В математике , А единичная группа или нулевая группа представляет собой группа , состоящая из одного элемента. Все такие группы изоморфны , поэтому часто говорят о тривиальных группы. Единственный элемент тривиальной группы - это тождественный элемент, поэтому он обычно обозначается как таковой: 0, 1 или e в зависимости от контекста. Если групповая операция обозначена ∗, то она определяется как e ∗ e = e .
Аналогично определенный тривиальный моноид также является группой, поскольку его единственный элемент является его собственным обратным и, следовательно, совпадает с тривиальной группой.
Тривиальную группу не следует путать с пустым набором (который не имеет элементов и не имеет элемента идентичности, не может быть группой).
Принимая во внимании любой группы G , группа , состоящая только из единичного элемента является подгруппой из G , и, будучи тривиальной группой, называется тривиальная подгруппа из G .
Термин, когда речь идет о « G не имеет нетривиальные собственные подгрупп» относится к только подгруппам G , являющимся тривиальной группы { е } и группы G сам по себе.
Характеристики
Тривиальная группа циклическая порядка 1; как таковой он может обозначаться Z 1 или C 1 . Если групповая операция называется сложением, тривиальная группа обычно обозначается 0. Если групповая операция называется умножением, то 1 может быть обозначением тривиальной группы. (Их объединение приводит к тривиальному кольцу, в котором операции сложения и умножения идентичны и 0 = 1.)
Тривиальная группа служит нулевым объектом в категории групп , что означает, что она является одновременно начальным и конечным объектами .
Тривиальную группу можно сделать (би-) упорядоченной группой , снабдив ее тривиальным нестрогим порядком ≤.
Смотрите также
Рекомендации
- Роуленд, Тодд и Вайсштейн, Эрик В. «Тривиальная группа» . MathWorld .