Парареальный

Parareal является параллельным алгоритмом из численного анализа и используются для решения начальных задач . ^[1] Он был представлен в 2001 году Лайонс , Мадей и Туриничи. С тех пор он стал одним из наиболее широко изучаемых методов интегрирования параллельно во времени. ^{[ необходима цитата ]}

Методы параллельной интеграции [ править ]

В отличие, например, от методов Рунге-Кутты или многоступенчатых методов, некоторые вычисления в Parareal могут выполняться параллельно, и поэтому Parareal является одним из примеров метода параллельного интегрирования во времени . В то время как исторически большинство усилий по распараллеливанию численного решения уравнений в частных производных было сосредоточено на пространственной дискретизации, ввиду проблем, связанных с экзадачными вычислениями , параллельные методы временной дискретизации были идентифицированы как возможный способ увеличения параллелизма в численном программном обеспечении . ^[2]Поскольку Parareal вычисляет численное решение для нескольких временных шагов параллельно, он классифицируется как параллельный метод шагов . ^[3] Это контрастирует с подходами, использующими параллелизм по методу, таким как параллельный метод Рунге-Кутта или методы экстраполяции, где независимые этапы могут вычисляться параллельно или параллельно с помощью системных методов, таких как релаксация формы волны. ^[4]^[5]

История [ править ]

Parareal может быть получен как многосеточный метод во времени, так и как множественная съемка по оси времени. ^[6] Обе идеи, многосеточная во времени, а также использование множественной съемки для временной интеграции, восходят к 1980-м и 1990-м годам. ^[7]^[8] Parareal - это широко изученный метод, который использовался и изменялся для множества различных приложений. ^[9] Идеи распараллеливания решения задач с начальным значением восходят еще дальше: первая статья, предлагающая метод интегрирования параллельно во времени, появилась в 1964 году. ^[10]

Алгоритм [ править ]

Воспроизвести медиа

Визуализация алгоритма Parareal. Здесь обозначен грубый пропагатор, а вот мелкий .

{\ displaystyle {\ bar {\ varphi}}}

{\ displaystyle \ varphi}

Parareal решает задачу начальной стоимости вида

${\ displaystyle {\ dot {y}} (t) = е (y (t), t), \ quad y (t_ {0}) = y_ {0} \ quad {\ text {with}} \ quad t_ {0} \ leq t \ leq T.}$

Здесь правая часть может соответствовать пространственной дискретизации дифференциального уравнения в частных производных в методе линейного приближения. ${\ displaystyle f}$

Parareal теперь требует декомпозиции временного интервала на так называемые временные срезы , так что ${\ displaystyle [t_ {0}, T]}$ $P$ $[t_{j},t_{j+1}]$

$[t_{0},T]=[t_{0},t_{1}]\cup [t_{1},t_{2}]\cup \ldots \cup [t_{P-1},t_{P}].$

Каждый временной интервал назначается одному блоку обработки при распараллеливании алгоритма, поэтому он равен количеству блоков обработки, используемых для Parareal: например, в коде на основе MPI это будет количество процессов, в то время как в коде на основе OpenMP , будет равно количеству потоков . $P$ $P$

Parareal основан на итеративном применении двух методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений . Один, обычно помеченный , должен иметь высокую точность и вычислительную стоимость, в то время как другой, обычно помеченный , должен быть дешевым в вычислительном отношении, но может быть гораздо менее точным. Как правило, для грубого и точного интегратора выбирается какая-либо форма метода Рунге-Кутта, который может быть более низкого порядка и использовать больший временной шаг, чем . Если проблема начального значения проистекает из дискретизации УЧП, можно также использовать более грубую пространственную дискретизацию, но это может отрицательно повлиять на сходимость, если не используется интерполяция высокого порядка. ^[11] Результат численного интегрирования одним из этих методов по временному интервалу. ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {G}}$ ${\mathcal {G}}$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {G}}$ $[t_{j},t_{j+1}]$ для некоторого начального значения, заданного в, записывается как $y_{j}$ $t_{j}$

$y={\mathcal {F}}(y_{j},t_{j},t_{j+1})$ или . $y={\mathcal {G}}(y_{j},t_{j},t_{j+1})$

Тогда последовательное интегрирование по времени с помощью точного метода будет соответствовать пошаговому вычислению

$y_{j+1}={\mathcal {F}}(y_{j},t_{j},t_{j+1}),\quad j=0,\ldots ,P-1.$

Parareal вместо этого использует следующую итерацию

$y_{j+1}^{k+1}={\mathcal {G}}(y_{j}^{k+1},t_{j},t_{j+1})+{\mathcal {F}}(y_{j}^{k},t_{j},t_{j+1})-{\mathcal {G}}(y_{j}^{k},t_{j},t_{j+1}),\quad j=0,\ldots ,P-1,\quad k=0,\ldots ,K-1,$

где - счетчик итераций. По мере того, как итерация сходится и , члены грубого метода сокращаются, и Parareal воспроизводит решение, полученное последовательным выполнением только точного метода. Можно показать, что Parareal сходится после максимального количества итераций. ^[6] Однако, чтобы Parareal мог обеспечить ускорение, он должен сойтись за количество итераций, значительно меньшее, чем количество временных интервалов, то есть . $k$ $y_{j}^{k+1}-y_{j}^{k}\to 0$ $P$ $K\ll P$

В итерации Parareal вычислительно затратная оценка может выполняться параллельно на процессорах. В противоположность этому , зависимость от средств , что грубая коррекция должна быть вычислена в последовательном порядке. ${\mathcal {F}}(y_{j}^{k},t_{j},t_{j+1})$ $P$ $y_{j+1}^{k+1}$ ${\mathcal {G}}(y_{j}^{k+1},t_{j},t_{j+1})$

Ускорение [ править ]

При некоторых предположениях может быть получена простая теоретическая модель ускорения Parareal. ^[12] Хотя в приложениях эти допущения могут быть слишком ограничивающими, модель все же полезна для иллюстрации компромиссов, связанных с получением ускорения с Parareal.

Во-первых, предположим, что каждый временной интервал состоит точно из шагов точного интегратора и шагов грубого интегратора. Это включает, в частности, предположение, что все временные интервалы имеют одинаковую длину и что как грубый, так и точный интегратор используют постоянный размер шага на протяжении всей симуляции. Во-вторых, обозначьте и время вычисления, необходимое для одного шага точного и грубого методов, соответственно, и предположите, что оба они постоянны. Обычно это не совсем так, когда используется неявный метод, потому что время выполнения зависит от количества итераций, необходимых для итеративного решателя . $[t_{j},t_{j+1}]$ $N_{f}$ $N_{c}$ $\tau _{f}$ $\tau _{c}$

При этих двух предположениях время выполнения точного метода, интегрирующего по временным срезам, можно смоделировать как $P$

$c_{\text{fine}}=PN_{f}\tau _{f}.$

Время выполнения Parareal с использованием блоков обработки и выполнения итераций равно $P$ $K$

$c_{\text{parareal}}=(K+1)PN_{c}\tau _{c}+KN_{f}\tau _{f}.$

Тогда ускорение Parareal

$S_{p}={\frac {c_{\text{fine}}}{c_{\text{parareal}}}}={\frac {1}{(K+1){\frac {N_{c}}{N_{f}}}{\frac {\tau _{c}}{\tau _{f}}}+{\frac {K}{P}}}}\leq \min \left\{{\frac {N_{f}\tau _{f}}{N_{c}\tau _{c}}},{\frac {P}{K}}\right\}.$

Эти две границы иллюстрируют компромисс, который необходимо сделать при выборе грубого метода: с одной стороны, он должен быть дешевым и / или использовать гораздо больший временной шаг, чтобы сделать первую границу как можно большей, с другой стороны. Чтобы вторая граница оставалась большой, количество итераций должно быть низким. В частности, параллельная эффективность Parareal ограничена $K$

$E_{p}={\frac {S_{p}}{P}}\leq {\frac {1}{K}},$

то есть числом, обратным количеству требуемых итераций.

Неустойчивость для мнимых собственных значений [ править ]

В ванильной версии Parareal есть проблемы с мнимыми собственными значениями . ^[6] Обычно он сходится только к самым последним итерациям, то есть по мере приближения , и ускорение всегда будет меньше единицы. Таким образом, либо количество итераций невелико и Parareal нестабилен, либо, если оно достаточно велико, чтобы сделать Parareal стабильным, ускорение невозможно. Это также означает, что Parareal обычно нестабилен для гиперболических уравнений. ^[13] Хотя формальный анализ Гандера и Вандевалля охватывает только линейные задачи с постоянными коэффициентами, проблема также возникает, когда Parareal применяется к нелинейным уравнениям Навье – Стокса. $k$ $P$ $S_{p}$ $k$ когда коэффициент вязкости становится слишком маленьким, а число Рейнольдса слишком большим. ^[14] Существуют различные подходы к стабилизации Parareal, ^[15]^[16]^[17] один из них - Parareal, усиленный подпространством Крылова.

Варианты [ править ]

Есть несколько алгоритмов, которые напрямую основаны или, по крайней мере, вдохновлены оригинальным алгоритмом Parareal.

Крылов-подпространство, усиленное Parareal [ править ]

Ранее было признано, что для линейных задач информация, полученная с помощью точного метода, может использоваться для повышения точности грубого метода . ^[16] Первоначально идея была сформулирована для параллельного неявного интегратора времени PITA ^[18], метода, тесно связанного с Parareal, но с небольшими различиями в том, как выполняется коррекция. На каждой итерации результат вычисляется для значений для . На основании этой информации подпространство ${\mathcal {F}}_{\delta t}$ ${\mathcal {G}}_{\Delta t}$ $k$ ${\mathcal {F}}_{\delta t}(y_{j}^{k})$ $u_{j}^{k}\in \mathbb {R} ^{d}$ $j=0,\ldots ,P-1$

$S_{k}:=\left\{y_{j}^{k'}:0\leq k'\leq k,j=0,\ldots ,P-1\right\}$

определяется и обновляется после каждой итерации Parareal. ^[19] Обозначим , как в ортогональной проекции от до . Затем замените грубый метод улучшенным интегратором . $P_{k}$ $\mathbb {R} ^{d}$ $S_{k}$ ${\mathcal {K}}_{\Delta t}(y)={\mathcal {F}}_{\delta t}(P_{k}y)+{\mathcal {G}}_{\Delta t}((I-P_{k})y)$

По мере увеличения числа итераций пространство будет расти, и модифицированный пропагатор станет более точным. Это приведет к более быстрой сходимости. Эта версия Parareal может также стабильно интегрировать линейные гиперболические уравнения в частных производных. ^[20] Также существует расширение нелинейных задач, основанное на методе редуцированного базиса. ^[17] $S_{k}$ ${\mathcal {K}}_{\Delta t}$

Гибридные парареальные спектральные отложенные поправки [ править ]

М. Миньон предложил метод с повышенной параллельной эффективностью, основанный на комбинации Parareal со спектральными отложенными поправками (SDC) ^[21] . ^[22] Это ограничивает выбор для грубого и точного интегратора SDC, жертвуя гибкостью ради повышения эффективности параллельной обработки. Вместо предела , предел параллельной эффективности в гибридном методе становится $1/K$

$E_{p}\leq {\frac {K_{s}}{K_{p}}}$

где число итераций базового метода последовательного SDC и обычно большее количество итераций параллельного гибридного метода. Гибрид Parareal-SDC был дополнительно улучшен за счет добавления полной схемы аппроксимации, используемой в нелинейной многосеточной системе . Это привело к разработке схемы параллельной полной аппроксимации в пространстве и времени (PFASST). ^[23] Производительность PFASST изучалась для PEPC, программы расчета частиц на основе дерева Барнса-Хата, разработанной в суперкомпьютерном центре Juelich . Моделирование с использованием всех 262 144 ядер на IBM BlueGene $K_{s}$ $K_{p}$ Система / P JUGENE показала, что PFASST может обеспечить дополнительное ускорение сверх насыщения распараллеливания пространственного дерева. ^[24]

Многосеточное сокращение времени (MGRIT) [ править ]

Многосеточный метод сокращения времени (MGRIT) обобщает интерпретацию Parareal как многосеточного алгоритма времени на несколько уровней с использованием различных сглаживающих устройств. ^[25] Это более общий подход, но для конкретного выбора параметров он эквивалентен Parareal. Библиотека XBraid, реализующая MGRIT, разрабатывается Ливерморской национальной лабораторией Лоуренса .

ParaExp [ править ]

ParaExp использует экспоненциальные интеграторы внутри Parareal. ^[26] Хотя он ограничен линейными задачами, он может обеспечить почти оптимальное параллельное ускорение.

Ссылки [ править ]

↑ Львы, Жак-Луи; Мадай, Ивон; Туриничи, Габриэль (2015). «Парареальное» в дискретизации по времени PDE » (PDF) . Comptes Rendus де l'Академии наук, Série я . 332 (7): 661–668. Bibcode : 2001CRASM.332..661L . DOI : 10.1016 / S0764-4442 (00) 01793-6 .
^ Джек Dongarra; Джеффри Хиттингер; Джон Белл; Луис Чакон; Роберт Фальгаут; Майкл Эру; Пол Ховланд; Эсмонд Нг; Клейтон Вебстер; Стефан Вильд (март 2014 г.). Прикладные математические исследования для Exascale Computing (PDF) (Отчет). Министерство энергетики США . Проверено августом 2015 года . Проверить значения даты в: |accessdate=( помощь )
^ Burrage, Кевин (1997). «Параллельные методы для ОДУ». Успехи в вычислительной математике . 7 (1–2): 1–31. DOI : 10,1023 / A: 1018997130884 .
^ Iserles, A .; NøRSETT, ИП (1990-10-01). «К теории параллельных методов Рунге-Кутта» . Журнал численного анализа IMA . 10 (4): 463–488. DOI : 10.1093 / imanum / 10.4.463 . ISSN 0272-4979 .
^ Кетчесон, Дэвид; Вахид, Умайр бин (13.06.2014). «Сравнение явных методов Рунге – Кутты высокого порядка, экстраполяции и отложенной коррекции в последовательном и параллельном». Коммуникации в прикладной математике и вычислительной технике . 9 (2): 175–200. arXiv : 1305.6165 . DOI : 10.2140 / camcos.2014.9.175 . ISSN 2157-5452 .
^ a b c Гандер, Мартин Дж .; Вандевалле, Стефан (2007). «Анализ Парареального метода интеграции времени с параллельным временем». Журнал SIAM по научным вычислениям . 29 (2): 556–578. CiteSeerX 10.1.1.154.6042 . DOI : 10.1137 / 05064607X .
^ Hackbusch, Вольфганг (1985). Параболические многосеточные методы . Вычислительные методы в прикладных науках и технике, VI . С. 189–197. ISBN 9780444875976. Проверено августом 2015 года . Проверить значения даты в: |access-date=( помощь )
^ Киль, Мартин (1994). «Параллельная многократная съемка для решения начальных задач». Параллельные вычисления . 20 (3): 275–295. DOI : 10.1016 / S0167-8191 (06) 80013-X .
^ Гандер, Мартин Дж. (2015). 50 лет интеграции времени и параллельного времени . Вклад в математические и вычислительные науки. 9 (1-е изд.). Издательство Springer International. DOI : 10.1007 / 978-3-319-23321-5 . ISBN 978-3-319-23321-5.
^ Нивергельт, Юрг (1964). «Параллельные методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений». Коммуникации ACM . 7 (12): 731–733. DOI : 10.1145 / 355588.365137 .
^ Рупрехт, Даниэль (2014-12-01). «Конвергенция парареального с пространственным огрублением» (PDF) . ПАММ . 14 (1): 1031–1034. DOI : 10.1002 / pamm.201410490 . ISSN 1617-7061 .
^ Миньон, Майкл Л. (2010). «Гибридный метод парареальной спектральной отложенной коррекции» . Коммуникации в прикладной математике и вычислительной технике . 5 (2): 265–301. DOI : 10.2140 / camcos.2010.5.265 .
↑ Персонал, Гуннар Андреас; Ренквист, Эйнар М. (01.01.2005). Барт, Тимоти Дж .; Грибель, Майкл; Киз, Дэвид Э .; Nieminen, Risto M .; Руз, Дирк; Шлик, Тамар; Корнхубер, Ральф; Хоппе, Рональд; Перио, Жак (ред.). Устойчивость парареального алгоритма . Конспект лекций по вычислительным наукам и технике. Springer Berlin Heidelberg. С. 449–456. DOI : 10.1007 / 3-540-26825-1_46 . ISBN 9783540225232.
^ Штайнер, Йоханнес; Рупрехт, Даниэль; Спек, Роберт; Краузе, Рольф (01.01.2015). Абдулле, Ассир; Депарис, Симона; Кресснер, Дэниел; Нобиле, Фабио; Пикассо, Марко (ред.). Сходимость парареального для уравнений Навье-Стокса в зависимости от числа Рейнольдса . Конспект лекций по вычислительным наукам и технике. Издательство Springer International. С. 195–202. CiteSeerX 10.1.1.764.6242 . DOI : 10.1007 / 978-3-319-10705-9_19 . ISBN 9783319107042.
^ Дай, X .; Maday, Y. (01.01.2013). "Устойчивый парареальный во времени метод для гиперболических систем первого и второго порядков" . Журнал SIAM по научным вычислениям . 35 (1): A52 – A78. DOI : 10.1137 / 110861002 . ISSN 1064-8275 .
^ a b Фархат, Шарбель; Кортиаль, Жюльен; Дастиллунг, Климен; Бавестрелло, Анри (30.07.2006). «Параллельные времени неявные интеграторы для предсказания линейных структурных динамических реакций в режиме, близком к реальному времени». Международный журнал численных методов в инженерии . 67 (5): 697–724. Bibcode : 2006IJNME..67..697F . DOI : 10.1002 / nme.1653 . ISSN 1097-0207 .
^ а б Чен, Фэн; Hesthaven, Jan S .; Чжу, Сюэюй (01.01.2014). Quarteroni, Alfio; Роцца, Джанлуиджи (ред.). Об использовании сокращенных базисных методов для ускорения и стабилизации парареального метода . MS&A - Моделирование, имитация и приложения. Издательство Springer International. С. 187–214. DOI : 10.1007 / 978-3-319-02090-7_7 . ISBN 9783319020891.
^ Фархат, Шарбель; Чандесрис, Марион (07.11.2003). "Разложенные во времени параллельные интеграторы времени: теория и технико-экономические обоснования для приложений жидкости, структуры и жидкости-структуры". Международный журнал численных методов в инженерии . 58 (9): 1397–1434. Bibcode : 2003IJNME..58.1397F . DOI : 10.1002 / nme.860 . ISSN 1097-0207 .
^ Гандер, М .; Петку, М. (2008). "Анализ подпространства Крылова расширенный парареальный алгоритм для линейных задач" . ESAIM: Ход работы . 25 : 114–129. DOI : 10.1051 / процедурный: 082508 .
^ Ruprecht, D .; Краузе, Р. (30 апреля 2012 г.). «Явное интегрирование во времени линейной акустической адвекции». Компьютеры и жидкости . 59 : 72–83. arXiv : 1510.02237 . DOI : 10.1016 / j.compfluid.2012.02.015 .
^ Датт, Алок; Грингард, Лесли; Рохлин, Владимир (01.06.2000). "Спектральные методы отложенной коррекции обыкновенных дифференциальных уравнений". BIT Численная математика . 40 (2): 241–266. DOI : 10,1023 / A: 1022338906936 . ISSN 0006-3835 .
^ Minion, Майкл (2011-01-05). «Гибридный парареалистический метод отложенной спектральной коррекции» . Коммуникации в прикладной математике и вычислительной технике . 5 (2): 265–301. DOI : 10.2140 / camcos.2010.5.265 . ISSN 2157-5452 .
^ Эммет, Мэтью; Миньон, Майкл (28.03.2012). «На пути к эффективному параллельному по времени методу для уравнений в частных производных» . Коммуникации в прикладной математике и вычислительной технике . 7 (1): 105–132. DOI : 10.2140 / camcos.2012.7.105 . ISSN 2157-5452 .
^ Speck, R .; Ruprecht, D .; Krause, R .; Emmett, M .; Миньон, М .; Винкель, М .; Гиббон, П. (2012-11-01). Решатель N тел с параллельными массивами пространственно-временных параллелей . Высокопроизводительные вычисления, сети, хранение и анализ (SC), Международная конференция 2012 г. для . С. 1–11. DOI : 10.1109 / SC.2012.6 . ISBN 978-1-4673-0805-2.
^ Falgout, R .; Friedhoff, S .; Колев, Т .; MacLachlan, S .; Шредер, Дж. (01.01.2014). «Параллельная временная интеграция с многосеткой». Журнал SIAM по научным вычислениям . 36 (6): C635 – C661. CiteSeerX 10.1.1.701.2603 . DOI : 10.1137 / 130944230 . ISSN 1064-8275 .
^ Гандер, М .; Гюттель, С. (1 января 2013 г.). «ПАРАЭКСП: Параллельный интегратор для линейных задач с начальным значением». Журнал SIAM по научным вычислениям . 35 (2): C123 – C142. CiteSeerX 10.1.1.800.5938 . DOI : 10.1137 / 110856137 . ISSN 1064-8275 .

Внешние ссылки [ править ]

parallel-in-time.org

[1] Львы, Жак-Луи; Мадай, Ивон; Туриничи, Габриэль (2015). «Парареальное» в дискретизации по времени PDE » (PDF) . Comptes Rendus де l'Академии наук, Série я . 332 (7): 661–668. Bibcode : 2001CRASM.332..661L . DOI : 10.1016 / S0764-4442 (00) 01793-6 .

[2] Джек Dongarra; Джеффри Хиттингер; Джон Белл; Луис Чакон; Роберт Фальгаут; Майкл Эру; Пол Ховланд; Эсмонд Нг; Клейтон Вебстер; Стефан Вильд (март 2014 г.). Прикладные математические исследования для Exascale Computing (PDF) (Отчет). Министерство энергетики США . Проверено августом 2015 года . Проверить значения даты в: |accessdate=( помощь )

[3] Burrage, Кевин (1997). «Параллельные методы для ОДУ». Успехи в вычислительной математике . 7 (1–2): 1–31. DOI : 10,1023 / A: 1018997130884 .

[4] Iserles, A .; NøRSETT, ИП (1990-10-01). «К теории параллельных методов Рунге-Кутта» . Журнал численного анализа IMA . 10 (4): 463–488. DOI : 10.1093 / imanum / 10.4.463 . ISSN 0272-4979 .

[5] Кетчесон, Дэвид; Вахид, Умайр бин (13.06.2014). «Сравнение явных методов Рунге – Кутты высокого порядка, экстраполяции и отложенной коррекции в последовательном и параллельном». Коммуникации в прикладной математике и вычислительной технике . 9 (2): 175–200. arXiv : 1305.6165 . DOI : 10.2140 / camcos.2014.9.175 . ISSN 2157-5452 .

[gander2007-6] Гандер, Мартин Дж .; Вандевалле, Стефан (2007). «Анализ Парареального метода интеграции времени с параллельным временем». Журнал SIAM по научным вычислениям . 29 (2): 556–578. CiteSeerX 10.1.1.154.6042 . DOI : 10.1137 / 05064607X .

[7] Hackbusch, Вольфганг (1985). Параболические многосеточные методы . Вычислительные методы в прикладных науках и технике, VI . С. 189–197. ISBN 9780444875976. Проверено августом 2015 года . Проверить значения даты в: |access-date=( помощь )

[8] Киль, Мартин (1994). «Параллельная многократная съемка для решения начальных задач». Параллельные вычисления . 20 (3): 275–295. DOI : 10.1016 / S0167-8191 (06) 80013-X .

[9] Гандер, Мартин Дж. (2015). 50 лет интеграции времени и параллельного времени . Вклад в математические и вычислительные науки. 9 (1-е изд.). Издательство Springer International. DOI : 10.1007 / 978-3-319-23321-5 . ISBN 978-3-319-23321-5.

[10] Нивергельт, Юрг (1964). «Параллельные методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений». Коммуникации ACM . 7 (12): 731–733. DOI : 10.1145 / 355588.365137 .

[11] Рупрехт, Даниэль (2014-12-01). «Конвергенция парареального с пространственным огрублением» (PDF) . ПАММ . 14 (1): 1031–1034. DOI : 10.1002 / pamm.201410490 . ISSN 1617-7061 .

[12] Миньон, Майкл Л. (2010). «Гибридный метод парареальной спектральной отложенной коррекции» . Коммуникации в прикладной математике и вычислительной технике . 5 (2): 265–301. DOI : 10.2140 / camcos.2010.5.265 .

[13] Персонал, Гуннар Андреас; Ренквист, Эйнар М. (01.01.2005). Барт, Тимоти Дж .; Грибель, Майкл; Киз, Дэвид Э .; Nieminen, Risto M .; Руз, Дирк; Шлик, Тамар; Корнхубер, Ральф; Хоппе, Рональд; Перио, Жак (ред.). Устойчивость парареального алгоритма . Конспект лекций по вычислительным наукам и технике. Springer Berlin Heidelberg. С. 449–456. DOI : 10.1007 / 3-540-26825-1_46 . ISBN 9783540225232.

[14] Штайнер, Йоханнес; Рупрехт, Даниэль; Спек, Роберт; Краузе, Рольф (01.01.2015). Абдулле, Ассир; Депарис, Симона; Кресснер, Дэниел; Нобиле, Фабио; Пикассо, Марко (ред.). Сходимость парареального для уравнений Навье-Стокса в зависимости от числа Рейнольдса . Конспект лекций по вычислительным наукам и технике. Издательство Springer International. С. 195–202. CiteSeerX 10.1.1.764.6242 . DOI : 10.1007 / 978-3-319-10705-9_19 . ISBN 9783319107042.

[15] Дай, X .; Maday, Y. (01.01.2013). "Устойчивый парареальный во времени метод для гиперболических систем первого и второго порядков" . Журнал SIAM по научным вычислениям . 35 (1): A52 – A78. DOI : 10.1137 / 110861002 . ISSN 1064-8275 .

[:0-16] Фархат, Шарбель; Кортиаль, Жюльен; Дастиллунг, Климен; Бавестрелло, Анри (30.07.2006). «Параллельные времени неявные интеграторы для предсказания линейных структурных динамических реакций в режиме, близком к реальному времени». Международный журнал численных методов в инженерии . 67 (5): 697–724. Bibcode : 2006IJNME..67..697F . DOI : 10.1002 / nme.1653 . ISSN 1097-0207 .

[:1-17] а б Чен, Фэн; Hesthaven, Jan S .; Чжу, Сюэюй (01.01.2014). Quarteroni, Alfio; Роцца, Джанлуиджи (ред.). Об использовании сокращенных базисных методов для ускорения и стабилизации парареального метода . MS&A - Моделирование, имитация и приложения. Издательство Springer International. С. 187–214. DOI : 10.1007 / 978-3-319-02090-7_7 . ISBN 9783319020891.

[18] Фархат, Шарбель; Чандесрис, Марион (07.11.2003). "Разложенные во времени параллельные интеграторы времени: теория и технико-экономические обоснования для приложений жидкости, структуры и жидкости-структуры". Международный журнал численных методов в инженерии . 58 (9): 1397–1434. Bibcode : 2003IJNME..58.1397F . DOI : 10.1002 / nme.860 . ISSN 1097-0207 .

[19] Гандер, М .; Петку, М. (2008). "Анализ подпространства Крылова расширенный парареальный алгоритм для линейных задач" . ESAIM: Ход работы . 25 : 114–129. DOI : 10.1051 / процедурный: 082508 .

[20] Ruprecht, D .; Краузе, Р. (30 апреля 2012 г.). «Явное интегрирование во времени линейной акустической адвекции». Компьютеры и жидкости . 59 : 72–83. arXiv : 1510.02237 . DOI : 10.1016 / j.compfluid.2012.02.015 .

[21] Датт, Алок; Грингард, Лесли; Рохлин, Владимир (01.06.2000). "Спектральные методы отложенной коррекции обыкновенных дифференциальных уравнений". BIT Численная математика . 40 (2): 241–266. DOI : 10,1023 / A: 1022338906936 . ISSN 0006-3835 .

[22] Minion, Майкл (2011-01-05). «Гибридный парареалистический метод отложенной спектральной коррекции» . Коммуникации в прикладной математике и вычислительной технике . 5 (2): 265–301. DOI : 10.2140 / camcos.2010.5.265 . ISSN 2157-5452 .

[23] Эммет, Мэтью; Миньон, Майкл (28.03.2012). «На пути к эффективному параллельному по времени методу для уравнений в частных производных» . Коммуникации в прикладной математике и вычислительной технике . 7 (1): 105–132. DOI : 10.2140 / camcos.2012.7.105 . ISSN 2157-5452 .

[24] Speck, R .; Ruprecht, D .; Krause, R .; Emmett, M .; Миньон, М .; Винкель, М .; Гиббон, П. (2012-11-01). Решатель N тел с параллельными массивами пространственно-временных параллелей . Высокопроизводительные вычисления, сети, хранение и анализ (SC), Международная конференция 2012 г. для . С. 1–11. DOI : 10.1109 / SC.2012.6 . ISBN 978-1-4673-0805-2.

[25] Falgout, R .; Friedhoff, S .; Колев, Т .; MacLachlan, S .; Шредер, Дж. (01.01.2014). «Параллельная временная интеграция с многосеткой». Журнал SIAM по научным вычислениям . 36 (6): C635 – C661. CiteSeerX 10.1.1.701.2603 . DOI : 10.1137 / 130944230 . ISSN 1064-8275 .

[26] Гандер, М .; Гюттель, С. (1 января 2013 г.). «ПАРАЭКСП: Параллельный интегратор для линейных задач с начальным значением». Журнал SIAM по научным вычислениям . 35 (2): C123 – C142. CiteSeerX 10.1.1.800.5938 . DOI : 10.1137 / 110856137 . ISSN 1064-8275 .

[1]