Оперативный расчет

Операционное исчисление , также известное как операционный анализ , представляет собой метод, с помощью которого задачи анализа , в частности дифференциальные уравнения , преобразуются в алгебраические задачи, обычно в задачу решения полиномиального уравнения .

История [ править ]

Идея представления процессов исчисления, дифференцирования и интегрирования в виде операторов имеет долгую историю, восходящую к Готфриду Вильгельму Лейбницу . Математик Луи Франсуа Антуан Арбогаст был одним из первых, кто манипулировал этими символами независимо от функции, к которой они были применены. ^[1]

Этот подход был развит Франсуа-Жозефом Сервуа, который разработал удобные обозначения. ^{[2] За} Сервуа последовала школа британских и ирландских математиков, включая Чарльза Джеймса Харгрива , Джорджа Буля , Боунина, Кармайкла, Дукина, Грейвса, Мерфи, Уильяма Споттисвуда и Сильвестра.

Трактаты, описывающие применение операторных методов к обыкновенным и дифференциальным уравнениям в частных производных, были написаны Робертом Беллом Кармайклом в 1855 году ^[3] и Булем в 1859 году ^[4].

Этот метод был полностью разработан физиком Оливером Хевисайдом в 1893 году в связи с его работой в телеграфии .

В значительной степени руководствуясь интуицией и своими обширными познаниями в области физики, лежащими в основе его исследований схем, [Хевисайд] разработал операционное исчисление, которое теперь приписывается его имени. ^[5]

В то время методы Хевисайда не были строгими, и его работа не получила дальнейшего развития математиками. Операционное исчисление впервые нашло применение в задачах электротехники для расчета переходных процессов в линейных цепях после 1910 года под влиянием Эрнста Джулиуса Берга , Джона Реншоу Карсона и Ванневара Буша .

Строгое математическое обоснование операционных методов Хевисайда было получено только после работы Бромвича, который связал операционное исчисление с методами преобразования Лапласа (подробное изложение см. В книгах Джеффриса, Карслоу или МакЛахлана). Другие способы обоснования операционных методов Хевисайда были введены в середине 1920-х годов с использованием методов интегрального уравнения (как это сделал Карсон) или преобразования Фурье (как это сделал Норберт Винер ).

Другой подход к операционному исчислению был разработан в 1930-х годах польским математиком Яном Микусиньским с использованием алгебраических рассуждений.

Норберт Винер заложил основы теории операторов в своем обзоре экзистенциального статуса операционного исчисления в 1926 г .: ^[6]

Блестящая работа Хевисайда является чисто эвристической, лишенной даже претензии на математическую строгость. Его операторы применяются к электрическим напряжениям и токам, которые могут быть прерывистыми и, конечно, не обязательно должны быть аналитическими. Например, любимый корпус vile, на котором он пробует свои операторы, - это функция, которая исчезает слева от начала координат и равна 1 справа. Это исключает прямое применение методов Пинчерле…

Хотя разработки Хевисайда не были оправданы нынешним состоянием чисто математической теории операторов, существует много того, что мы можем назвать экспериментальным доказательством их достоверности, и они очень ценны для инженеров-электриков . Однако есть случаи, когда они приводят к неоднозначным или противоречивым результатам.

Принцип [ править ]

Ключевым элементом операционного исчисления является рассмотрение дифференцирования как оператора p =d/д тдействуя на функции . Затем линейные дифференциальные уравнения можно преобразовать в форму «функций» F (p) оператора p, действующего на неизвестную функцию, равную известной функции. Здесь F определяет что-то, что принимает оператор p и возвращает другой оператор F (p) . Затем решения получаются, если обратный оператор F действует на известную функцию. Операционное исчисление обычно представлено двумя символами: оператором p и единичной функцией 1.. Используемый оператор, вероятно, больше математический, чем физический, а функция единицы - более физическая, чем математическая. Оператор p в исчислении Хевисайда изначально должен представлять дифференциатор времениd/д т. Кроме того, желательно, чтобы этот оператор имел взаимное отношение, такое, что p ^-1 обозначает операцию интегрирования. ^[5]

В теории электрических цепей пытаются определить реакцию электрической цепи на импульс. В силу линейности достаточно рассматривать единичный шаг :

Шаговая функция Хевисайда : H ( t ) такая, что H ( t ) = 0, если t <0, и H ( t ) = 1, если t > 0.

Простейшим примером применения операционного исчисления является решение: p  y = H ( t ) , что дает

${\ displaystyle y = \ operatorname {p} ^ {- 1} H = \ int _ {0} ^ {t} H (u) \ operatorname {d} u = t \ H (t)}$.

Из этого примера видно, что представляет собой интеграцию . Кроме того, n повторных интеграций представлены так, что ${\ displaystyle \ operatorname {p} ^ {- 1}}$${\ displaystyle \ operatorname {p} ^ {- n},}$

${\ displaystyle \ operatorname {p} ^ {- n} H (t) = {\ frac {t ^ {n}} {n!}} H (t).}$

Продолжая рассматривать p как переменную,

${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {p}} {\ \ operatorname {p} -a \}} H (t) = {\ frac {1} {\ 1 - {\ frac {a} {\ operatorname { p}}} \}} \ H (t),}$

который можно переписать, используя расширение геометрического ряда ,

${\ displaystyle {\ frac {1} {1 - {\ frac {a} {\ operatorname {p}}}}} H (t) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a ^ {n } \ operatorname {p} ^ {- n} H (t) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {a ^ {n} t ^ {n}} {n!}} H (t) = e ^ {at} H (t)}$.

Используя разложение на частичную дробь , можно определить любую дробь в операторе p и вычислить ее действие на H ( t ) . Более того, если функция 1 / F (p) имеет разложение в ряд вида

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ F (\ operatorname {p}) \}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} \ operatorname {p} ^ {- n} }$,

легко найти

${\displaystyle {\frac {1}{\ F(\operatorname {p} )\ }}H(t)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}H(t)}$.

Применяя это правило, решение любого линейного дифференциального уравнения сводится к чисто алгебраической задаче.

Хевисайд пошел дальше и определил дробную степень p, тем самым установив связь между операционным исчислением и дробным исчислением .

Используя разложение Тейлора , можно также проверить формулу трансляции Лагранжа-Буля , e ^{a p} f ( t ) = f ( t + a ) , поэтому операционное исчисление также применимо к конечно- разностным уравнениям и к задачам электротехники с запаздывающими сигналами. .

Ссылки [ править ]

• Terquem and Gerono (1855) « Новые анналы математики»: журнал кандидатов на политехническую и нормальную работу 14 , 83 [Некоторые исторические ссылки на предшествующую работу до Кармайкла].
• О. Хевисайд (1892) « Электрические бумаги» , Лондон
• О. Хевисайд (1893, 1899, 1902) Электромагнитная теория , Лондон
• О. Хевисайд (1893) Proc. Рой. Soc. (Лондон) 52: 504-529, 54: 105-143 (1894)
• Дж. Р. Карсон (1926) Бык. Амер. Математика. Soc. 32 , 43.
• Дж. Р. Карсон (1926) Теория электрических цепей и операционное исчисление , Макгроу Хилл).
• Х. Джеффрис (1927) Операционные методы в математической физике Cambridge University Press, также в Интернет-архиве
• HW March (1927) Bull. Амер. Математика. Soc. 33 , 311, 33 , 492.
• Эрнст Берг (1929) Оперативный расчет Хевисайда , Макгроу Хилл через Интернет-архив
• Ванневар Буш (1929) Анализ рабочих цепей с приложением Норберта Винера , Джона Уайли и сыновей
• Х. Т. Дэвис (1936) Теория линейных операторов (Principia Press, Блумингтон).
• NW Mc Lachlan (1941) Современное операционное исчисление (Macmillan).
• HS Carslaw (1941) Операционные методы в прикладной математике Oxford University Press .
• Бальтазар ван дер Поль и Х. Бреммер (1950) Операционные вычисления Cambridge University Press
• Б. ван дер Поля (1950) «Хевисайда Операционное исчисление» в Хевисайда Столетнем Том в Институте инженеров - электриков
• Р. В. Черчилль (1958) Операционная математика Макгроу-Хилл
• Дж. Микусинский (1960) Оперативное исчисление Elsevier
• Рота, GC; Kahaner, D .; Одлызко, А. (1973). «Об основах комбинаторной теории. VIII. Конечное операторное исчисление». Журнал математического анализа и приложений . 42 (3): 684. DOI : 10.1016 / 0022-247X (73) 90172-8 .
• Йеспер Лютцен (1979) «Операционное исчисление Хевисайда и попытки его упорядочить», Архив истории точных наук 21 (2): 161–200 ‹См. Tfd› doi : 10.1007 / BF00330405 См. ‹Tfd›
• Пол Дж. Нахин (1985) Оливер Хевисайд, Дробные операторы и возраст Земли , IEEE Transactions on Education E-28 (2): 94–104, ссылка из IEEE Explore .
• Джеймс Б. Калверт (2002) Хевисайд, Лаплас и инверсионный интеграл , из Денверского университета .

Внешние ссылки [ править ]

• IV ПРАВИЛА ЭКСПЛУАТАЦИИ Lindell HEAVISIDE, ПРИМЕНИМЫЕ К ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ЗАДАЧАМ
• Расчет Рона Дёрфлера Хевисайда
• Эссе Джека Креншоу, показывающее использование операторов Подробнее о Розеттском камне