Подходящее время

В теории относительности , собственное время вдоль времениподобной мировой линии определяется как время , измеренное по часам после этой строки. Таким образом, он не зависит от координат и является скаляром Лоренца . ^[1] правильный интервал времени между двумя событиями на мировой линии является изменение в надлежащее время. Этот интервал представляет интерес, поскольку собственное время фиксируется только с точностью до произвольной аддитивной константы, а именно установки часов на какое-то событие вдоль мировой линии.

Собственный интервал времени между двумя событиями зависит не только от самих событий, но и от мировой линии, соединяющей их, и, следовательно, от движения часов между событиями. Он выражается в виде интеграла по мировой линии (аналог длины дуги в евклидовом пространстве ). Ускоренные часы будут измерять меньшее время, прошедшее между двумя событиями, чем время, измеренное неускоренными ( инерциальными ) часами между теми же двумя событиями. Парадокс близнецов является примером этого эффекта. ^[2]

Темно-синяя вертикальная линия представляет инерциального наблюдателя, измеряющего координатный временной интервал t между событиями E ₁ и E ₂ . Красная кривая представляет часы, измеряющие свой собственный интервал времени τ между теми же двумя событиями.

По соглашению собственное время обычно обозначается греческой буквой τ ( тау ), чтобы отличать его от координатного времени, представленного буквой t . Координатное время - это время между двумя событиями, измеренное наблюдателем, использующим собственный метод этого наблюдателя для присвоения времени событию. В частном случае инерционного наблюдателя в специальной теории относительности время измеряется с использованием часов наблюдателя и определения наблюдателем одновременности.

Понятие собственного времени было введено Германом Минковским в 1908 г. ^[3] и является важной особенностью диаграмм Минковского .

Математический формализм [ править ]

Формальное определение собственного времени включает в себя описание пути в пространстве-времени, который представляет часы, наблюдателя или пробную частицу, а также метрическую структуру этого пространства-времени. Собственное время - это длина псевдоримановой дуги мировых линий в четырехмерном пространстве-времени. С математической точки зрения предполагается, что координатное время заранее определено, и требуется выражение для собственного времени как функции координатного времени. С другой стороны, собственное время измеряется экспериментально, а координатное время рассчитывается исходя из собственного времени инерционных часов.

Собственное время можно определить только для подобных времени путей в пространстве-времени, которые позволяют построить сопутствующий набор физических линейок и часов. Тот же формализм для пространственноподобных путей приводит к измерению собственного расстояния, а не собственного времени. Для светоподобных путей не существует концепции собственного времени, и она не определена, поскольку интервал пространства-времени равен нулю. Вместо этого необходимо ввести произвольный и физически нерелевантный аффинный параметр, не связанный со временем. ^{[4] [5] [6] [7] [8] [9]}

В специальной теории относительности [ править ]

Метрика Минковского определяется

${\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu} = \ left ({\ begin {matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \ end {matrix}} \ right),}$

и координаты

${\ displaystyle (x ^ {0}, x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3}) = (ct, x, y, z)}$

для произвольных фреймов Лоренца.

В любом таком кадре бесконечно малый интервал, здесь предполагаются времениподобный , между двумя событиями выражаются

${\ displaystyle ds ^ {2} = c ^ {2} dt ^ {2} -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2} = \ eta _ {\ mu \ nu} dx ^ { \ mu} dx ^ {\ nu},}$ (1)

и разделяет точки на траектории частицы (мысленные часы). Тот же интервал может быть выражен в таких координатах, что в каждый момент частица находится в состоянии покоя . Такая система отсчета называется системой мгновенного покоя и обозначается здесь координатами для каждого момента времени. Благодаря инвариантности интервала (мгновенные системы отсчета покоя, взятые в разное время, связаны преобразованиями Лоренца), можно записать${\ Displaystyle (с \ тау, х _ {\ тау}, у _ {\ тау}, г _ {\ тау})}$

${\ displaystyle ds ^ {2} = c ^ {2} d \ tau ^ {2} -dx _ {\ tau} ^ {2} -dy _ {\ tau} ^ {2} -dz _ {\ tau} ^ {2 } = c ^ {2} d \ tau ^ {2},}$

поскольку в системе мгновенного покоя частица или сама система координат покоятся, т . е .. Поскольку интервал считается подобным времени (т.е. ), извлечение квадратного корня из вышеуказанного дает ^[10]${\ displaystyle dx _ {\ tau} = dy _ {\ tau} = dz _ {\ tau} = 0}$${\ displaystyle ds ^ {2}> 0}$

${\ displaystyle ds = cd \ tau,}$

или же

${\ displaystyle d \ tau = {\ frac {ds} {c}}.}$

Учитывая это дифференциальное выражение для τ , собственный интервал времени определяется как

Здесь P - мировая линия от некоторого начального события к некоторому конечному событию с порядком событий, фиксированным требованием, чтобы последнее событие произошло позже по часам, чем начальное событие.

Используя (1) и снова инвариантность интервала, можно записать ^[11]

где v ( t ) - координатная скорость в момент координат t , а x ( t ) , y ( t ) и z ( t ) - пространственные координаты. Первое выражение явно лоренц-инвариантно. Все они лоренц-инвариантны, поскольку собственное время и собственные временные интервалы по определению не зависят от координат.

Если t , x , y , z параметризованы параметром λ , это можно записать как

${\displaystyle \Delta \tau =\int {\sqrt {\left({\frac {dt}{d\lambda }}\right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left[\left({\frac {dx}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{d\lambda }}\right)^{2}\right]}}\,d\lambda .}$

Если движение частицы постоянно, выражение упрощается до

${\displaystyle \Delta \tau ={\sqrt {\left(\Delta t\right)^{2}-{\frac {\left(\Delta x\right)^{2}}{c^{2}}}-{\frac {\left(\Delta y\right)^{2}}{c^{2}}}-{\frac {\left(\Delta z\right)^{2}}{c^{2}}}}},}$

где Δ означает изменение координат между начальным и конечным событиями. Определение в специальной теории относительности прямо обобщается на общую теорию относительности следующим образом.

В общей теории относительности [ править ]

Собственное время определяется в общей теории относительности следующим образом: для псевдориманова многообразия с локальными координатами x ^μ, снабженного метрическим тензором g _μν , собственный интервал времени Δ τ между двумя событиями вдоль времениподобного пути P задается прямой интеграл ^[12]

${\displaystyle \Delta \tau =\int _{P}\,d\tau =\int _{P}{\frac {1}{c}}{\sqrt {g_{\mu \nu }\;dx^{\mu }\;dx^{\nu }}}.}$

( 4 )

Это выражение, как и должно быть, инвариантно при изменении координат. Это сводится (в соответствующих координатах) к выражению специальной теории относительности в плоском пространстве-времени .

Точно так же, как координаты могут быть выбраны так, что x ¹ , x ² , x ³ = const в специальной теории относительности, то же самое можно сделать и в общей теории относительности. Тогда в этих координатах ^[13]

${\displaystyle \Delta \tau =\int _{P}d\tau =\int _{P}{\frac {1}{c}}{\sqrt {g_{00}}}dx^{0}.}$

Это выражение обобщает определение (2) и может быть принято за определение. Тогда, используя инвариантность интервала, уравнение (4) следует из него так же, как (3) следует из (2) , за исключением того, что здесь разрешены произвольные изменения координат.

Примеры в специальной теории относительности [ править ]

Пример 1. Двойной "парадокс" [ править ]

Для сценария двойного парадокса , пусть есть наблюдатель A, который инерционно перемещается между координатами A (0,0,0,0) и (10 лет, 0, 0, 0). Это означает, что A остается в течение 10 лет времени в координате A. Тогда надлежащий временной интервал для A между двумя событиями равен${\displaystyle x=y=z=0}$

${\displaystyle \Delta \tau ={\sqrt {(10{\text{ years}})^{2}}}=10{\text{ years}}.}$

Таким образом, пребывание «в состоянии покоя» в системе координат специальной теории относительности означает, что собственное время и координатное время одинаковы.

Пусть теперь есть еще один наблюдатель B, который путешествует в направлении x от (0,0,0,0) в течение 5 лет с координатой A времени 0,866 c до (5 лет, 4,33 световых года, 0, 0). Оказавшись там, B ускоряется и движется в другом пространственном направлении еще в течение 5 лет по координате A времени (10 лет, 0, 0, 0). Для каждого отрезка пути соответствующий временной интервал может быть рассчитан с использованием A -координат и определяется выражением

${\displaystyle \Delta \tau ={\sqrt {(5\;\mathrm {years} )^{2}-(4.33\;\mathrm {years} )^{2}}}={\sqrt {6.25\;\mathrm {years} ^{2}}}={\sqrt {6.25\;}}\mathrm {years} =2.5\;\mathrm {years} .}$

Таким образом, полное время, необходимое наблюдателю B для перехода от (0,0,0,0) до (5 лет, 4,33 световых года, 0, 0), а затем до (10 лет, 0, 0, 0), составляет 5 лет. . Таким образом, показано, что уравнение собственного времени включает эффект замедления времени. Фактически, для объекта в пространстве-времени СТО, путешествующего со скоростью v в течение времени , соответствующий временной интервал равен${\displaystyle \Delta T}$

${\displaystyle \Delta \tau ={\sqrt {\Delta T^{2}-(v_{x}\Delta T/c)^{2}-(v_{y}\Delta T/c)^{2}-(v_{z}\Delta T/c)^{2}}}=\Delta T{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}},}$

что является формулой замедления времени SR.

Пример 2: Вращающийся диск [ править ]

Наблюдатель, вращающийся вокруг другого инерциального наблюдателя, находится в ускоренной системе отсчета. Для такого наблюдателя необходима инкрементальная ( ) форма уравнения собственного времени, а также параметризованное описание пройденного пути, как показано ниже.${\displaystyle d\tau }$

Пусть на диске есть наблюдатель C, вращающийся в плоскости xy с координатной угловой скоростью и находящийся на расстоянии r от центра диска с центром диска в точке x = y = z = 0. Путь наблюдателя C определяется выражением , где - текущее координатное время. Когда r и постоянны, а . Формула приращения собственного времени тогда принимает вид${\displaystyle \omega }$${\displaystyle (T,\;\,r\cos(\omega T),\;\,r\sin(\omega T),\;\,0)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle dx=-r\omega \sin(\omega T)\;dT}$${\displaystyle dy=r\omega \cos(\omega T)\;dT}$

${\displaystyle d\tau ={\sqrt {dT^{2}-(r\omega /c)^{2}\sin ^{2}(\omega T)\;dT^{2}-(r\omega /c)^{2}\cos ^{2}(\omega T)\;dT^{2}}}=dT{\sqrt {1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}}}.}$

Таким образом, для наблюдателя, вращающегося на постоянном расстоянии r от заданной точки в пространстве-времени с постоянной угловой скоростью ω между временами координат и , собственное время будет${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle T_{2}}$

${\displaystyle \int _{T_{1}}^{T_{2}}d\tau =(T_{2}-T_{1}){\sqrt {1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}}}=\Delta T{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}},}$

поскольку v = rω для вращающегося наблюдателя. Этот результат такой же, как и для примера линейного движения, и показывает общее применение интегральной формы формулы собственного времени.

Примеры в общей теории относительности [ править ]

Разница между СТО и общей теорией относительности (ОТО) состоит в том, что в ОТО можно использовать любую метрику, которая является решением уравнений поля Эйнштейна , а не только метрику Минковского. Поскольку инерционному движению в искривленном пространстве-времени не хватает простого выражения, которое оно имеет в СТО, всегда необходимо использовать форму линейного интеграла уравнения собственного времени.

Пример 3: Вращающийся диск (снова) [ править ]

Соответствующее преобразование координат, выполненное против метрики Минковского, создает координаты, в которых объект на вращающемся диске остается в той же позиции пространственных координат. Новые координаты

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

и

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\omega t.}$

В т и Z координаты остаются неизменными. В этой новой системе координат уравнение приращения собственного времени имеет вид

${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left[1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}\right]dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{c^{2}}}-{\frac {r^{2}\,d\theta ^{2}}{c^{2}}}-{\frac {dz^{2}}{c^{2}}}-2{\frac {r^{2}\omega \,dt\,d\theta }{c^{2}}}}}.}$

Поскольку r , θ и z остаются постоянными во времени, это упрощается до

${\displaystyle d\tau =dt{\sqrt {1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}}},}$

что такое же, как в Примере 2.

Теперь пусть объект находится вне вращающегося диска и находится в инерционном покое по отношению к центру диска и на расстоянии R от него. Этот объект имеет координатное движение, описываемое как dθ = −ω dt , которое описывает неподвижный по инерции объект встречного вращения в поле зрения вращающегося наблюдателя. Теперь уравнение собственного времени становится

${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left[1-\left({\frac {R\omega }{c}}\right)^{2}\right]dt^{2}-\left({\frac {R\omega }{c}}\right)^{2}\,dt^{2}+2\left({\frac {R\omega }{c}}\right)^{2}\,dt^{2}}}=dt.}$

Таким образом, для инерциального покоящегося наблюдателя снова обнаруживается, что координатное время и собственное время проходят с той же скоростью, что и ожидалось и требуется для внутренней самосогласованности теории относительности. ^[14]

Пример 4: Решение Шварцшильда - время на Земле [ править ]

Решение Шварцшильда имеет уравнение приращения собственного времени

${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)dt^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)^{-1}dr^{2}-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}d\phi ^{2}-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}\sin ^{2}(\phi )\,d\theta ^{2}}},}$

куда

• t - время, откалиброванное по часам, удаленным от Земли и находящимся в инерционном покое относительно Земли,
• r - радиальная координата (которая фактически представляет собой расстояние от центра Земли),
• ɸ - ко-широтная координата, угловое расстояние от северного полюса в радианах .
• θ - продольная координата, аналогичная долготе на поверхности Земли, но не зависящая от вращения Земли . Это также указывается в радианах.
• 1 = m - геометрическая масса Земли, m = GM / c ² ,
  • M - масса Земли,
  • G - гравитационная постоянная .

Чтобы продемонстрировать использование соотношения собственное время, здесь будут использоваться несколько субпримеров с участием Земли.

Для Земли , M  = 5.9742 × 10 ²⁴  кг, что означает , что м  = 4,4354 × 10 ^-3  м. Стоя на северном полюсе, мы можем предполагать (это означает, что мы не движемся ни вверх, ни вниз, ни вдоль поверхности Земли). В этом случае уравнение собственного времени решения Шварцшильда принимает вид . Затем, используя полярный радиус Земли в качестве радиальной координаты (или метров), мы находим, что${\displaystyle dr=d\theta =d\phi =0}$${\displaystyle d\tau =dt\,{\sqrt {1-2m/r}}}$${\displaystyle r=6,356,752}$

${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left(1-1.3908\times 10^{-9}\right)\;dt^{2}}}=\left(1-6.9540\times 10^{-10}\right)\,dt.}$

На экваторе радиус Земли r  = 6 378 137 метров. Кроме того, необходимо учитывать вращение Земли. Это сообщает наблюдателю угловую скорость 2 π , деленную на звездный период вращения Земли, 86162,4 секунды. Итак . Тогда уравнение собственного времени дает${\displaystyle \ d\theta /dt}$${\displaystyle d\theta =7.2923\times 10^{-5}\,dt}$

${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left(1-1.3908\times 10^{-9}\right)dt^{2}-2.4069\times 10^{-12}\,dt^{2}}}=\left(1-6.9660\times 10^{-10}\right)\,dt.}$

С нерелятивистской точки зрения это должно было быть таким же, как и предыдущий результат. Этот пример демонстрирует, как используется уравнение собственного времени, даже если Земля вращается и, следовательно, не является сферически-симметричной, как предполагается решением Шварцшильда. Для более точного описания эффектов вращения можно использовать метрику Керра .

См. Также [ править ]

• Преобразование Лоренца
• Пространство Минковского
• Правильная длина
• Правильное ускорение
• Правильная масса
• Правильная скорость
• Гипотеза часов
• Метрика Переса

Сноски [ править ]

Ссылки [ править ]

• Кук, RJ (2004). «Физическое время и физическое пространство в общей теории относительности» . Являюсь. J. Phys . 72 (2): 214–219. Bibcode : 2004AmJPh..72..214C . DOI : 10.1119 / 1.1607338 . ISSN  0002-9505 .
• Foster, J .; Соловей, JD (1978). Краткий курс общей теории относительности . Эссекс: Лонгман научно-технический . ISBN 0-582-44194-3.
• Клеппнер, Д .; Коленков, Р.Дж. (1978). Введение в механику . Макгроу – Хилл . ISBN 0-07-035048-5.
• Копейкин Сергей; Ефроимский, Михаил; Каплан, Джордж (2011). Релятивистская небесная механика Солнечной системы . Джон Вили и сыновья. ISBN 978-3-527-40856-6.
• Ландау, ЛД ; Лифшиц Е.М. (1975). Классическая теория полей . Курс теоретической физики. 2 (4-е изд.). Оксфорд: Баттерворт-Хайнеманн . ISBN 0-7506-2768-9.
• Лоуден, Дерек Ф. (2012). Введение в тензорное исчисление: теория относительности и космология . Курьерская корпорация. ISBN 978-0-486-13214-3.
• Лавлок, Дэвид ; Рунд, Ханно (1989), Тензоры, дифференциальные формы и вариационные принципы , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 0-486-65840-6
• Минковский Герман (1908), "Die Grundgleichungen für умереть elektromagnetischen Vorgänge в bewegten Körpern" , Nachrichten фон дер Königlichen Gesellschaft дер Wissenschaften унд дер Georg-August-Universität цу Геттинген , Геттинген, архивируются с оригинала на 2012-07-08
• Пуассон, Эрик (2004), Набор инструментов релятивиста: математика механики черной дыры , Cambridge University Press , ISBN 978-0521537803
• Вайнберг, Стивен (1972), Гравитация и космология: принципы и приложения общей теории относительности , Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-92567-5
• Цвибах, Бартон (2004). Первый курс теории струн (первое издание). Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-83143-1.