Вращение (математика)

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  Математика «вращения»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( февраль 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Вращение объекта в двух измерениях вокруг точки O .

Вращение в математике - это понятие, восходящее к геометрии . Любое вращение - это движение определенного пространства , сохраняющее хотя бы одну точку . Он может описывать, например, движение твердого тела вокруг фиксированной точки. Вращение отличается от других типов движений: переводы , которые не имеют фиксированных точек, и (гиперплоских) отражений , каждая из которых имеет целый ( п  - 1) -мерном квартиру фиксированных точек в п - мерномКосмос. Вращение по часовой стрелке имеет отрицательную величину, поэтому поворот против часовой стрелки имеет положительную величину.

Математически поворот - это карта . Все вращения вокруг фиксированной точки образуют группу в составе, называемую группой вращения (определенного пространства). Но в механике и, в более общем смысле, в физике это понятие часто понимается как преобразование координат (что важно, преобразование ортонормированного базиса ), потому что для любого движения тела существует обратное преобразование, которое, если применить его к системе отсчета ссылка приводит к тому, что тело находится в тех же координатах. Например, при повороте тела по часовой стрелке в двух измеренияхотносительно точки, когда оси остаются неподвижными, эквивалентно вращению осей против часовой стрелки примерно в той же точке, когда тело остается неподвижным. Эти два типа вращения называются активными и пассивными преобразованиями . ^{[ необходима цитата ]}

Связанные определения и терминология [ править ]

Группа вращений - это группа Ли вращений вокруг неподвижной точки . Эта (общая) фиксированная точка называется центром вращения и обычно отождествляется с началом координат . Группа вращений является точечным стабилизатором в более широкой группе движений (сохраняющих ориентацию) .

Для конкретного вращения:

• Ось вращения является линией его неподвижных точек. Они существуют только при n > 2 .
• Плоскость вращения является плоскостью , которая инвариантная при повороте. В отличие от оси, ее точки не фиксируются сами по себе. Ось (если есть) и плоскость вращения ортогональны .

Представление вращений является частным формализма, либо алгебраическим или геометрическим, используется для параметризации карты вращения. Это значение как-то противоположно смыслу теории групп .

Повороты (аффинных) пространств точек и соответствующих векторных пространств не всегда четко различаются. Первые иногда называют аффинными вращениями (хотя этот термин вводит в заблуждение), тогда как вторые - векторными вращениями . Подробнее читайте в статье ниже.

Определения и представления [ править ]

В евклидовой геометрии [ править ]

Движение евклидова пространства аналогично его изометрии : оно оставляет неизменным расстояние между любыми двумя точками после преобразования. Но (собственное) вращение также должно сохранять структуру ориентации . Термин « неправильное вращение » относится к изометриям, которые меняют (переворачивают) ориентацию. На языке теории групп различие выражается как прямые и косвенные изометрии в евклидовой группе , где первые составляют компонент идентичности . Любое прямое евклидово движение можно представить как композицию вращения вокруг неподвижной точки и сдвига.

Нет нетривиальных поворотов в одном измерении. В двух измерениях нужен только один угол, чтобы указать поворот относительно начала координат - угол поворота, который определяет элемент группы кругов (также известный как U (1) ). Вращение действует, чтобы повернуть объект против часовой стрелки на угол θ относительно начала координат ; подробности см. ниже . Композиция поворотов суммирует их углы по модулю 1 оборота , из чего следует, что все двумерные повороты вокругту же точку коммутируют . Вращения вокруг разных точек, как правило, не меняются. Любое прямое двумерное движение - это либо поступление, либо вращение; см. подробности в изометрии евклидовой плоскости .

Вращения в трехмерном пространстве отличаются от вращения в двух измерениях по ряду важных аспектов. Вращения в трех измерениях обычно не коммутативны , поэтому порядок, в котором применяются вращения, важен даже в одной и той же точке. Кроме того, в отличие от двухмерного случая, трехмерное прямое движение в общем положении является не вращением, а винтовой операцией . Вращения вокруг начала координат имеют три степени свободы (подробности см. В формализмах вращения в трех измерениях ), то же самое, что и количество измерений.

Трехмерное вращение можно задать несколькими способами. Самые обычные методы:

• Углы Эйлера (на фото слева). Любой поворот вокруг начала координат может быть представлен как композиция из трех вращений, определяемых как движение, полученное путем изменения одного из углов Эйлера, оставляя два других постоянными. Они составляют смешанную систему осей вращения , потому что углы измеряются по отношению к смеси различных систем отсчета , а не к единственной системе координат, которая является чисто внешней или чисто внутренней. В частности, первый угол перемещает линию узлов вокруг внешней оси z , второй вращается вокруг линии узлов, а третий - внутреннее вращение (вращение) вокруг оси, закрепленной в движущемся теле. Углы Эйлера обычно обозначают как α, β , γ или φ , θ , ψ . Это представление удобно только для вращений вокруг фиксированной точки.

• Представление «ось – угол» (на рисунке справа) определяет угол с осью, вокруг которой происходит вращение. Это легко визуализировать. Есть два варианта его представления:
  • как пара, состоящая из угла и единичного вектора для оси, или
  • как евклидов вектор, полученный умножением угла на этот единичный вектор, называемый вектором вращения (хотя, строго говоря, это псевдовектор ).
• Матрицы, версоры (кватернионы) и другие алгебраические вещи: подробности см. В разделе Формализм линейной и полилинейной алгебры .

Обычное вращение в четырех измерениях имеет только одну фиксированную точку, центр вращения и не имеет оси вращения; подробнее см. повороты в 4-мерном евклидовом пространстве . Вместо этого вращение имеет две взаимно ортогональные плоскости вращения, каждая из которых фиксирована в том смысле, что точки в каждой плоскости остаются внутри плоскостей. Вращение имеет два угла поворота, по одному для каждой плоскости вращения , на которые поворачиваются точки в плоскостях. Если это ω ₁ и ω _2, то все точки, не лежащие в плоскостях, поворачиваются на угол между ω ₁ и ω _2.. Вращения в четырех измерениях вокруг фиксированной точки имеют шесть степеней свободы. Четырехмерное прямое движение в общем положении - это вращение вокруг определенной точки (как и во всех даже евклидовых измерениях), но существуют и винтовые операции.

Формализм линейной и полилинейной алгебры [ править ]

Когда кто-то рассматривает движения евклидова пространства, которые сохраняют начало координат , различие между точками и векторами , важное в чистой математике, может быть стерто, потому что существует каноническое взаимно однозначное соответствие между точками и векторами положения . То же самое верно для геометрий, отличных от евклидовой , но чье пространство является аффинным пространством с дополнительной структурой ; см. пример ниже . В качестве альтернативы векторное описание поворотов можно понимать как параметризацию геометрических поворотов вплоть до их композиции с перемещениями. Другими словами, одно вращение вектора представляет многоэквивалентные вращения вокруг всех точек в пространстве.

Движение, сохраняющее начало координат, аналогично линейному оператору над векторами, который сохраняет ту же геометрическую структуру, но выражается в терминах векторов. Для евклидовых векторов это выражение является их величиной ( евклидовой нормой ). В компонентах такой оператор выражается ортогональной матрицей размера n  ×  n, которая умножается на векторы-столбцы .

Как уже было сказано , (собственное) вращение отличается от произвольного движения неподвижной точки сохранением ориентации векторного пространства. Таким образом, определитель ортогональной матрицы вращения должен быть 1. Единственная другая возможность для определителя ортогональной матрицы - -1 , и этот результат означает, что преобразование представляет собой гиперплоское отражение , точечное отражение (для нечетных n ) или другое вид неправильного вращения . Матрицы всех собственных вращений образуют специальную ортогональную группу .

Два измерения [ править ]

В двух измерениях, чтобы выполнить поворот с использованием матрицы, точка ( x ,  y ), которую нужно повернуть против часовой стрелки, записывается как вектор-столбец, а затем умножается на матрицу вращения, вычисляемую по углу θ :

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x '\\ y' \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \ конец {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}}}$.

Координаты точки после поворота - x ′ ,  y ′ , а формулы для x ′ и y ′ -

${\ displaystyle {\ begin {align} x '& = x \ cos \ theta -y \ sin \ theta \\ y' & = x \ sin \ theta + y \ cos \ theta. \ end {align}}}$

Векторы и имеют одинаковую величину и, как и ожидалось, разделены углом θ .${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}}}$${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x '\\ y' \ end {bmatrix}}}$

Точки на плоскости R ^{2 также} могут быть представлены в виде комплексных чисел : точка ( x ,  y ) на плоскости представлена ​​комплексным числом

${\ displaystyle z = x + iy}$

Его можно повернуть на угол θ , умножив его на e ^iθ , а затем расширив произведение, используя формулу Эйлера следующим образом:

${\ Displaystyle {\ begin {выровнено} е ^ {я \ тета} Z & = (\ соз \ тета + я \ грех \ тета) (х + iy) \\ & = х \ соз \ тета + iy \ соз \ тета + ix \ sin \ theta -y \ sin \ theta \\ & = (x \ cos \ theta -y \ sin \ theta) + i (x \ sin \ theta + y \ cos \ theta) \\ & = x ' + iy ', \ end {выровнено}}}$

и приравнивание действительной и мнимой частей дает тот же результат, что и двумерная матрица:

${\ displaystyle {\ begin {align} x '& = x \ cos \ theta -y \ sin \ theta \\ y' & = x \ sin \ theta + y \ cos \ theta. \ end {align}}}$

Поскольку комплексные числа образуют коммутативное кольцо , векторные вращения в двух измерениях коммутативны, в отличие от более высоких измерений. У них есть только одна степень свободы , так как такие повороты полностью определяются углом поворота. ^[1]

Три измерения [ править ]

Как и в двух измерениях, матрица может использоваться для поворота точки ( x ,  y ,  z ) в точку ( x ′ ,  y ′ ,  z ′ ) . Используемая матрица представляет собой матрицу 3 × 3 ,

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}}$

Это умножается на вектор, представляющий точку, чтобы дать результат.

${\displaystyle \mathbf {A} {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}}$

Набор всех подходящих матриц вместе с операцией умножения матриц составляет группу вращений SO (3) . Матрица является членом трехмерной специальной ортогональной группы , SO (3) , то есть это ортогональная матрица с определителем 1. То , что это ортогональная матрица означает , что ее строки представляют собой набор ортогональных единичных векторов (так они являются ортонормированным базисом ), как и его столбцы, что упрощает поиск и проверку того, является ли матрица допустимой матрицей вращения.

Вышеупомянутые углы Эйлера и представления осей и углов можно легко преобразовать в матрицу вращения.

Другая возможность представить вращение трехмерных евклидовых векторов - это кватернионы, описанные ниже.

Кватернионы [ править ]

Единичные кватернионы , или версоры , в некотором смысле наименее интуитивно понятное представление трехмерных вращений. Они не являются трехмерным примером общего подхода. Они компактнее, чем матрицы, и с ними легче работать, чем со всеми другими методами, поэтому их часто предпочитают в реальных приложениях. ^{[ необходима цитата ]}

Версор (также называемый кватернионом вращения ) состоит из четырех действительных чисел, ограниченных таким образом, что норма кватерниона равна 1. Это ограничение ограничивает степени свободы кватерниона тремя, если требуется. В отличие от матриц и комплексных чисел требуется два умножения:

${\displaystyle \mathbf {x'} =\mathbf {qxq} ^{-1},}$

где q - версор, q ⁻¹ - обратный , а x - вектор, рассматриваемый как кватернион с нулевой скалярной частью . Кватернион может быть связан с векторной формой вращения угла поворота оси посредством экспоненциальной карты по кватернионам,

${\displaystyle \mathbf {q} =e^{\mathbf {v} /2},}$

где v - вектор вращения, рассматриваемый как кватернион.

Однократное умножение на версор, влево или вправо , само по себе является вращением, но в четырех измерениях. Любое четырехмерное вращение вокруг начала координат может быть представлено двумя умножениями кватернионов: одним левым и одним правым, на два разных единичных кватерниона.

Дальнейшие примечания [ править ]

В более общем смысле вращения координат в любом измерении представлены ортогональными матрицами. Набор всех ортогональных матриц в n измерениях, которые описывают правильные повороты (определитель = +1), вместе с операцией умножения матриц образует специальную ортогональную группу SO ( n ) .

Матрицы часто используются для выполнения преобразований, особенно при преобразовании большого количества точек, поскольку они являются прямым представлением линейного оператора . Повороты, представленные другими способами, перед использованием часто преобразуются в матрицы. Их можно расширить для одновременного представления поворотов и преобразований с использованием однородных координат . Проективные преобразования представлены матрицами 4 × 4 . Это не матрицы вращения, а преобразование, которое представляет евклидово вращение, имеет матрицу вращения 3 × 3 в верхнем левом углу.

Основным недостатком матриц является то, что они более дорогие в расчетах и ​​вычислениях. Также в вычислениях, где числовая нестабильность является проблемой, матрицы могут быть более подвержены этому, поэтому вычисления для восстановления ортонормированности , которые для матриц являются дорогостоящими, должны выполняться чаще.

Другие альтернативы матричному формализму [ править ]

Как было продемонстрировано выше, существует три формализма вращения полилинейной алгебры : один с U (1) или комплексными числами для двух измерений и два других с версорами или кватернионами для трех и четырех измерений.

В общем (даже для векторов, снабженных неевклидовой квадратичной формой Минковского ) вращение векторного пространства может быть выражено как бивектор . Этот формализм используется в геометрической алгебре и, в более общем смысле, в представлении алгебры Клиффорда групп Ли.

В случае положительно определенной квадратичной формы евклидовой, двойной накрывающей группы изометрии известна как группа Спин , . Его удобно описать в терминах алгебры Клиффорда. Единичные кватернионы дают группу .${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)}$${\displaystyle \mathrm {Spin} (3)\cong \mathrm {SU} (2)}$

В неевклидовых геометриях [ править ]

В сферической геометрии , прямое движение ^{[ разъяснение необходимости ]} из п -сферы (пример на эллиптической геометрии ) такой же , как вращение ( п  + 1) n - мерном евклидовом пространстве о происхождении ( SO ( п  + 1) ). При нечетном n большинство этих движений не имеет неподвижных точек на n -сфере и, строго говоря, не являются вращениями сферы ; такие движения иногда называют переводами Клиффорда . ^{[ необходима цитата ]}Вращения вокруг неподвижной точки в эллиптической и гиперболической геометриях не отличаются от евклидовых. ^{[ требуется разъяснение ]}

Аффинная геометрия и проективная геометрия не имеют четкого понятия вращения.

В теории относительности [ править ]

Одним из применений этого ^{[ необходимо пояснение ]} является специальная теория относительности , поскольку можно считать, что она действует в четырехмерном пространстве, пространстве-времени , охватываемом тремя пространственными измерениями и одним временным. В специальной теории относительности это пространство является линейным, и четырехмерные вращения, называемые преобразованиями Лоренца , имеют практическую физическую интерпретацию. Пространство Минковского не является метрическим пространством , и термин изометрия неприменим к преобразованию Лоренца.

Если вращение происходит только в трех измерениях пространства, то есть в плоскости, полностью находящейся в пространстве, то это вращение аналогично пространственному вращению в трех измерениях. Но вращение в плоскости, охватываемой пространственным измерением и измерением времени, является гиперболическим вращением , преобразованием между двумя различными системами отсчета , которое иногда называют «усилением Лоренца». Эти преобразования демонстрируют псевдоевклидову природу пространства Минковского. Их иногда называют сжатыми отображениями и часто появляются на диаграммах Минковского, которые визуализируют (1 + 1) -мерную псевдоевклидову геометрию на плоских чертежах. Изучение теории относительности связано с группой Лоренца.порожденные вращениями пространства и гиперболическими вращениями. ^[2]

В то время как вращения SO (3) в физике и астрономии соответствуют вращениям небесной сферы как 2-сферы в евклидовом 3-пространстве, преобразования Лоренца из SO (3; 1) ⁺ вызывают конформные преобразования небесной сферы. Это более широкий класс преобразований сфер, известных как преобразования Мёбиуса .

Дискретные вращения [ править ]

Важность [ править ]

Вращения определяют важные классы симметрии : вращательная симметрия - это инвариантность относительно определенного вращения . Круговой симметрией является инвариантность относительно всех вращения вокруг неподвижной оси.

Как было сказано выше, евклидовы вращения применяются к динамике твердого тела . Более того, большая часть математического формализма в физике (например, векторное исчисление ) инвариантна относительно вращения; см. вращение, чтобы узнать больше о физических аспектах. Евклидовы вращения и, в более общем смысле, описанная выше симметрия Лоренца считаются законами симметрии природы . Напротив, отражательная симметрия не является точным законом симметрии природы.

Обобщения [ править ]

В сложных значных матрицах , аналогичные вещественные ортогональные матрицы являются унитарными матрицами , которые представляют собой ротацию в комплексном пространстве. Набор всех унитарных матриц в данном измерении n образует унитарную группу степени n ; а ее подгруппа, представляющая собственные вращения (те, которые сохраняют ориентацию пространства), является специальной унитарной группой степени n . Эти сложные вращения важны в контексте спиноров . Элементы используются для параметризации трехмерных евклидовых вращений (см. Выше ), а также соответствующих преобразований${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$спин (см. теорию представлений SU (2) ).

См. Также [ править ]

• Главные оси самолета
• Графики на SO (3)
• Координатные вращения и отражения
• CORDIC алгоритм
• Гиперболическое вращение
• Бесконечно малое вращение
• Иррациональное вращение
• Ориентация (геометрия)
• Формула вращения Родригеса
• Вращение осей
• Вихрь

Сноски [ править ]

Ссылки [ править ]

• Хестенес, Дэвид (1999). Новые основы классической механики . Дордрехт : Kluwer Academic Publishers . ISBN 0-7923-5514-8.

• Лунесто, Пертти (2001). Алгебры Клиффорда и спиноры . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-00551-7.

• Браннон, Ребекка М. (2002). «Обзор полезных теорем, включающих правильные ортогональные матрицы, относящиеся к трехмерному физическому пространству» (PDF) . Альбукерке : Сандийские национальные лаборатории .