В вероятности и статистике , многомерная случайная величина или случайный вектор представляет собой список математических переменных каждого из значений которого неизвестен, либо потому , что значение еще не произошло или потому , что есть несовершенное знание о его стоимости. Отдельные переменные в случайном векторе сгруппированы вместе, потому что все они являются частью единой математической системы - часто они представляют разные свойства отдельной статистической единицы . Например, хотя у данного человека есть определенный возраст, рост и вес, представление этих черт неуказанного человекаизнутри группы будет случайным вектором. Обычно каждый элемент случайного вектора является действительным числом .
Случайные векторы часто используются в качестве базовой реализации различных типов совокупных случайных величин , например, случайной матрицы , случайного дерева , случайной последовательности , случайного процесса и т. Д.
Более формально, многомерная случайная величина представляет собой вектор - столбца (или его транспонирование , который представляет собой вектор - строки ), компоненты которого являются скалярными -значными случайными величинами на то же вероятностном пространстве , как друг с другом, где это выборочное пространство , является сигма- алгебра (совокупность всех событий) и является мерой вероятности (функцией, возвращающей вероятность каждого события ).
СОДЕРЖАНИЕ
1 Распределение вероятностей
2 Операции со случайными векторами
2.1 Аффинные преобразования
2.2 Обратимые отображения
3 Ожидаемое значение
4 Ковариация и кросс-ковариация
4.1 Определения
4.2 Свойства
4.3 Некоррелированность
5 Корреляция и взаимная корреляция
5.1 Определения
5.2 Свойства
6 Ортогональность
7 Независимость
8 Характеристическая функция
9 Другие свойства
9.1 Ожидание квадратичной формы
9.2 Ожидание произведения двух различных квадратичных форм
10 приложений
10.1 Теория портфолио
10.2 Теория регрессии
10.3 Векторные временные ряды
11 Источники
12 Дальнейшее чтение
Распределение вероятностей [ править ]
Основная статья: многомерное распределение вероятностей
Каждый случайный вектор порождает вероятностную меру с алгеброй Бореля в качестве базовой сигма-алгебры. Эта мера также известна как совместное распределение вероятностей , совместное распределение или многомерное распределение случайного вектора.
В распределения каждого из компонентов случайных величин называются маргинальные распределения . Условное распределение вероятностей по данности является распределение вероятностей , когда известно, что конкретное значение.
Интегральная функция распределения случайного вектора определяется как [1] : с.15
( Уравнение 1 )
где .
Операции со случайными векторами [ править ]
Случайные векторы могут подвергаться тем же видам алгебраических операций, что и неслучайные векторы: сложение, вычитание, умножение на скаляр и взятие скалярных произведений .
Аффинные преобразования [ править ]
Точно так же новый случайный вектор может быть определен путем применения аффинного преобразования к случайному вектору :
, где - матрица, а - вектор-столбец.
Если - обратимая матрица и имеет функцию плотности вероятности , то плотность вероятности равна
.
Обратимые отображения [ править ]
В более общем плане мы можем изучать обратимые отображения случайных векторов. [2] : с.290–291.
Пусть отображение один-к-одному из открытого подмножества из на подмножества из , пусть имеют непрерывные частные производные в и пусть якобиеву определитель из быть нуль ни в одной точке . Предположим, что реальный случайный вектор имеет функцию плотности вероятности и удовлетворяет . Тогда случайный вектор имеет плотность вероятности
где обозначает индикаторную функцию, а множество обозначает поддержку .
Ожидаемое значение [ править ]
Ожидаемое значение или среднее случайного вектора является фиксированным вектором , элементы которого являются ожидаемыми значениями соответствующих случайных величин. [3] : с.333
( Уравнение 2 )
Ковариация и кросс-ковариация [ править ]
Определения [ править ]
Ковариационная матрица (также называемый второй центральный момент или ковариационная матрица) из случайного вектора является матрица которого ( I, J ) - й элемент является ковариация между я - й и с J - го случайных величин. Ковариационная матрица - это ожидаемое значение, элемент за элементом, матрицы, вычисляемой как , где верхний индекс T относится к транспонированию указанного вектора: [2] : p. 464 [3] : с.335
( Уравнение 3 )
В более широком смысле, матрица кросс-ковариации между двумя случайными векторами и ( имеющими элементы и имеющими элементы) является матрицей [3] : с.336
( Уравнение 4 )
где снова матричное ожидание берется поэлементно в матрице. Здесь ( i, j ) -й элемент - это ковариация между i- м элементом и j- м элементом .
Свойства [ править ]
Ковариационная матрица - это симметричная матрица , т.е. [2] : p. 466
.
Ковариационная матрица - это положительно полуопределенная матрица , т.е. [2] : p. 465
.
Матрица кросс-ковариации - это просто транспонирование матрицы , т. Е.
.
Некоррелированность [ править ]
Два случайных вектора и называются некоррелированными, если
.
Они некоррелированы тогда и только тогда, когда их матрица кросс-ковариации равна нулю. [3] : с.337
Корреляция и взаимная корреляция [ править ]
Определения [ править ]
Корреляционная матрица (также называемый второй момент ) из случайного вектора представляет собой матрицу, ( I, J ) - й элемент является соотношение между я - й и J - го случайных величин. Корреляционная матрица - это ожидаемое значение, элемент за элементом, матрицы, вычисляемой как , где верхний индекс T относится к транспонированию указанного вектора: [4] : p.190 [3] : p.334
( Уравнение 5 )
В более широком смысле, матрица взаимной корреляции между двумя случайными векторами и ( имеющими элементы и имеющими элементы) является матрицей
( Уравнение 6 )
Свойства [ править ]
Корреляционная матрица связана с ковариационной матрицей соотношением
.
Аналогично для матрицы взаимной корреляции и матрицы кросс-ковариации:
Ортогональность [ править ]
Два случайных вектора одинакового размера и называются ортогональными, если
.
Независимость [ править ]
Основная статья: Независимость (теория вероятностей)
Два случайных вектора и называются независимыми, если для всех и
где и обозначают кумулятивные функции распределения и, а обозначают их совместную кумулятивную функцию распределения. Независимость от и часто обозначается как . Написаны покомпонентно и называются независимыми, если для всех
.
Характеристическая функция [ править ]
Характеристическая функция случайного вектора с компонентами является функцией , которая отображает каждый вектор в комплексное число. Он определен в [2] : с. 468
.
Другие свойства [ править ]
Ожидание квадратичной формы [ править ]
Математическое ожидание квадратичной формы в случайном векторе можно принять следующим образом: [5] : с.170–171
где - ковариационная матрица и относится к следу матрицы, то есть к сумме элементов на ее главной диагонали (от верхнего левого угла до нижнего правого). Поскольку квадратичная форма является скаляром, то же самое и ее математическое ожидание.
Доказательство : Позвольте быть случайным вектором с и и пусть быть нестохастической матрицей.
Затем, исходя из формулы ковариации, если мы обозначим и , мы увидим, что:
Следовательно
что оставляет нам показать, что
Это верно на основании того факта, что можно циклически переставлять матрицы при взятии трассировки без изменения конечного результата (например:) .
Мы видим что
И с тех пор
является скаляром , то
тривиально. Используя перестановку, получаем:
и вставив это в исходную формулу, мы получим:
Ожидание произведения двух различных квадратичных форм [ править ]
Можно получить математическое ожидание произведения двух различных квадратичных форм в гауссовском случайном векторе с нулевым средним следующим образом: [5] : pp. 162–176
где снова - ковариационная матрица . Опять же, поскольку обе квадратичные формы являются скалярами и, следовательно, их произведение является скаляром, математическое ожидание их произведения также является скаляром.
Приложения [ править ]
Теория портфолио [ править ]
В теории портфелей в финансах цель часто состоит в том, чтобы выбрать портфель рискованных активов так, чтобы распределение случайной доходности портфеля имело желаемые свойства. Например, можно выбрать доходность портфеля, имеющую наименьшую дисперсию для данного ожидаемого значения. Здесь случайный вектор - это вектор случайной доходности отдельных активов, а доходность портфеля p (случайный скаляр) - это внутреннее произведение вектора случайной доходности на вектор w весов портфеля - долей портфеля, помещенных в соответствующие активы. Поскольку p = w T , ожидаемая величина доходности портфеля равна w TE ( ), и можно показать, что дисперсия доходности портфеля равна w T C w , где C - ковариационная матрица .
Теория регрессии [ править ]
В теории линейной регрессии у нас есть данные о n наблюдениях для зависимой переменной y и n наблюдениях для каждой из k независимых переменных x j . Наблюдения за зависимой переменной складываются в вектор-столбец y ; наблюдения по каждой независимой переменной также складываются в векторы-столбцы, и эти последние векторы-столбцы объединяются в матрицу плана X (не обозначающую случайный вектор в этом контексте) наблюдений за независимыми переменными. Затем постулируется следующее уравнение регрессии как описание процесса, в результате которого были получены данные:
где β - постулируемый фиксированный, но неизвестный вектор k коэффициентов отклика, а e - неизвестный случайный вектор, отражающий случайные влияния на зависимую переменную. С помощью некоторой выбранной техники, такой как обычный метод наименьших квадратов , вектор выбирается в качестве оценки β, а оценка вектора e , обозначенная , вычисляется как
Затем статистик должен проанализировать свойства и , которые рассматриваются как случайные векторы, поскольку случайный выбор n наблюдений привел бы к другим значениям для них.
Векторный временной ряд [ править ]
Эволюцию случайного вектора k × 1 во времени можно смоделировать как векторную авторегрессию (VAR) следующим образом:
где я - периоды обратных вектора наблюдения называются я -й отставание , с является к × 1 вектор констант ( перехваты ), я являюсь стационарен к × K матрица и является к × 1 случайный вектора условий ошибки .
Ссылки [ править ]
^ Галлагер, Роберт Г. (2013). Теория случайных процессов для приложений . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-03975-9.
^ а б в г д Лапидот, Амос (2009). Фонд цифровых коммуникаций . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-19395-5.
^ a b c d e Губнер, Джон А. (2006). Вероятность и случайные процессы для инженеров-электриков и компьютерщиков . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-86470-1.
^ Папулиса, Афанасий (1991). Вероятность, случайные величины и случайные процессы (Третье изд.). Макгроу-Хилл. ISBN 0-07-048477-5.
^ a b Кендрик, Дэвид (1981). Стохастическое управление для экономических моделей . Макгроу-Хилл. ISBN 0-07-033962-7.
Дальнейшее чтение [ править ]
Старк, Генри; Вудс, Джон В. (2012). «Случайные векторы». Вероятность, статистика и случайные процессы для инженеров (четвертое изд.). Пирсон. С. 295–339. ISBN 978-0-13-231123-6.