Противоположная группа

В этой статье не процитировать какие - либо источники . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . Найти источники:  «Противоположная группа»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Это естественное преобразование бинарной операции из группы в ее противоположность. ⟨ Г ₁ , г ₂ ⟩ обозначает упорядоченную пару из двух элементов группы. * 'можно рассматривать как естественно индуцированное добавление +.

В теории групп , разделе математики , противоположная группа - это способ построения группы из другой группы, который позволяет определить правое действие как частный случай левого действия .

Моноиды , группы, кольца и алгебры можно рассматривать как категории с одним объектом. Конструкция противоположной категории обобщает противоположную группу, противоположное кольцо и т. Д.

Определение [ править ]

Позвольте быть группой под действием . Противоположная группа , обозначенная , имеет тот же базовый набор , что и, и ее групповая операция определяется как .${\ displaystyle G}$${\ displaystyle *}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle G ^ {\ mathrm {op}}}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle {\ mathbin {\ ast '}}}$${\displaystyle g_{1}{\mathbin {\ast '}}g_{2}=g_{2}*g_{1}}$

Если это абелева , то она равна его противоположной группе. Кроме того, каждая группа (не обязательно абелева) естественно изоморфна своей противоположной группе: изоморфизм задается формулой . В более общем смысле, любой антиавтоморфизм порождает соответствующий изоморфизм через , поскольку${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \varphi :G\to G^{\mathrm {op} }}$${\displaystyle \varphi (x)=x^{-1}}$ ${\displaystyle \psi :G\to G}$${\displaystyle \psi ':G\to G^{\mathrm {op} }}$${\displaystyle \psi '(g)=\psi (g)}$

${\displaystyle \psi '(g*h)=\psi (g*h)=\psi (h)*\psi (g)=\psi (g){\mathbin {\ast '}}\psi (h)=\psi '(g){\mathbin {\ast '}}\psi '(h).}$

Групповое действие [ править ]

Позвольте быть объектом в некоторой категории, и быть правильным действием . Тогда левое действие определяется с помощью , или .${\displaystyle X}$${\displaystyle \rho :G\to \mathrm {Aut} (X)}$${\displaystyle \rho ^{\mathrm {op} }:G^{\mathrm {op} }\to \mathrm {Aut} (X)}$${\displaystyle \rho ^{\mathrm {op} }(g)x=x\rho (g)}$${\displaystyle g^{\mathrm {op} }x=xg}$

См. Также [ править ]

• Противоположное кольцо
• Противоположная категория

Внешние ссылки [ править ]

• http://planetmath.org/oppositegroup