Часть серии по статистике |
Теория вероятности |
---|
В аксиомах Колмогорова являются основой теории вероятностей , введенной А. Н. Колмогоровым в 1933 году [1] Эти аксиомы остаются центральными и имеют непосредственный вклад в математику, физические науки, и реальных случаи вероятности. [2] Альтернативный подход к формализации вероятности, одобренный некоторыми байесовцами , дается теоремой Кокса . [3]
Аксиомы [ править ]
В качестве допущения к настройке аксиомам можно суммировать следующим образом : Пусть (Ω, F , P ) является мерой пространства с является вероятность некоторого события Е , а = 1. Тогда (Ω, F , P ) представляет собой вероятность того, пространство , с выборочным пространством Q, пространство событий F и вероятностной мерой P . [1]
Первая аксиома [ править ]
Вероятность события - неотрицательное действительное число:
где пространство событий. Отсюда следует, что всегда конечно, в отличие от более общей теории меры . Теории, которые приписывают отрицательную вероятность, ослабляют первую аксиому.
Вторая аксиома [ править ]
Это допущение единичной меры : вероятность того, что произойдет хотя бы одно из элементарных событий во всем пространстве выборки, равна 1.
Третья аксиома [ править ]
Это предположение об σ-аддитивности :
- Любая счетная последовательность непересекающихся множеств (синоним взаимоисключающих событий) удовлетворяет
Некоторые авторы рассматривают просто конечно-аддитивные вероятностные пространства, и в этом случае нужна просто алгебра множеств , а не σ-алгебра . [4] Распределения квазивероятностей в общем случае ослабляют третью аксиому.
Последствия [ править ]
Из аксиом Колмогорова можно вывести другие полезные правила для изучения вероятностей. Доказательства [5] [6] [7] этих правил представляют собой очень проницательную процедуру, которая иллюстрирует силу третьей аксиомы и ее взаимодействие с остальными двумя аксиомами. Ниже показаны четыре непосредственных следствия и их доказательства:
Монотонность [ править ]
Если A является подмножеством B или равно ему, то вероятность A меньше или равна вероятности B.
Доказательство монотонности [5] [ править ]
Для проверки свойства монотонности зададим и , где и для . Легко видеть, что множества попарно не пересекаются и . Следовательно, из третьей аксиомы получаем, что
Поскольку согласно первой аксиоме левая часть этого уравнения представляет собой серию неотрицательных чисел, и поскольку она сходится к конечному числу , мы получаем и и .
Вероятность пустого множества [ править ]
В некоторых случаях это не единственное событие с вероятностью 0.
Доказательство вероятности пустого множества [ править ]
Как показано в предыдущем доказательстве, . Однако это утверждение рассматривается от противоречия: если тогда левая часть не меньше бесконечности;
Если тогда получаем противоречие, потому что сумма не превосходит конечную. Таким образом, . Мы показали в качестве побочного продукта доказательства монотонности, что .
Правило дополнения [ править ]
Доказательство правила дополнения [ править ]
Данные и являются взаимоисключающими, и что :
... (по аксиоме 3)
и, ... (по аксиоме 2)
Числовая граница [ править ]
Из свойства монотонности сразу следует, что
Доказательство числовой границы [ править ]
Учитывая правило дополнения и аксиому 1 :
Дальнейшие последствия [ править ]
Еще одно важное свойство:
Это называется законом сложения вероятностей или правилом сумм. То есть вероятность того, что произойдет A или B , - это сумма вероятностей того, что произойдет A и произойдет B , за вычетом вероятности того, что произойдет и A, и B. Доказательство этого заключается в следующем:
Во-первых,
- ... (по Аксиоме 3)
Так,
- (автор ).
Также,
и исключение из обоих уравнений дает желаемый результат.
Распространением закона сложения на любое количество множеств является принцип включения-исключения .
Приставляя B к дополнению A c к A в законе сложения, получаем
То есть вероятность того, что какое-либо событие не произойдет (или его дополнение ), равна 1 минус вероятность того, что оно произойдет.
Простой пример: подбрасывание монеты [ править ]
Рассмотрим один бросок монеты и предположим, что монета выпадет либо орлом (H), либо решкой (T) (но не обоими сразу). Не делается никаких предположений относительно того, честная ли монета.
Мы можем определить:
Из аксиом Колмогорова следует, что:
Вероятность выпадения ни орла, ни решки равна 0.
Вероятность либо голов или хвостов, является 1.
Сумма вероятности выпадения решки и вероятности выпадения решки равна 1.
См. Также [ править ]
- Борелевская алгебра
- σ-алгебра
- Теория множеств
- Условная возможность
- Квазивероятность
- Полностью вероятностный дизайн
Ссылки [ править ]
- ^ a b Колмогоров, Андрей (1950) [1933]. Основы теории вероятностей . Нью-Йорк, США: Chelsea Publishing Company.
- ↑ Олдос, Дэвид. «В чем смысл аксиом Колмогорова?» . Дэвид Олдос . Проверено 19 ноября 2019 года .
- ^ Теренин Александр; Дэвид Дрейпер (2015). «Теорема Кокса и Джейнсианская интерпретация вероятности» . arXiv : 1507.06597 . Bibcode : 2015arXiv150706597T . Cite journal requires
|journal=
(help) - ^ Гайки, Алан (28 августа 2019). «Интерпретации вероятностей» . Стэнфордская энциклопедия философии . Проверено 17 ноября 2019 года .
- ^ a b Росс, Шелдон М. (2014). Первый курс вероятности (Девятое изд.). Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси. стр. 27, 28. ISBN 978-0-321-79477-2. OCLC 827003384 .
- ↑ Джерард, Дэвид (9 декабря 2017 г.). «Доказательства из аксиом» (PDF) . Проверено 20 ноября 2019 года .
- ^ Джексон, Билл (2010). «Вероятность (конспект лекции - неделя 3)» (PDF) . Школа математики Лондонского университета королевы Марии . Проверено 20 ноября 2019 года .
Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Ноябрь 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) ( |
Дальнейшее чтение [ править ]
- ДеГрут, Моррис Х. (1975). Вероятность и статистика . Читает: Эддисон-Уэсли. С. 12–16 . ISBN 0-201-01503-X.
- МакКорд, Джеймс Р .; Морони, Ричард М. (1964). «Аксиоматическая вероятность» . Введение в теорию вероятностей . Нью-Йорк: Макмиллан. С. 13–28 .
- Формальное определение вероятности в системе Мицара и список формально доказанных теорем по этому поводу.