Диагональ

Диагонали куба с длиной стороны 1. AC '(показано синим) - это диагональ пространства с длиной , а AC (показано красным) - диагональ грани и имеет длину .${\ displaystyle {\ sqrt {3}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$

В геометрии , A диагонали является отрезок , соединяющий две вершины из более многоугольника или многогранника , когда эти вершины не находятся на одной и той же кромке . Неформально любую наклонную линию называют диагональной. Слово диагональные происходит от древнегреческого διαγώνιος diagonios , ^[1] «от угла до угла» (от διά- диа- , «через», «через» и γωνία Gonia , «угол», связанный с gony «колено»);его использовали Страбон ^[2] и Евклид ^[3]для обозначения линии, соединяющей две вершины ромба или кубоида , ^[4] и позже принятой на латынь как диагонус («наклонная линия»).

В матричной алгебре диагональ квадратной матрицы - это набор элементов, простирающихся от одного угла до самого дальнего угла.

Есть и другие нематематические применения.

Нематематическое использование [ править ]

Стенд основных строительных лесов на строительной площадке дома с диагональными распорками для сохранения конструкции.

В инженерии диагональная скоба - это балка, используемая для крепления прямоугольной конструкции (например, строительных лесов ), чтобы выдерживать сильные силы, проталкиваемые в нее; хотя диагональные скобы и называются диагональными, из практических соображений они часто не соединяются с углами прямоугольника.

Диагональные плоскогубцы - это кусачки, режущие кромки челюстей которых пересекают стыковочную заклепку под углом или «по диагонали», отсюда и название.

Диагонали присоединительный представляет собой тип присоединительного используется для связывания лонжеронов или полюсов вместе наносит таким образом , чтобы пересечь найтовы полюсов под углом.

В футболе , то диагональная система управления является метод судьей и помощники судей использовать , чтобы позиционировать себя в одном из четырех квадрантов поля.

Полигоны [ править ]

Применительно к многоугольнику диагональ - это отрезок прямой, соединяющий любые две непоследовательные вершины. Следовательно, у четырехугольника две диагонали, соединяющие противоположные пары вершин. Для любого выпуклого многоугольника все диагонали находятся внутри многоугольника, но для повторно входящих многоугольников некоторые диагонали находятся за пределами многоугольника.

Любой n- сторонний многоугольник ( n ≥ 3), выпуклый или вогнутый , имеет диагонали, так как каждая вершина имеет диагонали ко всем остальным вершинам, кроме себя и двух соседних вершин, или n  - 3 диагонали, и каждая диагональ делится на две вершины.${\ Displaystyle {\ tfrac {п (п-3)} {2}}}$

Области, образованные диагоналями [ править ]

В выпуклом многоугольнике , если никакие три диагонали не совпадают в одной точке внутри, количество областей, на которые диагонали делят внутреннюю часть, определяется как

${\ Displaystyle {\ binom {n} {4}} + {\ binom {n-1} {2}} = {\ frac {(n-1) (n-2) (n ^ {2} -3n + 12)} {24}}.}$

Для n -угольников с n = 3, 4, ... количество областей ^[5]

1, 4, 11, 25, 50, 91, 154, 246 ...

Это последовательность OEIS A006522. ^[6]

Пересечения диагоналей [ править ]

Если никакие три диагонали выпуклого многоугольника не совпадают во внутренней точке, количество внутренних пересечений диагоналей равно . ^{[7] [8]} Это верно, например, для любого правильного многоугольника с нечетным числом сторон. Формула следует из того факта, что каждое пересечение однозначно определяется четырьмя конечными точками двух пересекающихся диагоналей: количество пересечений, таким образом, является количеством комбинаций из n вершин по четыре за раз.${\ displaystyle {\ binom {n} {4}}}$

Правильные многоугольники [ править ]

У треугольника нет диагоналей.

Квадрат имеет две диагонали одинаковой длины, которые пересекаются в центре квадрата. Отношение диагонали к стороне равно${\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ приблизительно 1,414.}$

У правильного пятиугольника пять диагоналей одинаковой длины. Отношение диагонали к стороне - это золотое сечение ,${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618.}$

У правильного шестиугольника девять диагоналей: шесть более коротких равны друг другу по длине; три более длинных равны друг другу по длине и пересекаются в центре шестиугольника. Отношение длинной диагонали к стороне равно 2, а отношение короткой диагонали к стороне .${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

У правильного семиугольника 14 диагоналей. Семь более коротких равны друг другу, а семь более длинных равны друг другу. Обратная сторона равна сумме обратных величин короткой и длинной диагонали.

В любом правильном n -угольнике с четным n все длинные диагонали пересекаются друг с другом в центре многоугольника.

Многогранники [ править ]

Полиэдр (а твердый объект в трехмерном пространстве , ограниченный двумерный грани ) может иметь два различные типа диагоналей: лицевые диагонали на различных гранях, соединяющий несмежные вершины на одной грани; и диагонали пространства , полностью внутри многогранника (за исключением концов на вершинах).

Как у треугольника нет диагоналей, так и у тетраэдра (с четырьмя треугольными гранями) нет диагоналей граней и диагоналей пространства.

Кубовидной имеет две диагонали на каждой из шести граней и четырех пространственных диагоналей.

Матрицы [ править ]

В случае квадратной матрицы , то основная или главная диагональ диагональной линии записей , идущих от верхнего левого угла в нижнем правом углу. ^{[9] [10] [11]} Для матрицы с индексом строки, заданным с помощью, и индексом столбца, указанным с помощью , это будут записи с . Например, единичная матрица может быть определена как имеющая элементы 1 на главной диагонали и нули в другом месте:${\displaystyle A}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle A_{ij}}$${\displaystyle i=j}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

Диагональ от верхнего правого до нижнего левого угла иногда называют малой диагональю или антидиагональю . В Недиагональные записи являются те , которые не на главной диагонали. Диагональная матрица является тот , чьи отходящие диагональные элементы равны нулю. ^{[12] [13]}

От диагонали записи является тот , который находится непосредственно выше и справа от главной диагонали. ^{[14] [15]} Так же, как диагональные элементы - это элементы с , наддиагональные элементы - элементы с . Например, все ненулевые элементы следующей матрицы лежат в наддиагонали:${\displaystyle A_{ij}}$${\displaystyle j=i}$${\displaystyle j=i+1}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&2&0\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

Точно так же поддиагональная запись - это запись, которая находится непосредственно под и слева от главной диагонали, то есть запись со значком . ^[16] Диагонали общей матрицы могут быть указаны с помощью индекса, измеряемого относительно главной диагонали: главная диагональ имеет ; супердиагональ имеет ; поддиагональ имеет ; и вообще -диагональ состоит из элементов с .${\displaystyle A_{ij}}$${\displaystyle j=i-1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k=0}$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle k=-1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle A_{ij}}$${\displaystyle j=i+k}$

Геометрия [ править ]

По аналогии, подмножество в декартово произведение X × X любого множества X с самим собой, состоящей из всех пар (х, х), называется диагональной, и является графиком из равенства отношения на X или , что эквивалентно график , из тождественная функция от X до x . Это играет важную роль в геометрии; например, фиксированные точки из А отображения F из X в себе могут быть получены при пересечении графика F с диагональю.

В геометрических исследованиях распространена идея пересечения диагонали с самой собой , причем не напрямую, а путем возмущения ее в пределах класса эквивалентности . На глубоком уровне это связано с эйлеровой характеристикой и нулями векторных полей . Например, окружность S ¹ имеет числа Бетти 1, 1, 0, 0, 0 и, следовательно, характеристику Эйлера 0. Геометрический способ выразить это - взглянуть на диагональ на двумерном торе S ¹ xS ¹ и заметить, что он может уйти саммалым движением (θ, θ) к (θ, θ + ε). В общем, число пересечения графика функции с диагональю может быть вычислено с использованием гомологии с помощью теоремы Лефшеца о неподвижной точке ; самопересечение диагонали является частным случаем тождественной функции.

См. Также [ править ]

• Нормальная форма Джордана
• Главная диагональ
• Диагональный функтор

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бронсон, Ричард (1970), Матричные методы: Введение , Нью-Йорк: Academic Press , LCCN  70097490
• Каллен, Чарльз Г. (1966), Матрицы и линейные преобразования , Чтение: Addison-Wesley , LCCN  66021267
• Херштейн, И. Н. (1964), « Темы алгебры» , Waltham: Blaisdell Publishing Company , ISBN 978-1114541016
• Неринг, Эвар Д. (1970), Линейная алгебра и теория матриц (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , LCCN  76091646

Внешние ссылки [ править ]

Посмотрите диагональ в Викисловаре, бесплатном словаре.

• Диагонали многоугольника с интерактивной анимацией
• Диагональ многоугольника из MathWorld .
• Диагональ матрицы из MathWorld .