Усеченный кубооктаэдр | |
---|---|
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель) | |
Тип | Архимедово твердое тело Однородный многогранник |
Элементы | F = 26, E = 72, V = 48 (χ = 2) |
Лица по сторонам | 12 {4} +8 {6} +6 {8} |
Обозначение Конвея | bC или taC |
Символы Шлефли | tr {4,3} или |
т 0,1,2 {4,3} | |
Символ Wythoff | 2 3 4 | |
Диаграмма Кокстера | |
Группа симметрии | O h , B 3 , [4,3], (* 432), порядок 48 |
Группа вращения | O , [4,3] + , (432), порядок 24 |
Двугранный угол | 4-6: arccos (-√ 6/3) = 144 ° 44′08 ″ 4-8: arccos (- √ 2/3) = 135 ° 6-8: arccos (- √ 3/3) = 125 ° 15′51 ″ |
Рекомендации | U 11 , C 23 , W 15 |
Характеристики | Полуправильный выпуклый зоноэдр |
Цветные лица | 4.6.8 ( Вершина ) |
Додекаэдр Дисдякиса ( двойственный многогранник ) | Сеть |
В геометрии , то усеченная кубооктаэдр является архимедовым твердым веществом , названным Kepler как усечение части в кубооктаэдре . У него 12 квадратных граней, 8 правильных шестиугольных граней, 6 правильных восьмиугольных граней, 48 вершин и 72 ребра. Поскольку каждая из его граней имеет точечную симметрию (эквивалентно 180 ° вращательной симметрии), усеченный кубооктаэдр является зоноэдром . Усеченный кубооктаэдр может быть выполнен в виде мозаики с восьмиугольной призмой .
Имена
Имя усекается кубооктаэдр , учитывая первоначально Johannes Kepler , вводит в заблуждение: фактическое усечение из кубооктаэдр имеет прямоугольники вместо квадратов ; однако этот неоднородный многогранник топологически эквивалентен архимедову твердому телу, не строго названному усеченным кубооктаэдром. Альтернативные взаимозаменяемые имена:
| |
Существует невыпуклый однородный многогранник с аналогичным названием: невыпуклый большой ромбокубооктаэдр .
Декартовы координаты
Все декартовы координаты вершин усеченного кубооктаэдра с длиной ребра 2 и центром в начале координат являются перестановками :
- (± 1, ± (1 + √ 2 ), ± (1 + 2 √ 2 )).
Площадь и объем
Площадь A и объем V усеченного кубооктаэдра с длиной ребра a равны:
Расслоение
Усечен кубооктаэдром является выпуклой оболочкой из ромбокубооктаэдра с кубиками выше его 12 квадратов на 2-кратных осях симметрии. Остальное пространство можно разделить на 6 квадратных куполов под восьмиугольниками и 8 треугольных куполов под шестиугольниками.
Рассеченный усеченный кубооктаэдр может создать тороид Стюарта рода 5, 7 или 11 , удалив центральный ромбокубооктаэдр и либо 6 квадратных куполов, либо 8 треугольных куполов, либо 12 кубов соответственно. Многие другие тороиды с более низкой симметрией также могут быть построены путем удаления центрального ромбокубооктаэдра и подмножества других компонентов рассечения. Например, удаление 4 из треугольных куполов создает тороид рода 3; если эти купола выбраны правильно, то этот тороид имеет тетраэдрическую симметрию. [4] [5]
Тороиды Стюарта | |||
---|---|---|---|
Род 3 | Род 5 | Род 7 | Род 11 |
Равномерная окраска
Имеется только одна равномерная раскраска граней этого многогранника, по одному цвету для каждого типа граней.
2-однородная окраска с тетраэдрической симметрией существует с попеременно окрашенными шестиугольниками.
Ортогональные проекции
Усеченный кубооктаэдр имеет две специальные ортогональные проекции в плоскостях Кокстера A 2 и B 2 с проективной симметрией [6] и [8], а многочисленные [2] симметрии могут быть построены из различных спроецированных плоскостей относительно элементов многогранника.
В центре | Вершина | Край 4-6 | Край 4-8 | Край 6-8 | Лицо нормальное 4-6 |
---|---|---|---|---|---|
Изображение | |||||
Проективная симметрия | [2] + | [2] | [2] | [2] | [2] |
В центре | Лицо нормальный квадрат | Лицо нормального восьмиугольника | Лицо Квадрат | Лицо шестиугольника | Лицо восьмиугольник |
Изображение | |||||
Проективная симметрия | [2] | [2] | [2] | [6] | [4] |
Сферическая черепица
Усеченный кубооктаэдр также можно представить в виде сферической мозаики и спроецировать на плоскость через стереографическую проекцию . Эта проекция является конформной , сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые на сфере проецируются как дуги окружности на плоскость.
Ортогональная проекция | квадратно- центрированный | шестигранник с центром | восьмиугольник с центром |
---|---|---|---|
Стереографические проекции |
Полная октаэдрическая группа
Как и многие другие твердые тела, усеченный октаэдр имеет полную октаэдрическую симметрию, но его связь с полной октаэдрической группой более тесная: его 48 вершин соответствуют элементам группы, а каждая грань его двойственного элемента является фундаментальной областью группы.
Изображение справа показывает 48 перестановок в группе, примененной к объекту-примеру (а именно, легкому соединению JF слева). 24 светлых элемента - это вращения, а темные - их отражения.
Ребра тела соответствуют 9 отражениям в группе:
- Те между восьмиугольниками и квадратами соответствуют трем отражениям между противоположными восьмиугольниками.
- Края шестиугольника соответствуют 6 отражениям между противоположными квадратами.
- (Между противоположными шестиугольниками нет отражений.)
Подгруппы соответствуют телам, которые имеют общие вершины усеченного октаэдра.
Например , в 3 подгруппе с 24 элементами соответствует неоднородной вздернутому кубу с хиральной октаэдрической симметрией, неоднородный усеченный октаэдр с полным тетраэдрической симметрией и неоднородном ромбокубооктаэдр с pyritohedral симметрия (в cantic курносого октаэдра ).
Единственная подгруппа из 12 элементов - знакопеременная группа A 4 . Он соответствует неоднородному икосаэдру с киральной тетраэдрической симметрией .
Подгруппы и соответствующие твердые тела | ||||
---|---|---|---|---|
все 48 вершин | 24 вершины | 12 вершин |
Связанные многогранники
Тетраэдр-бабочка и куб содержат две трапециевидные грани вместо каждого квадрата. [6] |
Усеченный кубооктаэдр - один из семейства однородных многогранников, связанных с кубом и правильным октаэдром.
Однородные октаэдрические многогранники | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия : [4,3], (* 432) | [4,3] + (432) | [1 + , 4,3] = [3,3] (* 332) | [3 + , 4] (3 * 2) | |||||||
{4,3} | т {4,3} | г {4,3} г {3 1,1 } | т {3,4} т {3 1,1 } | {3,4} {3 1,1 } | rr {4,3} s 2 {3,4} | tr {4,3} | sr {4,3} | ч {4,3} {3,3} | ч 2 {4,3} т {3,3} | с {3,4} с {3 1,1 } |
знак равно | знак равно | знак равно | знак равно или же | знак равно или же | знак равно | |||||
Двойники к однородным многогранникам | ||||||||||
V4 3 | V3.8 2 | В (3,4) 2 | V4.6 2 | V3 4 | V3.4 3 | V4.6.8 | V3 4 .4 | V3 3 | V3.6 2 | V3 5 |
Этот многогранник можно рассматривать как член последовательности однородных образов с конфигурацией вершин (4.6.2 p ) и диаграммой Кокстера-Дынкина . При p <6 членами последовательности являются все усеченные многогранники ( зоноэдры ), показанные ниже в виде сферических мозаик. При p <6 они представляют собой мозаики гиперболической плоскости, начиная с усеченного тригептагонального мозаичного покрытия .
* n 32 мутации симметрии полностью усеченных мозаик : 4.6.2n | ||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Сим. * n 32 [ n , 3] | Сферический | Евклид. | Компактная гиперб. | Paraco. | Некомпактный гиперболический | |||||||
* 232 [2,3] | * 332 [3,3] | * 432 [4,3] | * 532 [5,3] | * 632 [6,3] | * 732 [7,3] | * 832 [8,3] | * ∞32 [∞, 3] | [12i, 3] | [9i, 3] | [6i, 3] | [3i, 3] | |
Цифры | ||||||||||||
Конфиг. | 4.6.4 | 4.6.6 | 4.6.8 | 4.6.10 | 4.6.12 | 4.6.14 | 4.6.16 | 4.6.∞ | 4.6.24i | 4.6.18i | 4.6.12i | 4.6.6i |
Duals | ||||||||||||
Конфиг. | V4.6.4 | V4.6.6 | V4.6.8 | V4.6.10 | V4.6.12 | V4.6.14 | V4.6.16 | V4.6.∞ | V4.6.24i | V4.6.18i | V4.6.12i | V4.6.6i |
* n 42 мутация симметрии полностью усеченных плиток : 4.8.2n | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия * n 42 [n, 4] | Сферический | Евклидово | Компактный гиперболический | Paracomp. | ||||
* 242 [2,4] | * 342 [3,4] | * 442 [4,4] | * 542 [5,4] | * 642 [6,4] | * 742 [7,4] | * 842 [8,4] ... | * ∞42 [∞, 4] | |
Омниусеченная фигура | 4.8.4 | 4.8.6 | 4.8.8 | 4.8.10 | 4.8.12 | 4.8.14 | 4.8.16 | 4.8.∞ |
Усеченные двойники | V4.8.4 | V4.8.6 | V4.8.8 | V4.8.10 | V4.8.12 | V4.8.14 | V4.8.16 | V4.8.∞ |
Это первый из ряда усеченных гиперкубов:
Усеченный кубооктаэдр | Урезанный тессеракт | Усеченный 5-куб | Усеченный 6-куб | Cantitruncated 7-куб | Cantitruncated 8-cube |
Усеченный кубооктаэдрический граф
Усеченный кубооктаэдрический граф | |
---|---|
Вершины | 48 |
Края | 72 |
Автоморфизмы | 48 |
Хроматическое число | 2 |
Характеристики | Кубическая , гамильтонова , регулярная , нуль-симметричная |
Таблица графиков и параметров |
В математической области теории графов , A усеченной кубооктаэдрические графы (или большие rhombcuboctahedral графики ) являются графиком вершин и ребер усеченного кубооктаэдра, один из Архимеда твердых веществ . Он имеет 48 вершин и 72 ребер, и является нулевым симметричным и кубическим архимедовым графом . [7]
Смотрите также
- Куб
- Кубооктаэдр
- Октаэдр
- Усеченный икосододекаэдр
- Усеченный октаэдр - усеченный тетраэтраэдр
Рекомендации
- ^ Веннингер, Магнус (1974), Модели многогранников , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-09859-5, Руководство по ремонту 0467493 (Модель 15, стр.29)
- ^ Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . ISBN Dover Publications, Inc. 0-486-23729-X. (Раздел 3-9, стр. 82)
- ^ Cromwell, P .; Многогранники , CUP hbk (1997), pbk. (1999). (стр.82)
- ^ BM Стюарт, Приключения среди тороидов (1970) ISBN 978-0-686-11936-4
- ^ Доски, Алекс. «Приключения среди тороидов - Глава 5 - Простейшие (R) (A) (Q) (T) Тороиды рода p = 1» . www.doskey.com .
- ^ Симметроэдры: многогранники от симметричного размещения правильных многоугольников Крейг С. Каплан
- ^ Читать, RC; Уилсон, Р.Дж. (1998), Атлас графиков , Oxford University Press , стр. 269
- Кромвель, П. (1997). Многогранники . Великобритания: Кембридж. С. 79–86 Архимедовы тела . ISBN 0-521-55432-2.
Внешние ссылки
- Эрик В. Вайсштейн , Большой ромбокубооктаэдр ( архимедово твердое тело ) в MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. "Большой ромбокубооктаэдрический граф" . MathWorld .
- Клитцинг, Ричард. "3D выпуклые равномерные многогранники x3x4x - girco" .
- Редактируемая печатная сетка усеченного кубооктаэдра с интерактивным трехмерным изображением
- Равномерные многогранники
- Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников
- Большой ромбокубооктаэдр: бумажные полоски для плетения