Отделимое пространство

В математике , А топологическое пространство называются разъемным , если оно содержит счетное , плотное подмножество; то есть существует последовательность элементов пространства такая, что каждое непустое открытое подмножество пространства содержит хотя бы один элемент последовательности.${\ displaystyle \ {x_ {n} \} _ {n = 1} ^ {\ infty}}$

Как и другие аксиомы счетности , отделимость - это «ограничение размера», не обязательно в терминах мощности (хотя в присутствии аксиомы Хаусдорфа это действительно так, см. Ниже), но в более тонком смысле. топологический смысл. В частности, каждая непрерывная функция на сепарабельном пространстве, образ которой является подмножеством хаусдорфова пространства, определяется своими значениями на счетном плотном подмножестве.

Контрастная отделимость с родственным понятием второй счетности , которое, вообще говоря, сильнее, но эквивалентно на классе метризуемых пространств.

Первые примеры [ править ]

Любое топологическое пространство, которое само по себе является конечным или счетно бесконечным , отделимо, поскольку все пространство является счетным плотным подмножеством самого себя. Важным примером несчетного разделимого пространства является вещественная линия , в которой рациональные числа образуют счетное плотное подмножество. Точно так же множество всех векторов, в которых рационально для всех i, является счетным плотным подмножеством ; так для каждого по - мерным евклидова пространства отделимо.${\ displaystyle (r_ {1}, \ ldots, r_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle r_ {i}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Простым примером неразделимого пространства является дискретное пространство несчетной мощности.

Дополнительные примеры приведены ниже.

Разделимость по сравнению со второй счетностью [ править ]

Любое подсчетное пространство сепарабельно: если это счетная база, выбор любого из непустого дает счетное плотное подмножество. Наоборот, метризуемое пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда оно является вторым счетным, что имеет место тогда и только тогда, когда оно является линделёфским .${\ displaystyle \ {U_ {n} \}}$${\ displaystyle x_ {n} \ в U_ {n}}$${\ displaystyle U_ {n}}$

Для дальнейшего сравнения этих двух свойств:

• Произвольное подпространство счетного пространства вторым счетно; подпространства сепарабельных пространств не обязательно должны быть сепарабельными (см. ниже).
• Любой непрерывный образ отделимого пространства отделим ( Willard 1970 , Th. 16.4a); даже частное от пространства с подсчетом секунд не обязательно должно быть подсчетом секунд.
• Продукт из не более континуума многих отделимых пространств отделимо ( Willard +1970 , стр. 109, Th 16.4c). Счетное произведение пространств со вторым счетом является счетным вторым, но несчетное произведение пространств со вторым счетом даже не обязательно должно быть первым счетным.

Мы можем построить пример сепарабельного топологического пространства, которое не является вторым счетным. Рассмотрим любой несчетный набор , выберите несколько и определите топологию как совокупность всех наборов, которые содержат (или являются пустыми). Тогда закрытие - это все пространство ( это наименьшее замкнутое содержащееся множество ), но каждое множество формы открыто. Следовательно, пространство отделимо, но счетной базы быть не может.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x_ {0} \ in X}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle {x_ {0}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ Displaystyle \ {х_ {0}, х \}}$

Мощность [ править ]

Свойство отделимости само по себе не дает никаких ограничений на мощность топологического пространства: любое множество, наделенное тривиальной топологией, является сепарабельным, так же как и вторым счетным, квазикомпактным и связным . «Проблема» тривиальной топологии заключается в ее плохих разделительных свойствах: ее фактор Колмогорова является одноточечным пространством.

Первого счетно , разъемные хаусдорфовым (в частности, отделимое метрическое пространство) имеет самое большее континуум мощность . В таком пространстве замыкание определяется пределами последовательностей, и любая сходящаяся последовательность имеет не более одного предела, поэтому существует сюръективное отображение из набора сходящихся последовательностей со значениями в счетном плотном подмножестве в точки .${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$${\ displaystyle X}$

Отделимое хаусдорфово пространство имеет мощность не больше , где - мощность континуума. Для этого замыкание характеризуется с точки зрения пределов баз фильтра : если и , то тогда и только тогда, когда существует база фильтра, состоящая из подмножеств, к которым сходится . Мощность множества таких баз фильтров не больше . Более того, в пространстве Хаусдорфа существует не более одного предела для каждой базы фильтра. Следовательно, есть сюрприз, когда${\ displaystyle 2 ^ {\ mathfrak {c}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$${\ Displaystyle Y \ substeq X}$${\ displaystyle z \ in X}$${\ displaystyle z \ in {\ overline {Y}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle S(Y)}$${\displaystyle 2^{2^{|Y|}}}$${\displaystyle S(Y)\rightarrow X}$${\displaystyle {\overline {Y}}=X.}$

Те же аргументы устанавливают более общий результат: предположим, что хаусдорфово топологическое пространство содержит плотное подмножество мощности . Тогда имеет мощность не больше, а мощность не больше, если она является первой счетной.${\displaystyle X}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle X}$${\displaystyle 2^{2^{\kappa }}}$${\displaystyle 2^{\kappa }}$

Произведение не более чем континуума многих сепарабельных пространств является сепарабельным пространством ( Willard 1970 , p. 109, Th 16.4c). В частности, пространство всех функций от вещественной прямой до самой себя, наделенное топологией произведения, является сепарабельным хаусдорфовым пространством мощности . В более общем смысле, если - любой бесконечный кардинал, то произведение не более чем пространств с плотными подмножествами размера не больше , само имеет плотное подмножество размера не больше ( теорема Хьюитта – Марчевского – Пондичери ).${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle 2^{\kappa }}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$

Конструктивная математика [ править ]

Сепарабельность особенно важна в численном анализе и конструктивной математике , поскольку многие теоремы, которые можно доказать для несепарабельных пространств, имеют конструктивные доказательства только для сепарабельных пространств. Такие конструктивные доказательства можно превратить в алгоритмы для использования в численном анализе, и они являются единственными видами доказательств, приемлемых для конструктивного анализа. Знаменитым примером теорем такого рода является теорема Хана – Банаха .

Дальнейшие примеры [ править ]

Разделимые пробелы [ править ]

• Каждое компактное метрическое пространство (или метризуемое пространство) сепарабельно.
• Любое топологическое пространство, являющееся объединением счетного числа сепарабельных подпространств, сепарабельно. Вместе эти первые два примера дают другое доказательство того, что -мерное евклидово пространство сепарабельно.${\displaystyle n}$
• Пространство всех непрерывных функций от компактного подмножества до вещественной прямой разделимо.${\displaystyle C(K)}$${\displaystyle K\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Пространства Лебега над сепарабельным пространством с мерой сепарабельны для любого .${\displaystyle L^{p}\left(X,\mu \right)}$ ${\displaystyle \left\langle X,{\mathcal {M}},\mu \right\rangle }$${\displaystyle 1\leq p<\infty }$
• Пространство из непрерывных вещественных функций на единичном интервале с метрикой равномерной сходимости является разъемным пространством, так как это следует из Вейерштрассы приближения теоремы , что множество многочленов от одной переменных с рациональными коэффициентами счетным плотным подмножество . Теорема Банаха – Мазура утверждает, что любое сепарабельное банахово пространство изометрически изоморфно замкнутому линейному подпространству в .${\displaystyle C([0,1])}$ ${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \mathbb {Q} [x]}$${\displaystyle C([0,1])}$${\displaystyle C([0,1])}$
• Гильбертово пространство отделимо тогда и только тогда , когда оно имеет счетный ортонормированный базис . Отсюда следует, что любое сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство изометрично пространству суммируемых с квадратом последовательностей.${\displaystyle \ell ^{2}}$
• Примером разделяемого пространства, не имеющего второго счета, является линия Соргенфрея , набор действительных чисел, снабженный топологией нижнего предела .${\displaystyle \mathbb {S} }$
• Разъемные σ-алгебра является σ-алгебра , которая является отделимым пространством , когда рассматривается как метрическое пространство с метрикой для и данной меры (и является симметричной разницей оператора). ^[1]${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \rho (A,B)=\mu (A\triangle B)}$${\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \triangle }$

Неразделимые пробелы [ править ]

• Первый несчетное порядковое , оснащенный своей естественной топологией порядка , не отделимы.${\displaystyle \omega _{1}}$
• Банахово пространство всех ограниченных вещественных последовательностей, с супремумом нормой , не отделимы. То же самое и для .${\displaystyle \ell ^{\infty }}$${\displaystyle L^{\infty }}$
• Банахово пространство из функций ограниченной вариации не отделит; Обратите внимание, однако, что это пространство имеет очень важные приложения в математике, физике и технике.

Свойства [ править ]

• Подпространство сепарабельного пространства не обязательно должно быть отделимо (см плоскости Соргенфрея и плоскость Мур ), но каждое открытое подпространство сепарабельного пространства сепарабельно ( Willard 1970 , Th 16.4b). Также каждое подпространство сепарабельного метрического пространства сепарабельно.
• Фактически, каждое топологическое пространство является подпространством сепарабельного пространства той же мощности . Конструкция, складывающая не более чем счетное количество точек, приведена в ( Sierpiński 1952 , p. 49); если пространство было хаусдорфовым, то построенное пространство, в которое оно вкладывается, также является хаусдорфовым.
• Множество всех действительных непрерывных функций на сепарабельном пространстве имеет мощность меньше или равную . Это следует из того, что такие функции определяются своими значениями на плотных подмножествах.${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$
• Из указанного выше свойства можно вывести следующее: если X - сепарабельное пространство, имеющее несчетное замкнутое дискретное подпространство, то X не может быть нормальным . Это показывает, что самолет Зоргенфри ненормальный.
• Для компактного хаусдорфова пространства X следующие утверждения эквивалентны:

(i) X является вторым счетным.

(ii) Пространство непрерывных вещественнозначных функций на X с супремум-нормой сепарабельно.${\displaystyle {\mathcal {C}}(X,\mathbb {R} )}$

(iii) X метризуемо.

Встраивание разделимых метрических пространств [ править ]

• Каждое сепарабельное метрическое пространство гомеоморфно подмножеству гильбертова куба . Это установлено при доказательстве теоремы Урысона о метризации .
• Каждое сепарабельное метрическое пространство изометрично некоторому подмножеству (неотделимого) банахова пространства l ^∞ всех ограниченных вещественных последовательностей с нормой супремума ; это известно как вложение Фреше. ( Хейнонен 2003 )
• Каждое сепарабельное метрическое пространство изометрично подмножеству C ([0,1]), сепарабельному банахову пространству непрерывных функций [0,1] →  R , с нормой супремума . Это связано со Стефаном Банахом . ( Хейнонен 2003 )
• Каждое сепарабельное метрическое пространство изометрично некоторому подмножеству универсального пространства Урысона .

Для неразделимых пространств :

• Метрическое пространство от плотности , равного бесконечном кардинального α изометричное подпространства C ([0,1] ^α , R ) , пространство вещественных непрерывных функций на произведении & alpha копий единичного интервала. ( Клейбер 1969 ) harv error: no target: CITEREFKleiber1969 (help)

Ссылки [ править ]

• Хейнонен, Юха (январь 2003 г.), Геометрические вложения метрических пространств (PDF) , данные получены 6 февраля 2009 г.

• Келли, Джон Л. (1975), Общая топология , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90125-1, Руководство по ремонту  0370454
• Клейбер, Мартин; Первин, Уильям Дж. (1969), "Обобщенная теорема Банаха-Мазура", Bull. Austral. Математика. Soc. , 1 (2): 169–173, DOI : 10.1017 / S0004972700041411
• Серпинский, Вацлав (1952), Общая топология , Математические экспозиции, № 7, Торонто, Онтарио: University of Toronto Press, MR  0050870
• Стин, Линн Артур ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( Dover, переиздание, 1978 г.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, Руководство по ремонту  0507446
• Уиллард, Стивен (1970), Общая топология , Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-08707-9, Руководство по ремонту  0264581