В логике для выражения логического представления обычно используется набор символов . В следующей таблице перечислены многие распространенные символы, а также их имена, произношение и связанные области математики . Кроме того, третий столбец содержит неофициальное определение, четвертый столбец дает краткий пример, пятый и шестой столбцы дают местоположение и имя Unicode для использования в документах HTML . [1] Последний столбец содержит символ LaTeX .
Основные логические символы
Символ | Имя | Читать как | Категория | Объяснение | Примеры | Значение Unicode (шестнадцатеричное) | HTML- значение (десятичное) | HTML- объект (названный) | Символ LaTeX |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
⇒ → ⊃ | материальное значение | подразумевает; если ... то | логика высказываний , алгебра Гейтинга | ложно, когда A истинно, а B ложно, но в противном случае истинно. [2] [ циркулярная ссылка ] может означать то же, что и (символ также может указывать на домен и домен функции ; см. таблицу математических символов ). может означать то же, что и (символ также может означать надмножество ). | правда, но в общем случае неверно (так как x может быть −2). | U + 21D2 U + 2192 U + 2283 | & # 8658; & # 8594; & # 8835; | & rArr; & rarr; &Как дела; | \Правая стрелка \ to или \ rightarrow \ supset \ подразумевает |
⇔ ≡ ↔ | эквивалентность материалов | если и только если; iff; означает то же, что и | логика высказываний | истинно, только если оба A и B ложны или оба A и B истинны. | U + 21D4 U + 2261 U + 2194 | & # 8660; & # 8801; & # 8596; | & hArr; & Equiv; & harr; | \ Leftrightarrow \ Equiv \ leftrightarrow \ iff | |
¬ ˜ ! | отрицание | нет | логика высказываний | Заявление истинно тогда и только тогда, когда A ложно. Косая черта, помещенная через другого оператора, аналогична ставится впереди. | U + 00AC U + 02DC U + 0021 | & # 172; & # 732; & # 33; | &нет; & тильда; & искл; | \ lnot или \ neg
| |
𝔻 | Область дискурса | Домен предиката | Предикат (математическая логика) | U + 1D53B | & # 120123; | & Допф; | \ mathbb {D} | ||
∧ · & | логическое соединение | а также | логика высказываний , булева алгебра | Утверждение A ∧ B истинно, если истинны A и B ; в противном случае это ложь. | n <4 ∧ n > 2 ⇔ n = 3, когда n - натуральное число . | U + 2227 U + 00B7 U + 0026 | & # 8743; & # 183; & # 38; | &а также; & middot; & amp; | |
∨ + ∥ | логическая (включающая) дизъюнкция | или же | логика высказываний , булева алгебра | Утверждение A ∨ B истинно, если истинны A или B (или оба); если оба ложны, утверждение ложно. | n ≥ 4 ∨ n ≤ 2 ⇔ n ≠ 3, когда n - натуральное число . | U + 2228 U + 002B U + 2225 | & # 8744; & # 43; & # 8741; | &или же;
| \ lor или \ vee
|
⊕ ⊻ ≢ | исключительная дизъюнкция | xor; либо ... либо | логика высказываний , булева алгебра | Утверждение A ⊕ B верно, когда истинны либо A, либо B, но не оба одновременно. A ⊻ B означает то же самое. | (¬ A ) ⊕ A всегда истинно, а A ⊕ A всегда ложно, если пустая истина исключена. | U + 2295 U + 22BB
| & # 8853; & # 8891;
| & oplus;
| \ oplus
|
⊤ Т 1 | Тавтология | верх, правда | логика высказываний , булева алгебра | Утверждение ⊤ безусловно верно. | ⊤ ( A ) ⇒ A всегда верно. | U + 22A4 | & # 8868; | &вершина; | \вершина |
⊥ F 0 | Противоречие | дно, ложь, ложь | логика высказываний , булева алгебра | Утверждение ⊥ безусловно ложно. (Символ ⊥ может также относиться к перпендикулярным линиям.) | ⊥ ( A ) ⇒ A всегда ложно. | U + 22A5 | & # 8869; | & perp; | \ бот |
∀ () | универсальная количественная оценка | для всех; для любой; для каждого | логика первого порядка | ∀ x : P ( x ) или ( x ) P ( x ) означает, что P ( x ) истинно для всех x . | U + 2200 | & # 8704; | &для всех; | \для всех | |
∃ | экзистенциальная количественная оценка | Существует | логика первого порядка | ∃ x : P ( x ) означает, что существует хотя бы один x такой, что P ( x ) истинно. | п - четное. | U + 2203 | & # 8707; | &существовать; | \существуют |
∃! | количественная оценка уникальности | существует ровно один | логика первого порядка | ∃! x : P ( x ) означает, что существует ровно один x такой, что P ( x ) истинно. | U + 2203 U + 0021 | & # 8707; & # 33; | &существовать;! | \существуют ! | |
≔ ≡ : ⇔ | определение | определяется как | везде | x ≔ y или x ≡ y означает, что x определяется как другое имя для y (но обратите внимание, что ≡ также может означать другие вещи, такие как конгруэнтность ). Р : ⇔ Q означает Р определяется как логически эквивалентны с Q . | Исключающее ИЛИ Б : ⇔ ( ∨ B ) ∧ ¬ ( ∧ B ) | U + 2254 (U + 003A U + 003D) U + 2261 U + 003A U + 229C | & # 8788; (& # 58; & # 61;)
| & coloneq;
| знак равно
: \ Leftrightarrow |
() | группировка по приоритету | круглые скобки; кронштейны | везде | Сначала выполните операции, указанные в скобках. | (8 ÷ 4) ÷ 2 = 2 ÷ 2 = 1 , но 8 ÷ (4 ÷ 2) = 8 ÷ 2 = 4 . | U + 0028 U + 0029 | & # 40; & # 41; | & lpar; & rpar; | () |
⊢ | турникет | доказывает | логика высказываний , первый порядок логика | x ⊢ y означает, что x доказывает (синтаксически влечет) y | ( A → B ) ⊢ (¬ B → ¬ A ) | U + 22A2 | & # 8866; | & vdash; | \ vdash |
⊨ | двойной турникет | модели | логика высказываний , первый порядок логика | x ⊨ y означает x моделей (семантически влечет) y | ( A → B ) ⊨ (¬ B → ¬ A ) | U + 22A8 | & # 8872; | & vDash; | \ vDash, \ модели |
Продвинутые и редко используемые логические символы
Эти символы отсортированы по их значению Unicode:
- U + 0305 ̅ ОБЪЕДИНЕНИЕ СТРОКИ , используется как сокращение для стандартных цифр ( теория типографских чисел ). Например, использование стиля HTML «4̅» является сокращением для стандартной цифры «SSSS0».
- Overline также является редко используемым форматом для обозначения чисел Гёделя : например, « A ∨ B » означает число Гёделя «(A ∨ B)».
- Оверлайн также является устаревшим [ по мнению кого? ] способ обозначения отрицания, который до сих пор используется в электронике: например, « A ∨ B » то же самое, что «¬ (A ∨ B)».
- U + 2191 ↑ СТРЕЛКА ВВЕРХ илиU + 007C | ВЕРТИКАЛЬНАЯ ЛИНИЯ : штрих Шеффера , знак оператора И-НЕ (отрицание соединения). [4]
- U + 2193 ↓ СТРЕЛКА ВНИЗ Стрелка Пирса , знак оператора NOR (отрицание дизъюнкции). [4]
- U + 2299 ⊙ CIRCLED DOT OPERATOR знак для оператора XNOR (отрицание исключительной дизъюнкции).
- U + 2201 ∁ COMPLEMENT
- U + 2204 ∄ ТАМ НЕ СУЩЕСТВУЕТ : вычеркните экзистенциальный квантор, такой же, как «¬∃» [4]
- U + 2234 ∴ ПОЭТОМУ : Следовательно [4]
- U + 2235 ∵ ПОТОМУ ЧТО : потому что [4]
- U + 22A7 ⊧ МОДЕЛИ : это модель (или «удовлетворительная оценка ») [4]
- U + 22A8 ⊨ ИСТИНА : верно для
- U + 22AC ⊬ НЕ ДОКАЗЫВАЕТСЯ : отрицание ⊢, знак «не доказывает», например, T ⊬ P говорит: « P не является теоремой для T » [4]
- U + 22AD ⊭ НЕ ИСТИНА : это не относится
- U + 2020 † DAGGER : Оператор подтверждения (читай: «это правда, что ...»)
- U + 22BC ⊼ NAND : оператор NAND.
- U + 22BD ⊽ NOR : оператор NOR.
- U + 25C7 ◇ БЕЛЫЙ АЛМАЗ : модальный оператор для «возможно, что», «это не обязательно не обязательно» или редко «это, вероятно, не так» (в большинстве модальных логик он определяется как «¬◻¬») [4 ]
- U + 22C6 ⋆ СТАР ОПЕРАТОР : обычно используются для Времнных операторов
- U + 22A5 ⊥ ВВЕРХ илиU + 2193 ↓ СТРЕЛКА ВНИЗ : оператор Уэбба или стрелка Пирса, знак NOR . Как ни странно, «⊥» также является знаком противоречия или абсурда. [4]
- U + 2310 ⌐ ПЕРЕВЕРНУТЫЙ НЕ ЗНАК
- U + 231C ⌜ ВЕРХНИЙ ЛЕВЫЙ УГОЛ иU + 231D ⌝ ВЕРХНИЙ ПРАВЫЙ УГОЛ : угловые кавычки, также называемые «кавычками Куайна»; для квази-цитирования, т. е. цитирования определенного контекста неопределенных («переменных») выражений; [5] также используется для обозначения числа Гёделя ; [6] например, «⌜G⌝» обозначает гёделевское число G. (Типографское примечание: хотя кавычки отображаются как «пара» в Юникоде (231C и 231D), они не симметричны в некоторых шрифтах. А в некоторых шрифтах) (например, Arial) они симметричны только в определенных размерах. В качестве альтернативы кавычки могут отображаться как ⌈ и ⌉ (U + 2308 и U + 2309) или с использованием символа отрицания и символа обратного отрицания ⌐ ¬ в режиме надстрочного индекса.)
- U + 25FB ◻ БЕЛЫЙ СРЕДНИЙ КВАДРАТ илиU + 25A1 □ БЕЛЫЙ КВАДРАТ : модальный оператор для «это необходимо» (в модальной логике ), или «это доказуемо» (в логике доказуемости ), или «это обязательно» (в деонтической логике ), или « считается, что «(в доксастической логике ); также как пустое предложение (альтернативы: и ⊥).
- U + 27DB ⟛ LEFT AND RIGHT TACK : семантический эквивалент
Следующие операторы редко поддерживаются изначально установленными шрифтами.
- U + 27E1 ⟡ БЕЛЫЙ АЛМАЗ С Вогнутой стороной
- U + 27E2 ⟢ БЕЛЫЙ Вогнутый бриллиант с левой галочкой : модальный оператор для никогда не был
- U + 27E3 ⟣ БЕЛЫЙ Вогнутый бриллиант с галочкой вправо : модальный оператор for никогда не будет
- U + 27E4 ⟤ БЕЛЫЙ КВАДРАТ С ЛЕВОЙ КАРТИНКОЙ : модальный оператор для всегда был
- U + 27E5 ⟥ БЕЛЫЙ КВАДРАТ С ТИПОМ ВПРАВО : модальный оператор для всегда будет
- U + 297D ⥽ ПРАВЫЙ РЫБНЫЙ ХВОСТ : иногда используется для «отношения», также используется для обозначения различных специальных отношений (например, для обозначения «свидетельствования» в контексте трюка Россера ) Рыболовный крючок также используется CILewis как строгое следствие. ⥽ , соответствующий макрос LaTeX - \ strictif. См. Здесь изображение глифа. Добавлено в Unicode 3.2.0.
- U + 2A07 ⨇ ДВА ЛОГИКА И ОПЕРАТОРА
Использование в разных странах
Польша и Германия
По состоянию на 2014 г.[Обновить]в Польше универсальный квантор иногда пишут, а экзистенциальный квантор как. [7] [8] То же самое и в Германии . [9] [10]
Япония
Символ ⇒ часто используется в тексте для обозначения «результата» или «заключения», например, «Мы изучили, продавать ли продукт ⇒ Мы не будем его продавать». Кроме того, символ → часто используется для обозначения «изменено на», как в предложении «Процентная ставка изменилась. 20% марта → 21% апреля».
Смотрите также
- Юзеф Мария Бохенский
- Список обозначений, используемых в Principia Mathematica
- Список математических символов
- Логический алфавит , предлагаемый набор логических символов
- Логический вентиль § Символы
- Логическая связка
- Математические операторы и символы в Юникоде
- Нелогический символ
- Польская нотация
- Функция истины
- Таблица истинности
- Википедия: WikiProject Logic / Стандарты нотации
Рекомендации
- ^ "Ссылки на именованные символы" . HTML 5.1 Nightly . W3C . Проверено 9 сентября 2015 года .
- ^ «Материально-условный» .
- ^ Хотя этот символ доступен в LaTeX, система MediaWiki TeX не поддерживает его.
- ^ Б с д е е г ч I «Исчерпывающий список логических символов» . Математическое хранилище . 2020-04-06 . Проверено 20 августа 2020 .
- ^ Куайн, WV (1981): Математическая логика , §6
- ^ Хинтикка, Яакко (1998), пересмотр принципов математики , Cambridge University Press, стр. 113, ISBN 9780521624985.
- ^ «Квантификатор оголный» . 2 октября 2017 г. - через Википедию.
- ^ «Квантификатор егзистенский» . 23 января 2016 г. - через Википедию.
- ^ «Квантор» . 21 января 2018 г. - через Википедию.
- ^ Гермес, Ганс. Einführung in die Mathematische Logik: klassische Prädikatenlogik. Springer-Verlag, 2013.
дальнейшее чтение
- Юзеф Мария Бохенский (1959), Краткое изложение математической логики , пер., Отто Берд, из французского и немецкого изданий, Дордрехт, Южная Голландия: D. Reidel.
Внешние ссылки
- Именованные символьные сущности в HTML 4.0