Группа отражения

В теории групп и геометрии , A группа отражений является дискретной группой , которая порождается множеством отражений от конечномерного евклидова пространства . Группа симметрии правильного многогранника или замощения евклидова пространства конгруэнтными копиями правильного многогранника обязательно является группой отражений. Группы отражения также включают группы Вейля и кристаллографические группы Кокстера . Хотя ортогональная группа порождается отражениями (по теореме Картана – Дьедонне ), это непрерывная группа (действительно, группа Ли), а не дискретной группой, и обычно рассматривается отдельно.

Определение [ править ]

Пусть E - конечномерное евклидово пространство . Конечная группа отражения является подгруппой общей линейной группы из Е , который генерируется с помощью набора ортогональных отражений через гиперплоскости , проходящие через начало координат. Аффинная группа отражения является дискретной подгруппой аффинной группы из Е , который генерируется с помощью набора аффинных отражений от Й (без требования , что отражение Гиперплоскости проходит через начало координат).

Соответствующие понятия могут быть определены над другими полями , что приводит к комплексным группам отражений и аналогам групп отражений над конечным полем .

Примеры [ править ]

Самолет [ править ]

В двух измерениях, конечные группы отражений являются двугранными группами , которые генерируются в результате отражения в двух строках , которые образуют угол и соответствуют Кокстеру диаграмма С другой стороны , циклические точечные группы в двух измерениях которые не порождаются отражениями, и действительно содержат нет отражений - они, однако, являются подгруппами индекса 2 группы диэдра. ${\ displaystyle 2 \ pi / n}$ ${\ displaystyle I_ {2} (n).}$

Бесконечные группы отражений включают фриз группы и и обои группы , , , и . Если угол между двумя линиями является иррациональным кратным пи, группа, порожденная отражениями в этих линиях, бесконечна и недискретна, следовательно, это не группа отражений. ${\ Displaystyle * \ infty \ infty}$ ${\ displaystyle * 22 \ infty}$ ${\ displaystyle **}$ ${\ displaystyle * 2222}$ ${\ displaystyle * 333}$ ${\ displaystyle * 442}$ ${\ displaystyle * 632}$

Пробел [ править ]

Конечные группы отражений - это точечные группы C _nv , D _nh и группы симметрии пяти Платоновых тел . Двойные правильные многогранники (куб и октаэдр, а также додекаэдр и икосаэдр) порождают изоморфные группы симметрии. Классификация конечных групп отражений R ³ является примером классификации ADE .

Калейдоскопы [ править ]

Группы рефлексии имеют глубокие отношения с калейдоскопами . ^[1]

Отношения с группами Кокстера [ править ]

Группа отражений W допускает представление особого вида, открытое и изученное Х. С. М. Кокстером . ^[2] Отражения в лицах фиксированной фундаментальной «камеры» являются образующими г _I из W порядка 2. Все отношения между ними формально следуют из соотношений

{\ displaystyle (r_ {i} r_ {j}) ^ {c_ {ij}} = 1,}

выражая тот факт, что произведение отражений r _i и r _j в двух гиперплоскостях H _i и H _j, пересекающихся под углом, является поворотом на угол, фиксирующий подпространство H _i ∩ H _j коразмерности 2. Таким образом, рассматриваемое как абстрактное группа, каждая группа отражений является группой Кокстера . ${\ displaystyle \ pi / c_ {ij}}$ ${\ displaystyle 2 \ pi / c_ {ij}}$

Конечные поля [ править ]

При работе с конечными полями «отражение» определяют как карту, фиксирующую гиперплоскость (в противном случае, например, не было бы отражений в характеристике 2, поскольку отражения являются тождеством). ^[^{необходима цитата}^] Геометрически это равносильно включению сдвигов в гиперплоскость. Группы отражений над конечными полями характеристики не 2 были классифицированы Залесским и Сережкиным (1981) . ${\ displaystyle -1 = 1}$

Обобщения [ править ]

Также рассматривались группы дискретных изометрий более общих римановых многообразий, порожденные отражениями. Самый важный класс возникает из римановых симметрических пространств ранга 1: n-сфера S ⁿ , соответствующая конечным группам отражений, евклидово пространство R ⁿ , соответствующее аффинным группам отражений, и гиперболическое пространство H ⁿ , где соответствующие группы называемые гиперболическими группами отражений . В двух измерениях группы треугольников включают группы отражений всех трех типов.

См. Также [ править ]

Расположение гиперплоскостей
Теорема Шевалле – Шепарда – Тодда.

Ссылки [ править ]

Заметки [ править ]

Перейти ↑ Goodman (2004) .
↑ Кокстер ( 1934 , 1935 )

Библиография [ править ]

Coxeter, HSM (1934), "Дискретные группы, порожденные отражениями", Ann. математики. , 35 (3): 588-621, CiteSeerX 10.1.1.128.471 , DOI : 10,2307 / 1968753 , JSTOR 1968753
Coxeter, HSM (1935), "Полное перечисление конечных групп формы ", J. London Math. Soc. , 10 : 21-25, DOI : 10.1112 / jlms / s1-10.37.21 ${\ displaystyle r_ {i} ^ {2} = (r_ {i} r_ {j}) ^ {k_ {ij}} = 1}$
Goodman, Roe (апрель 2004), "Математика Зеркала и калейдоскопы" (PDF) , American Mathematical Monthly , 111 (4): 281-298, CiteSeerX 10.1.1.127.6227 , DOI : 10,2307 / 4145238 , JSTOR 4145238
Залесский, Александр Е .; Сережкин, В. Н. (1981), "Конечные линейные группы, порожденные отражениями", Матем. СССР Изв. , 17 (3): 477-503, Bibcode : 1981IzMat..17..477Z , DOI : 10,1070 / IM1981v017n03ABEH001369

Учебники [ править ]

Боровик, Александр ; Боровик, Анна (2010), Зеркала и отражения: геометрия конечных групп отражений , Нью-Йорк: Springer , ISBN 9780387790664
Grove, LC; Бенсон, Коннектикут (1985), Конечные группы отражений , Тексты для выпускников по математике, 99 (2-е изд.), Springer-Verlag, Нью-Йорк, DOI : 10.1007 / 978-1-4757-1869-0 , ISBN 0-387-96082-1, Руководство по ремонту 0777684
Хамфрис, Джеймс Э. (1992), группы отражения и группы Кокстера , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-43613-7

Внешние ссылки [ править ]

СМИ, связанные с группами отражения на Викискладе?
«Группа отражений» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[FOOTNOTEGoodman2004-1] Перейти ↑ Goodman (2004) .

[2] Кокстер ( 1934 , 1935 )