Колебания круговой мембраны

Один из возможных режимов колебаний идеализированной круглой головки барабана (режим с обозначениями ниже). Остальные возможные режимы показаны внизу статьи.${\ displaystyle u_ {12}}$

Двумерная эластичная мембрана при растяжении может выдерживать поперечные колебания . Свойства идеализированной пластинки барабана можно смоделировать с помощью колебаний круглой мембраны постоянной толщины, прикрепленной к жесткой раме. Из-за явления резонанса на определенных частотах вибрации , на своих резонансных частотах , мембрана может накапливать энергию колебаний, при этом поверхность движется по характерной схеме стоячих волн . Это называется нормальным режимом . Мембрана имеет бесконечное количество этих нормальных режимов, начиная с самой низкой частоты, называемой основной модой..

Существует бесконечно много способов, которыми мембрана может вибрировать, каждый в зависимости от формы мембраны в некоторый начальный момент времени и поперечной скорости каждой точки на мембране в это время. Колебания мембраны задаются решениями двумерного волнового уравнения с граничными условиями Дирихле, которые представляют собой ограничение рамы. Можно показать, что любое сколь угодно сложное колебание мембраны можно разложить на возможно бесконечный ряд нормальных режимов мембраны. Это аналогично разложению временного сигнала в ряд Фурье .

Изучение вибрации барабанов привело математиков к постановке известной математической задачи о том, можно ли услышать форму барабана , ответ на которую был дан в 1992 году в двухмерной постановке.

Мотивация [ править ]

Анализ проблемы вибрирующей головки барабана объясняет ударные инструменты, такие как барабаны и литавры . Однако существует и биологическое применение в работе барабанной перепонки . С образовательной точки зрения режимы двумерного объекта - удобный способ наглядно продемонстрировать значение режимов, узлов, пучностей и даже квантовых чисел . Эти концепции важны для понимания структуры атома.

Проблема [ править ]

Рассмотрим открытый диск радиуса с центром в начале координат, который будет представлять "неподвижную" форму головки барабана. В любое время высота формы головы барабана в точке , в измеренной от « по- прежнему» барабана формой головки , будет обозначать через который может принимать как положительные , так и отрицательные значения. Пусть обозначают границу в то есть окружность радиуса с центром в начале координат, которая представляет собой жесткую раму , к которой прикреплена головка барабан.${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle t,}$${\ Displaystyle (х, у)}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle и (х, у, т),}$${\ displaystyle \ partial \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega,}$${\ displaystyle a}$

Математическое уравнение, определяющее вибрацию головки барабана, представляет собой волновое уравнение с нулевыми граничными условиями,

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right){\text{ for }}(x,y)\in \Omega \,}$

${\displaystyle u=0{\text{ on }}\partial \Omega .\,}$

Из - за круговой геометрии , это будет удобно использовать цилиндрические координаты , затем, приведенные выше уравнения записываются в виде ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle (r,\theta ,z).}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}}\right){\text{ for }}0\leq r<a,0\leq \theta \leq 2\pi \,}$

${\displaystyle u=0{\text{ for }}r=a.\,}$

Здесь - положительная константа, которая дает скорость, с которой волны поперечной вибрации распространяются в мембране. С точки зрения физических параметров скорость волны c определяется выражением${\displaystyle c}$

${\displaystyle c={\sqrt {\frac {N_{rr}^{*}}{\rho h}}}}$

где , - радиальная мембрана, образующаяся на границе мембраны ( ) , - толщина мембраны, - плотность мембраны. Если мембрана имеет равномерное натяжение, сила равномерного натяжения на заданном радиусе может быть записана${\displaystyle N_{rr}^{*}}$${\displaystyle r=a}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle r}$

${\displaystyle F=rN_{rr}^{r}=rN_{\theta \theta }^{r}}$

где - мембрана, равнодействующая в азимутальном направлении.${\displaystyle N_{\theta \theta }^{r}=N_{rr}^{r}}$

Осесимметричный случай [ править ]

Сначала мы изучим возможные режимы вибрации круглой головки барабана, которые являются осесимметричными . Тогда функция не зависит от угла и волновое уравнение упрощается до ${\displaystyle u}$${\displaystyle \theta ,}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right).}$

Мы будем искать решения в разделенных переменных, подставляя это в уравнение выше и деля обе части на доходность. ${\displaystyle u(r,t)=R(r)T(t).}$${\displaystyle c^{2}R(r)T(t)}$

${\displaystyle {\frac {T''(t)}{c^{2}T(t)}}={\frac {1}{R(r)}}\left(R''(r)+{\frac {1}{r}}R'(r)\right).}$

Левая часть этого равенства не зависит, а правая часть не зависит от этого, отсюда следует, что обе части должны быть равны некоторой константе. Получаем отдельные уравнения для и :${\displaystyle r,}$${\displaystyle t,}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle T(t)}$${\displaystyle R(r)}$

${\displaystyle T''(t)=Kc^{2}T(t)\,}$

${\displaystyle rR''(r)+R'(r)-KrR(r)=0.\,}$

У уравнения для есть решения, которые экспоненциально растут или убывают для линейных или постоянных для и периодических для . Физически ожидается, что решение проблемы с вибрирующей головкой барабана будет колебательным во времени, и остается только третий случай, поэтому мы выбираем для удобства. Тогда - линейная комбинация функций синуса и косинуса, ${\displaystyle T(t)}$${\displaystyle K>0,}$${\displaystyle K=0}$${\displaystyle K<0}$${\displaystyle K<0,}$${\displaystyle K=-\lambda ^{2}}$${\displaystyle T(t)}$

${\displaystyle T(t)=A\cos c\lambda t+B\sin c\lambda t.\,}$

Обращаясь к уравнению для, отметим, что все решения этого дифференциального уравнения второго порядка представляют собой линейную комбинацию функций Бесселя порядка 0, поскольку это частный случай дифференциального уравнения Бесселя :${\displaystyle R(r),}$${\displaystyle K=-\lambda ^{2},}$

${\displaystyle R(r)=c_{1}J_{0}(\lambda r)+c_{2}Y_{0}(\lambda r).\,}$

Функция Бесселя не ограничена, что приводит к нефизическому решению проблемы вибрирующей головки барабана, поэтому константа должна быть равна нулю. Мы также будем предполагать, что в противном случае эта константа может быть позже поглощена константами, и из этого следует, что${\displaystyle Y_{0}}$${\displaystyle r\to 0,}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle c_{1}=1,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle T(t).}$

${\displaystyle R(r)=J_{0}(\lambda r).}$

Требование нулевой высоты на границе головки барабана приводит к условию ${\displaystyle u}$

${\displaystyle R(a)=J_{0}(\lambda a)=0.}$

Функция Бесселя имеет бесконечное число положительных корней, ${\displaystyle J_{0}}$

${\displaystyle 0<\alpha _{01}<\alpha _{02}<\cdots }$

Мы получили это за так ${\displaystyle \lambda a=\alpha _{0n},}$${\displaystyle n=1,2,\dots ,}$

${\displaystyle R(r)=J_{0}\left({\frac {\alpha _{0n}}{a}}r\right).}$

Следовательно, осесимметричные решения проблемы вибрирующей головки барабана, которые могут быть представлены в разделенных переменных, имеют вид${\displaystyle u}$

${\displaystyle u_{0n}(r,t)=\left(A\cos c\lambda _{0n}t+B\sin c\lambda _{0n}t\right)J_{0}\left(\lambda _{0n}r\right){\text{ for }}n=1,2,\dots ,\,}$

куда ${\displaystyle \lambda _{0n}=\alpha _{0n}/a.}$

Общий случай [ править ]

Аналогично рассматривается общий случай, когда также может зависеть угол . Мы предполагаем решение в разделенных переменных, ${\displaystyle u}$${\displaystyle \theta ,}$

${\displaystyle u(r,\theta ,t)=R(r)\Theta (\theta )T(t).\,}$

Подставляя это в волновое уравнение и разделяя переменные, получаем

${\displaystyle {\frac {T''(t)}{c^{2}T(t)}}={\frac {R''(r)}{R(r)}}+{\frac {R'(r)}{rR(r)}}+{\frac {\Theta ''(\theta )}{r^{2}\Theta (\theta )}}=K}$

где - константа. Как и прежде, из уравнения для следует, что при и${\displaystyle K}$${\displaystyle T(t)}$${\displaystyle K=-\lambda ^{2}}$${\displaystyle \lambda >0}$

${\displaystyle T(t)=A\cos c\lambda t+B\sin c\lambda t.\,}$

Из уравнения

${\displaystyle {\frac {R''(r)}{R(r)}}+{\frac {R'(r)}{rR(r)}}+{\frac {\Theta ''(\theta )}{r^{2}\Theta (\theta )}}=-\lambda ^{2}}$

мы получаем, умножая обе части на и разделяя переменные, что ${\displaystyle r^{2}}$

${\displaystyle \lambda ^{2}r^{2}+{\frac {r^{2}R''(r)}{R(r)}}+{\frac {rR'(r)}{R(r)}}=L}$

и

${\displaystyle -{\frac {\Theta ''(\theta )}{\Theta (\theta )}}=L,}$

для некоторой константы Поскольку периодичность, с периодом, являющимся угловой переменной, следует, что ${\displaystyle L.}$${\displaystyle \Theta (\theta )}$${\displaystyle 2\pi ,}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \Theta (\theta )=C\cos m\theta +D\sin m\theta ,\,}$

где и и некоторые константы. Это также подразумевает${\displaystyle m=0,1,\dots }$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle L=m^{2}.}$

Возвращаясь к уравнению для его решения, представляет собой линейную комбинацию функций Бесселя, и с помощью аргументов, аналогичных приведенным в предыдущем разделе, мы приходим к ${\displaystyle R(r),}$ ${\displaystyle J_{m}}$${\displaystyle Y_{m}.}$

${\displaystyle R(r)=J_{m}(\lambda _{mn}r),\,}$ ${\displaystyle m=0,1,\dots ,}$ ${\displaystyle n=1,2,\dots ,}$

где с в -м положительный корень${\displaystyle \lambda _{mn}=\alpha _{mn}/a,}$${\displaystyle \alpha _{mn}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle J_{m}.}$

Мы показали, что все решения в разделенных переменных задачи вибрирующей головки барабана имеют вид

${\displaystyle u_{mn}(r,\theta ,t)=\left(A\cos c\lambda _{mn}t+B\sin c\lambda _{mn}t\right)J_{m}\left(\lambda _{mn}r\right)(C\cos m\theta +D\sin m\theta )}$

за ${\displaystyle m=0,1,\dots ,n=1,2,\dots }$

Анимации нескольких режимов вибрации [ править ]

Ниже показан ряд мод вместе с их квантовыми числами. Также указаны аналогичные волновые функции атома водорода и соответствующие угловые частоты .${\displaystyle \omega _{mn}=\lambda _{mn}c=(\alpha _{mn}/a)c}$

• 

  Режим (1 с) с${\displaystyle u_{01}}$${\displaystyle \alpha _{01}=2.40483}$

• 

  Режим (2 с) с${\displaystyle u_{02}}$${\displaystyle \alpha _{02}=5.52008}$

• Режим (3 с) с${\displaystyle u_{03}}$${\displaystyle \alpha _{03}=8.65373}$

• Режим (2p) с${\displaystyle u_{11}}$${\displaystyle \alpha _{11}=3.83171}$

• Режим (3p) с${\displaystyle u_{12}}$${\displaystyle \alpha _{12}=7.01559}$

• Режим (4p) с${\displaystyle u_{13}}$${\displaystyle \alpha _{13}=10.1735}$

• Режим (3d) с${\displaystyle u_{21}}$${\displaystyle \alpha _{21}=5.13562}$

• Режим (4d) с${\displaystyle u_{22}}$${\displaystyle \alpha _{22}=8.41724}$

• Режим (5d) с${\displaystyle u_{23}}$${\displaystyle \alpha _{23}=11.6198}$

См. Также [ править ]

• Вибрирующая струна , одномерный корпус
• Узоры Хладни , раннее описание связанного явления, в частности, с музыкальными инструментами; см. также киматику
• Услышав форму барабана , характеризуя режимы по форме мембраны
• Атомная орбиталь , связанная квантово-механическая и трехмерная проблема

Ссылки [ править ]

• Х. Асмар, Нахле (2005). Уравнения в частных производных с рядами Фурье и краевые задачи . Река Аппер Сэдл, штат Нью-Джерси: Pearson Prentice Hall. п. 198. ISBN 0-13-148096-0.