В топологии и смежных областях математики , метрическое пространство является топологическим пространством , которая гомеоморфно в метрическом пространстве . То есть топологическое пространствоназывается метризуемым, если существует метрика такая, что топология, индуцированная является . [1] [2] Теоремы о метризации - это теоремы, которые дают достаточные условия для метризуемости топологического пространства.
Характеристики
Метризуемые пространства наследуют все топологические свойства метрических пространств. Например, они являются паракомпактными пространствами Хаусдорфа (а значит, нормальными и тихоновскими ) и имеют счетность в первом приближении . Однако нельзя сказать, что некоторые свойства метрики, такие как полнота, унаследованы. Это также верно и для других структур, связанных с метрикой. Например, метризуемое однородное пространство может иметь другой набор сжимающих отображений, чем метрическое пространство, которому оно гомеоморфно.
Теоремы метризации
Одной из первых широко известных теорем метризации была Теорема Урысона о метризации . Этоозначает,что всякое хаусдорфоворегулярное пространство ссчетной второй суммой метризуемо. Так, например, каждое счетноемногообразиеметризуемо. (Историческое примечание: форма показанной здесь теоремы была фактически доказанаТихоновымв 1926 году.Урысонпоказал в статье, опубликованной посмертно в 1925 году, что каждое нормальное хаусдорфово пространство, имеющеесчетнуюдолюсекунды,метризуемо). Обратное неверно: существуют метрические пространства, которые не являются вторыми счетными, например, несчетное множество, наделенное дискретной метрикой. [3] ТеоремаНагаты – Смирнова о метризации, описанная ниже, дает более конкретную теорему, в которой верно обратное.
Несколько других теорем метризации следуют как простые следствия теоремы Урысона. Например, компактное хаусдорфово пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно счетно до секунд.
Теорема Урысона может быть переформулирована так: топологическое пространство сепарабельно и метризуемо тогда и только тогда, когда оно регулярно, хаусдорфово и имеет счетность во вторых. Теорема Нагаты – Смирнова о метризации распространяет это на неотделимый случай. Он утверждает, что топологическое пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно регулярно, хаусдорфово и имеет σ-локально конечную базу. Σ-локально конечная база - это база, которая представляет собой объединение счетного числа локально конечных наборов открытых множеств. Чтобы узнать о тесно связанной теореме, см. Теорему о метризации Бинга .
Сепарабельные метризуемые пространства также можно охарактеризовать как пространства, гомеоморфные подпространству гильбертова куба , т.е. счетно бесконечное произведение единичного интервала (с его естественной топологией подпространства из вещественных чисел) на самого себя, наделенного топологией произведения .
Пространство называется локально метризуемым, если каждая точка имеет метризуемую окрестность . Смирнов доказал, что локально метризуемое пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно хаусдорфово и паракомпактно . В частности, многообразие метризуемо тогда и только тогда, когда оно паракомпактно.
Примеры
Группа унитарных операторов на сепарабельном гильбертовом пространстве наделен сильной операторной топологией, метризуем (см. предложение II.1 в [4] ).
Примеры неметризуемых пространств
Ненормальные пространства не могут быть метризуемыми; важные примеры включают
- топологии Зарисского на алгебраическом многообразии или на спектре кольца , используется в алгебраической геометрии ,
- топологическое векторное пространство всех функций от вещественной прямой R к самому себе, с топологией поточечной сходимости .
Реальная линия с топологией нижнего предела не является метризуемой. Обычная функция расстояния не является метрикой на этом пространстве, потому что топология, которую она определяет, является обычной топологией, а не топологией нижнего предела. Это пространство хаусдорфово, паракомпактное и первое счетное.
Длинная линия локально метризуемая но не метризуемая; в некотором смысле это «слишком долго».
Смотрите также
- Аполлоническая метрика
- Теорема Бинга о метризации
- Метризуемые ТВС
- Пространство Мура (топология)
- Теорема Нагаты – Смирнова о метризации.
- Униформизуемость , свойство топологического пространства быть гомеоморфным однородному пространству , или, что то же самое, топология, определяемая семейством псевдометрик.
Рекомендации
- ^ Саймон, Джонатан. "Теоремы о метризации" (PDF) . Проверено 16 июня +2016 .
- ^ Мункрес, Джеймс (1999). Топология (второе издание) . Пирсон . п. 119.
- ^ «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 25 сентября 2011 года . Проверено 8 августа 2012 .CS1 maint: заархивированная копия как заголовок ( ссылка )
- ^ Neeb, Карл-Герман, Об одной теореме С. Банаха. J. Теория Ли 7 (1997), нет. 2, 293–300.
Эта статья включает материал из Metrizable на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .