ]

^ Лам, Первый курс некоммутативных колец , 2-е издание, Springer, 2001; Теорема 3.1.
^ а б Лэнг, Алгебра бакалавриата , Springer, 2005; V.§3.
^ Серр, Алгебры Ли и группы Ли , 2-е издание, исправленное 5-е издание, Springer, 2006; п. 3.
^ Серр, Местные поля , Springer, 1979; п. 158.
^ Артин, Алгебра , Пирсон, 2018; Пример 3.3.6 (а).
^ Лекция VII сэра Уильяма Роуэна Гамильтона, Лекции по кватернионам , Ходжес и Смит, 1853 г.
^ Droste, М., & Kuich, W. (2009). Полукольца и формальные степенные ряды. Справочник по взвешенным автоматам , 3–28. DOI : 10.1007 / 978-3-642-01492-5_1 , стр. 7–10

Лам, Т.Ю. (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для выпускников по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5

[1] Лам, Первый курс некоммутативных колец , 2-е издание, Springer, 2001; Теорема 3.1.

[LangUA-2] а б Лэнг, Алгебра бакалавриата , Springer, 2005; V.§3.

[3] Серр, Алгебры Ли и группы Ли , 2-е издание, исправленное 5-е издание, Springer, 2006; п. 3.

[4] Серр, Местные поля , Springer, 1979; п. 158.

[5] Артин, Алгебра , Пирсон, 2018; Пример 3.3.6 (а).

[6] Лекция VII сэра Уильяма Роуэна Гамильтона, Лекции по кватернионам , Ходжес и Смит, 1853 г.

[droste-7] Droste, М., & Kuich, W. (2009). Полукольца и формальные степенные ряды. Справочник по взвешенным автоматам , 3–28. DOI : 10.1007 / 978-3-642-01492-5_1 , стр. 7–10

[1]