Тензорное исчисление

В математике , тензорное исчисление , тензорный анализ , или Риччи исчисления является расширением векторного исчисления для тензорных полей ( тензоров , которые могут изменяться в коллекторе , например , в пространственно - временном ).

Разработано Грегорио Риччи-Курбастро и его ученик Туллио Леви-Чивита , ^[1] он был использован Альберта Эйнштейна развивать свою общую теорию относительности . В отличие от исчисления бесконечно малых , тензорное исчисление позволяет представить уравнения физики в форме, не зависящей от выбора координат на многообразии.

Тензорное исчисление имеет множество приложений в физике , инженерии и информатике, включая упругость , механику сплошной среды , электромагнетизм (см. Математические описания электромагнитного поля ), общую теорию относительности (см. Математику общей теории относительности ), квантовую теорию поля и машинное обучение .

Работая с главным сторонником внешнего исчисления Эли Картаном , влиятельный геометр Шиинг-Шен Черн резюмирует роль тензорного исчисления: ^[2]

В нашем предмете дифференциальной геометрии, где вы говорите о многообразиях, одна трудность состоит в том, что геометрия описывается координатами, но координаты не имеют значения. Им разрешено трансформироваться. И для того, чтобы справиться с подобной ситуацией, важным инструментом является так называемый тензорный анализ или исчисление Риччи, которое было в новинку для математиков. В математике у вас есть функция, вы записываете функцию, вычисляете, или складываете, или умножаете, или можете дифференцировать. У вас есть что-то очень конкретное. В геометрии геометрическая ситуация описывается числами, но вы можете менять числа произвольно. Итак, чтобы справиться с этим, вам понадобится исчисление Риччи.

Синтаксис [ править ]

В тензорной нотации используются верхний и нижний индексы объектов, которые используются для обозначения переменного объекта как ковариантного (нижний индекс), контравариантного (верхний индекс) или смешанного ковариантного и контравариантного (с верхним и нижним индексами). Фактически, в обычном математическом синтаксисе мы часто используем ковариантные индексы при работе с декартовыми системами координат, не осознавая, что это ограниченное использование тензорного синтаксиса в качестве ковариантных индексированных компонентов.${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$

Тензорная нотация допускает верхний индекс объекта, который можно спутать с обычными операциями управления мощностью из обычного математического синтаксиса. Например, в обычном математическом синтаксисе, однако в тензорном синтаксисе объект должен быть заключен в круглые скобки, прежде чем повышать его до степени, чтобы устранить неоднозначность использования тензорного индекса по сравнению с нормальной операцией мощности. В тензорном синтаксисе мы бы написали, и${\ Displaystyle е = mc ^ {2} = mcc}$${\ Displaystyle е = м (с ^ {1}) ^ {2} = м (с ^ {1}) (с ^ {1})}$${\ Displaystyle е = м (с ^ {2}) ^ {2} = м (с ^ {2}) (с ^ {2})}$. Число во внутренних круглых скобках выделяет контравариантный компонент, где число во внешних круглых скобках определяет степень увеличения количества до. Конечно, это просто произвольное уравнение, мы могли бы указать, что c не является тензором, и знать, что эта конкретная переменная не нуждается в скобках вокруг нее, чтобы повысить качество c до степени 2, однако, если бы c было вектором , то его можно было бы представить в виде тензора, и этот тензор нужно было бы отличать от обычных математических индексов, указывающих на возведение величины в степень.

Ключевые понятия [ править ]

Векторная декомпозиция [ править ]

Тензоры обозначения позволяет вектор ( ) , чтобы быть разложен в суммировании Эйнштейна , представляющий тензор сжатия в виде базисного вектора ( или ) с компонентом вектора ( или ).${\ displaystyle {\ vec {V}}}$${\ displaystyle {\ vec {Z}} _ {я}}$${\ Displaystyle {\ vec {Z}} ^ {я}}$${\ displaystyle V_ {i}}$${\ displaystyle V ^ {i}}$

${\ displaystyle {\ vec {V}} = V ^ {i} {\ vec {Z}} _ {i} = V_ {i} {\ vec {Z}} ^ {i}}$

Каждый вектор имеет два разных представления: одно называется контравариантным компонентом ( ) с ковариантным базисом ( ), а другое - ковариантным компонентом ( ) с контравариантным базисом (${\ displaystyle V ^ {i}}$${\ displaystyle {\ vec {Z}} _ {я}}$${\ displaystyle V_ {i}}$${\ Displaystyle {\ vec {Z}} ^ {я}}$). Тензорные объекты со всеми верхними индексами называются контравариантными, а тензорные объекты со всеми нижними индексами называются ковариантными. Необходимость различать контравариантные и ковариантные возникает из-за того, что когда мы ставим точки на произвольный вектор с его базисным вектором, относящимся к определенной системе координат, есть два способа интерпретации этого скалярного произведения: либо мы рассматриваем его как проекцию базиса вектор на произвольный вектор, или мы рассматриваем его как проекцию произвольного вектора на базисный вектор, оба представления скалярного произведения полностью эквивалентны, но имеют разные составляющие элементы и разные базисные векторы:

${\displaystyle {\vec {V}}\cdot {\vec {Z}}_{i}=V_{i}={\vec {V}}^{T}{\vec {Z}}_{i}={\vec {Z}}_{i}^{T}{\vec {V}}={\mathrm {proj} _{{\vec {Z}}^{i}}({\vec {V}})}\cdot {\vec {Z}}_{i}={\mathrm {proj} _{\vec {V}}({\vec {Z}}^{i})}\cdot {\vec {V}}}$

${\displaystyle {\vec {V}}\cdot {\vec {Z}}^{i}=V^{i}={\vec {V}}^{T}{\vec {Z}}^{i}={{\vec {Z}}^{i}}^{T}{\vec {V}}={\mathrm {proj} _{{\vec {Z}}_{i}}({\vec {V}})}\cdot {\vec {Z}}^{i}={\mathrm {proj} _{\vec {V}}({\vec {Z}}_{i})}\cdot {\vec {V}}}$

Например, в физике вы начинаете с векторного поля, разлагаете его по ковариантному базису и таким образом получаете контравариантные координаты. Для ортонормированных декартовых координат ковариантный и контравариантный базис идентичны, поскольку базисный набор в этом случае является просто единичной матрицей, однако для неаффинной системы координат, такой как полярная или сферическая, необходимо различать разложение с помощью контравариантный или ковариантный базис для генерации компонентов системы координат.

Ковариантное векторное разложение [ править ]

${\displaystyle {\vec {V}}=V^{i}{\vec {Z}}_{i}}$

Переменная	описание	Тип
${\displaystyle {\vec {V}}}$	вектор	Инвариантный
${\displaystyle V^{i}}$	контравариантные компоненты (упорядоченный набор скаляров)	Вариант
${\displaystyle {\vec {Z}}_{i}}$	ковариантные базисы (упорядоченный набор векторов)	Вариант

Контравариантная векторная декомпозиция [ править ]

${\displaystyle {\vec {V}}=V_{i}{\vec {Z}}^{i}}$

Переменная	описание	тип
${\displaystyle {\vec {V}}}$	вектор	инвариантный
${\displaystyle V_{i}}$	ковариантные компоненты (упорядоченный набор скаляров)	вариант
${\displaystyle {\vec {Z}}^{i}}$	контравариантные базисы (упорядоченный набор ковекторов )	вариант

Метрический тензор [ править ]

Метрический тензор представляет собой матрицу со скалярными элементами ( или ) и является тензорным объектом, который используется для повышения или понижения индекса другого тензорного объекта с помощью операции, называемой сжатием, что позволяет преобразовать ковариантный тензор в контравариантный тензор, и наоборот.${\displaystyle Z_{ij}}$${\displaystyle Z^{ij}}$

Пример понижения индекса с помощью метрического тензора:

${\displaystyle T_{i}=Z_{ij}T^{j}}$

Пример повышения индекса с помощью метрического тензора:

${\displaystyle T^{i}=Z^{ij}T_{j}}$

Метрический тензор определяется следующим образом:

${\displaystyle Z_{ij}={\vec {Z}}_{i}\cdot {\vec {Z}}_{j}}$

${\displaystyle Z^{ij}={\vec {Z}}^{i}\cdot {\vec {Z}}^{j}}$

Это означает, что если мы возьмем каждую перестановку набора базисных векторов и расставим их точки друг против друга, а затем расположим их в квадратную матрицу, мы получим метрический тензор. Предостережение здесь заключается в том, какой из двух векторов в перестановке используется для проецирования против другого вектора, что является отличительным свойством ковариантного метрического тензора по сравнению с контравариантным метрическим тензором.

Существуют два вида метрических тензоров: (1) контравариантный метрический тензор ( ) и (2) ковариантный метрический тензор ( ). Эти два вида метрического тензора связаны тождеством:${\displaystyle Z^{ij}}$${\displaystyle Z_{ij}}$

${\displaystyle Z_{ik}Z^{jk}=\delta _{i}^{j}}$

Для ортонормированной декартовой системы координат метрический тензор - это просто дельта Кронекера или , которая является тензорным эквивалентом единичной матрицы , и .${\displaystyle \delta _{ij}}$${\displaystyle \delta ^{ij}}$${\displaystyle \delta _{ij}=\delta ^{ij}=\delta _{j}^{i}}$

Якобиан [ править ]

Кроме того, тензор можно легко преобразовать из системы координат без штрихов (x) в систему координат с полосами ( ), имеющую различные наборы базисных векторов:${\displaystyle {\bar {x}}}$

${\displaystyle f(x^{1},x^{2},\dots ,x^{n})=f{\bigg (}x^{1}({\bar {x}}),x^{2}({\bar {x}}),\dots ,x^{n}({\bar {x}}){\bigg )}={\bar {f}}({\bar {x}}^{1},{\bar {x}}^{2},\dots ,{\bar {x}}^{n})={\bar {f}}{\bigg (}{\bar {x}}^{1}(x),{\bar {x}}^{2}(x),\dots ,{\bar {x}}^{n}(x){\bigg )}}$

за счет использования матричных соотношений Якоби между системой координат с перемычкой и без нее ( ). Якобиан между системами с перемычками и без перемычек играет важную роль в определении ковариантных и контравариантных базисных векторов, поскольку для существования этих векторов они должны удовлетворять следующему соотношению относительно систем с перемычками и без перемычек:${\displaystyle {\bar {J}}=J^{-1}}$

Контравариантные векторы обязаны подчиняться законам:

${\displaystyle v^{i}={\bar {v}}^{r}{\frac {\partial x^{i}({\bar {x}})}{\partial {\bar {x}}^{r}}}}$

${\displaystyle {\bar {v}}^{i}=v^{r}{\frac {\partial {\bar {x}}^{i}(x)}{\partial x^{r}}}}$

Ковариантные векторы должны подчиняться законам:

${\displaystyle v_{i}={\bar {v}}_{r}{\frac {\partial {\bar {x}}^{i}(x)}{\partial x^{r}}}}$

${\displaystyle {\bar {v}}_{i}=v_{r}{\frac {\partial x^{r}({\bar {x}})}{\partial {\bar {x}}^{i}}}}$

Есть две разновидности матрицы Якоби:

1. Матрица J, представляющая изменение от незащищенных до запрещенных координат. Чтобы найти J, мы берем «градиент с перемычкой», то есть частичную производную по :${\displaystyle {\bar {x}}^{i}}$

${\displaystyle J={\bar {\nabla }}f(x({\bar {x}}))}$

2. Матрица, представляющая изменение от запрещенных до незащищенных координат. Чтобы найти , мы берем «неограниченный градиент», то есть частичную производную по :${\displaystyle {\bar {J}}}$${\displaystyle {\bar {J}}}$${\displaystyle x^{i}}$

${\displaystyle {\bar {J}}=\nabla {\bar {f}}({\bar {x}}(x))}$

Вектор градиента [ править ]

Тензорное исчисление представляет собой обобщение формулы вектора градиента из стандартного исчисления, которое работает во всех системах координат:

${\displaystyle \nabla F=\nabla _{i}F{\vec {Z}}^{i}}$

Где:

${\displaystyle \nabla _{i}F={\frac {\partial F}{\partial Z^{i}}}}$

Напротив, для стандартных расчетов формула вектора градиента зависит от используемой системы координат (пример: формула вектора декартового градиента против формулы вектора полярного градиента против формулы вектора сферического градиента и т. Д.). В стандартном исчислении каждая система координат имеет свою собственную формулу, в отличие от тензорного исчисления, в котором есть только одна формула градиента, эквивалентная для всех систем координат. Это стало возможным благодаря пониманию метрического тензора, который используется в тензорном исчислении.

См. Также [ править ]

• Векторный анализ
• Матричное исчисление
• Исчисление Риччи
• Тензоры в криволинейных координатах
• Мультилинейное подпространственное обучение

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Димитриенко, Юрий (2002). Тензорный анализ и нелинейные тензорные функции . Kluwer Academic Publishers (Springer). ISBN 1-4020-1015-X.
• Сокольников, Иван С (1951). Тензорный анализ: теория и приложения к геометрии и механике сплошных сред . Вайли. ISBN 0471810525.
• Борисенко А.И., Тарапов И.Е. (1979). Векторный и тензорный анализ с приложениями (2-е изд.). Дувр. ISBN 0486638332.CS1 maint: uses authors parameter (link)
• Ицков, Михаил (2015). Тензорная алгебра и тензорный анализ для инженеров: с приложениями к механике сплошной среды . Springer; 2-е издание. ISBN 9783319163420.
• Тилдесли, младший (1973). Введение в тензорный анализ: для инженеров и ученых-прикладников . Лонгман. ISBN 0-582-44355-5.
• Кей, округ Колумбия (1988). Тензорное исчисление . Очертания Шаума. Макгроу Хилл. ISBN 0-07-033484-6.
• Гринфельд, П. (2014). Введение в тензорный анализ и исчисление движущихся поверхностей . Springer. ISBN 978-1-4614-7866-9.

Внешние ссылки [ править ]

• Даллемон, Кис; Петерс, Каспер (1991–2010). «Введение в тензорное исчисление» (PDF) . Дата обращения 17 мая 2018 . Cite journal requires |journal= (help)